伯努利輕質懸浮球原理探究

者瑞 侯志鑫 張一凡 黃昊翀 董愛國

（中國地質大學 北京 100083）

1726年，瑞士物理學家伯努利通過無數次實驗，發現了“邊界層表面效應”：流體速度加快時，物體與流體接觸的界面上的壓力會減小，反之壓力會增加[1]。伯努利效應與我們的生活息息相關，在工業設計，臨床醫學等領域中，發揮著重要的作用。例如，飛機機翼下表面受到向上的壓力，比機翼上表面受到的壓力大，使機翼產生升力，而得以起飛[2]；在醫學外科手術中，為了使手術區域局部的脈壓降低，減少出血，將盡量使手術部位高于心臟。測血壓時，為避免體位對血壓的影響，一般選定心臟為零勢能參考點，人取坐位測定肱動脈處的動脈血壓。如果將手臂抬高，測得的血壓就偏低；如果低于心臟，測得的血壓就偏高[3]。伯努利現象的具體應用還包括疏浚離析器的設計[4]、地鐵安全線的設置、船吸現象、噴霧器、香蕉球等等。

基于伯努利原理的廣泛運用，我們可以設計一個演示實驗，對伯努利輕質懸浮球的原理進行探究[5]。實驗設計：將一個輕質球，如乒乓球或塑料球，放在漏斗下方，由于萬有引力的作用，小球將自由下落[6]。如果通過氣泵對漏斗鼓吹空氣，小球上方空氣流速增加，壓強減小，小球上下表面產生壓強差[7]，小球將克服重力懸浮，通過改變小球的質量、氣體流速、體積參數等因素，進一步探究伯努利效應。

一、理論分析

（一）伯努利原理

丹尼爾?伯努利在1726年提出了“伯努利原理”，其實質是流體的機械能守恒。即，動能+重力勢能+壓力勢能=常數。其最著名的推論為：等高流動時，流速大，壓力就小[8]。伯努利原理往往表述為：

式中p為流體中某點的壓強，v為流體該點的流速，ρ為流體密度，g為重力加速度，h為該點所在高度，const是常量。

適用條件：適用于粘度可以忽略、不可被壓縮的定常流動的流體，且方程表征同一流線上各點的能量守恒。對于氣體而言，適用于馬赫數（Ma）<0.3的氣體[9]。（馬赫數：流場中某點速度同聲速之比，聲速340m/s。）

（二）連續性原理

連續性原理[10-12]是研究流體流經不同截面的通道時，流速與通道截面積大小的關系。這是描述流體流速與截面關系的定理。其基本原理為：橫截面一定，流量與流速成正比，也可以表示為：

公式中，A1和A2為橫截面的面積，V1和V2表示流體的流速。

（三）模型分析

采用的電動氣泵固定排氣量為450L/min，安裝好漏斗之后，所產生的空氣流場是不隨時間的變化，而變化的定常流動場。空氣的粘度可以忽略，為簡化實驗的分析，可以忽略空氣的可壓縮性，視為理想流體介質。打開電源開關，使漏斗口穩定出風時，緩慢移動電動氣泵，進而認為任意時刻都為定常流動。用測風儀量測氣泵鼓吹空氣的最大速度約為10m/s。其中，馬赫數約為0.029<0.3，滿足條件。當小球緩慢靠近漏斗時，小球頂點上方的通風截面面積并沒有改變，而自小球頂點以下漏斗的凈排氣面積逐漸減小，則流線逐漸密集，由連續性原理可知，面積小的地方空氣流速大。而在同一條流線上，因為，小球頂點上方的通風截面面積無變化，頂點下方的面積逐漸減小，空氣流速增大，壓強減小。所以，使上半小球與下半小球球面上產生壓強差，進而使小球由于受力關系，而懸浮。

實驗忽略ρgh，即，忽略該點所在高度的影響。此處，可以考慮為ρgh的值代入遠遠小于壓強p和1/2ρv2。因此,可以忽略不計[13]。

圖1 原理模型圖（臨屆狀態）

我們為了計算在當前實驗條件下，氣體流速與漏斗的有效截面面積的關系，假設任意高度x(x

任意高度x(x

則任意高度x處，通風截面面積A：

測得rQ=20mm，H=62mm，Rd=42.5mm，Ru=5.5mm，h｀=35mm

式中Q=450L/min，則v(x)=Q/A(x)。將公式（6）代入，得出兩者在x定義區間，即15～35mm范圍內的曲線關系。如圖2所示。

圖2 速度與漏斗中的吸入深度關系曲線圖

二、實驗結果與分析

（一）實驗裝置

搭建的實驗裝置示意圖如圖3所示，實驗中用到的器材包括測距儀、電動氣泵、漏斗等。

圖3 實驗裝置示意圖

實驗樣品包括:

