線性需求下鐵路客運差別定價模型研究

朱穎婷，單杏花

（中國鐵道科學研究院集團有限公司 電子計算技術研究所，北京 100081）

我國鐵路客運旅客群體龐大，客流表現出明顯的季節性特征，往往在節假日等客運高峰期出現一票難求的現象，而在淡季時部分列車可能出現席位閑置的現象。在出發時間上，旅客也更喜歡選擇白天出發、白天到達的車次出行，一些開車時間在清晨或到達時間在深夜和凌晨的車次，客座率往往較低，客運淡季時尤為明顯。列車席位資源利用率不均，在一定程度上影響了鐵路運營部門的收益，降低了旅客出行的舒適度和便捷性。

不少學者將上述問題歸結于我國鐵路客運票價制度，認為調整票價策略可以改善鐵路旅客出行體驗，并提高鐵路運營部門的收益。票價調整的一個重要策略是差別定價，差別定價是指銷售商在銷售完全相同的產品或者有細微差別的同一產品不同款式時，對不同顧客制定不同價格的行為。它根據客戶選擇行為或者產品特征做市場細分[1]，對高支付意愿的顧客收取高價，對低支付意愿的顧客收取低價[2]。航空、酒店等行業通常根據用戶對企業的貢獻不同，將用戶劃分成不同用戶群，對不同用戶群采用不同的價格，以培養穩定的用戶群，從而獲取額外利潤[3-5]。文獻[6]和[7]分別采用動態規劃Bell-man最優化原理和最大凹向包絡定理研究了我國鐵路客運最優票價策略；文獻[8]從季節和列車開行區域2方面分析了我國鐵路客運采用差別定價的可行性；文獻[9]～[13]討論了對我國鐵路客運做市場細分、進行差別定價的可行性。但是上述文獻僅僅論證了對我國鐵路客運進行差別定價的意義，均未對差別定價模型作量化研究分析。

國外針對鐵路客運的票價策略研究較為實用。在應用上，日本、德國等國家針對不同用戶采用靈活的動態票價折扣策略[14]。在理論研究上，Ngostino依據旅客出行可能考慮的各種因素（如列車開點、到達時間、出行距離）建立了消費者行為選擇模型，以此來確定鐵路客運票價策略[15]；Sidbari等人將時間以天為單位離散化，介紹了4種動態鐵路客運票價策略：動態規劃模型，短期策略，靜態票價啟發式策略，隨機動態啟發式策略[16]；Bharill根據印度鐵路公司一趟快速列車的3種席別在9周內的訂票數據，分析票價和需求間的關系，預測未來的訂票需求量及退票數，最終達到提高收益的目的[17]。

本文為提高席位資源利用率，以收益最大化為目標，研究了我國城際鐵路（只途經2個車站）在客運淡季時的差別定價模型，確定旅客群的最優細分數目，以及每個旅客群的最優票價。

1 基于完全價格歧視策略的收益分析

1.1 模型假設

本文的模型基于以下假設：

（1）當旅客認為其得到的消費者剩余最大時，才購買相應時段的車票出行；

（2）每位旅客每次只能購買一張車票，旅客的購票需求為其最大支付意愿與票價的線性函數，且最大支付意愿服從均勻分布；

（3）在規定時間段內，不考慮旅客需求轉移的情況，如高支付意愿旅客購買低價車票等。

1.2 模型概述

令最大支付意愿w∈[0,b]，且w服從均勻分布，旅客購買價格為p的車票的需求概率為q(w,p)=max{0,(w–p)}，從而每位旅客為鐵路運營部門帶來的期望收益r(w,p)為：

根據經濟學中對完全價格歧視的定義，若壟斷者能夠使相同產品對不同用戶采用不同的價格策略，就能夠獲取所有用戶的消費者剩余，從而獲得最大收益。若不考慮黃牛倒賣車票、旅客退票改簽等行為，根據式（1）可知，當p=w/2時，r(w,p)取得最大值w2/4，當在鐵路客運淡季運能充足時，能夠完全滿足旅客購票需求，則最大收益為：