質量不同的8個乒乓球，其直徑dQ均為40mm，樣品實驗照片、7個尺寸不同的塑料球。輔助實驗設備包括針、刻度尺、密封膠帶，水槽、電子天平。實驗中采用鼓吹空氣的氣泵，其鼓吹空氣的相關參數為450L/min。該實驗的相關參數為大氣壓強P=1.013×105Pa、空氣密度ρ=1.293kg/m3。

實驗操作流程如下：

1.固定測距儀，將小球放在測距儀正下方，使用測距儀測得儀器到球底面的距離H，使用刻度尺測得電動氣泵安裝上漏斗后的總長度h2。

2.同一垂線上，操縱電動氣泵垂直緩慢下降至恰好使小球升起。

3.讀出測距儀測得距電動氣泵的距離h1，即可得小球剛好升起的臨界狀態小球進入漏斗的深度d。其中，d的表達式如式（8）所示：

影響實驗的相關參數：在電動氣泵排氣量Q不變的條件下，小球質量、小球體積、漏斗尺寸、漏斗頸口口徑等通過理論分析，進一步討論電動氣泵排氣量、氣體的性質、漏斗開口角度、漏斗的形狀所產生影響[14]。

（二）質量因素

探究的問題是改變小球質量，小球是否一直能夠懸浮，以及小球恰好懸浮時，小球的質量和漏斗位置的定量關系。

多次測量得到小球質量與小球進入漏斗深度d的關系，兩者關系曲線如圖4所示，其關系式為y＝1.1454x+3.949。通過分析可知，小球質量的增加，即是重量的增加，小球升起需要的上下壓強差增加，則小球上部的壓強隨著進入漏斗的距離增加，而減小。反之，小球上部的空氣流速隨著進入漏斗的距離增加，而增大。

圖4 小球質量m與小球吸入漏斗深度d的關系

（三）氣體流速因素

探究問題是當小球質量不變，氣體流速對于小球剛好升起時的臨界位置有什么影響。實驗同樣采用控制變量法，即控制小球的質量、體積不變，通過對漏斗細口內壁貼紙，改變漏斗出口氣體的流速，根據定常流動流體的連續性方程Q=A1V1=A2V2，面積減小，氣體流速增大。進而探究不同空氣流速對實驗的影響。教師在進行實驗時，在漏斗上部頸口內壁粘貼白紙改變內徑，進而改變漏斗出口空氣流速，使用風速儀測得不同位置的風速。

通過在漏斗內壁粘貼紙條，改變出口截面面積，進而改變風速，測得不同位置處風速及小球恰好升起時，進入漏斗的吸入深度d。加一層紙，改變氣體流速后，小球質量與吸入深度d的關系如圖5所示。

圖5 原始口徑與改變口徑與吸入深度對比曲線圖

教師通過實驗發現，減小漏斗口徑，氣體流速明顯增加。再與漏斗管壁不貼紙的原始實驗進行對比（圖5），可知y=1.8374x+0.1798，R2=0.9354，而增加內徑后擬合的直線為y=1.2542x-2.0093，R2=0.8598。R為相關系數，相關系數越接近1，表示擬合程度越好。兩次實驗所得散點圖斜率不同。發現小球進入漏斗的深度相同時，口徑減小，會使漏斗讓更重的小球懸浮。進而得出其定性關系為漏斗口徑的減小，使氣體流速加快，流速加快會產生更大的壓強差。

（四）體積因素

該實驗探究的問題是當小球質量不變，小球尺寸對實驗有什么影響。實驗采用控制變量法，向直徑不同的空心塑料球中加水，控制小球的質量不變[15]；使用相同漏斗，即控制小球所在氣體流速場不變。小球直徑不同，探究小球直徑對實驗的影響。用小型針筒緩慢逐次向不同直徑的塑料小球中注水，使用電子天平測量，使得小球質量保持統一為25g。

實驗得出，保證質量不變，當小球恰好升起時，小球進入漏斗深度隨小球尺寸增大，而減小，當小球尺寸增加到某一值時，小球無法懸浮。

三、結束語

我們通過理論模型的建立與分析，得出小球被氣泵鼓吹空氣吸入漏斗的深度x與進入速度v的曲線理論分析圖，再通過實驗采用控制變量法進行相關研究，采用不同材質的輕質小球分別探究氣體流速因素、漏斗大小、體積因素對其的影響。

于是，我們進一步提出，當質量不變時，小球直徑在一定范圍內增大，小球會更難懸浮，直至無法懸浮；而在一定范圍內小球直徑減小，則需要更加深入漏斗，即更難懸浮。

我們通過設計伯努利輕質懸浮球演示實驗，能反應伯努利方程的基本原理和規律，有效引導學生從更深層面去理解伯努利方程及其體現出的能量轉換規律。后續性工作我們可以通過相應手段，按照一定技術要求，對測量方法、數據處理方式，以及不同條件下的適用性進行研究，以發展出更合理的評價體系。例如，采用人工智能算法，控制伯努利現象參數變化對結果的影響。