但完全價格歧視是一種極端情況，鐵路客運運營部門需要知道每一位旅客的最大支付意愿，以此確定各時間段列車票價，這在現實中是不可能的。因此，可采用市場細分的策略，對不同子市場制定不同的票價，以此調整鐵路客流，將支付意愿較低的旅客吸引至客流閑時乘車出行，在提高鐵路客運資源利用率的基礎上，增加鐵路運營部門的收益，提升旅客出行的舒適度。

2 線性需求下鐵路客運差別定價模型

2.1 模型定義

假設某城際鐵路客運起止點（OD，Original–Destination）在一段時間內的所有旅客Ak可以被劃分成k個子市場，Ak={A1，A2，…，Ak}，旅客只能在經過該OD的n趟車中選擇某1趟車出行，則1 ≤k≤n，子市場Ai對應票價為Pi（i=1，2，…，k），票價集合Pk={P1，P2，…，Pk}，對應的可售出席位數為Ck={C1，C2，…，Ck}。在某一段時期內，所有旅客能夠被細分，即每位旅客僅屬于一個子市場Ai，在購票時只能按照唯一票價Pi購票。若最大支付意愿為xim和xin（xim＜xin）的兩名旅客均屬于子市場Ai，那么當旅客a的最大支付意愿xi∈[xim，xin]時，旅客a也屬于子市場Ai。旅客的最大支付意愿xi服從均勻分布，最大支付意愿集合Xk={0，x1，…，xi，xi+1，…，xk–1，b}，且 0＜x1＜…＜xi＜xi+1＜…＜xk–1＜b，則各子市場定義為：

從旅客的角度分析，旅客出行時票價必定滿足如下2個條件：

最大支付意愿越小的旅客出行時所能接受的票價越小，且當票價小于最大支付意愿，即旅客的消費者剩余大于0時，旅客才會選擇乘車出行。

根據上述分析，得到子市場Ai的累計購票需求為：

Ai的收益為：

總收益R(k)為：

以收益最大化為目標，得到本文提出的鐵路客運差別定價策略優化模型為：

其中，0＜P1＜…＜Pi＜Pi+1＜…＜Pk＜b；Pi≤xi（i=1，…，k）；xk+1=b；且Qi(Pi)≤Ci。

2.2 最優差別定價分析

可證明目標函數R(k)為凹函數，下面重點分析淡季時最優票價和市場細分數應該滿足的條件。

（1）在客運淡季，旅客購票需求明顯小于可售席位數，即無論如何細分及調整價格，都滿足Qi(Pi)≤Ci的約束，上述最優化問題可被看作無約束最優化問題，為了便于計算，令b=1，根據無約束優化的一階條件可知：

顯然，Pi+1–Pi＞0，xi+1–xi＞0，根據式（7）和式（8）可得到：

（2）市場細分數目k越大，旅客群的劃分越平滑，將最優解xi*和Pi*代入式（1），得到總收益為：

可證明R*(k)是關于市場細分數目k的凹函數。從經濟學角度看，隨著k無限增大（k→∞），票價策略逐漸趨于完全價格歧視，鐵路運營部門可以獲得每個旅客的全部消費剩余，進而獲得最大收益R*。但完全價格歧視是一種極端現象，現實中很少發生。由于鐵路客運用戶群龐大，鐵路運營部門不可能對每一位旅客制定完全有差別的票價，且鐵路部門在我國還承擔著社會公益性角色，不可能采取完全價格歧視的定價策略。我們觀察k值增大時，R*(k)及其與R*比值的變化規律，如表1所示。

表1 R* (k)關于k值的變化規律列表

從表1可以看出，當k=1時，代表采用固定票價的策略，此時收益最小，僅為完全價格歧視下收益的88.9%；當k=3時，R*(k)/R*達到98%；當k=5時，R*(k)/R*已經達到99.2%；隨著k繼續增大，R*(k)/R*增大的速率降低，R*(k)/R*趨于100%。

因此，客運淡季時市場細分數目和旅客人數多少無關。進行差別定價時，從實際應用的易操作性看，將旅客劃分為3～5個子用戶群即可。根據式（9）和式（10）可以得到市場細分的最優支付意愿劃分范圍，以及各個子用戶群相應的票價。在淡季時采用差別定價策略更容易估計其期望收益，降低了實施差別策略的風險性。

3 結束語

本文假設旅客需求和最大支付意愿為線性關系，研究了城際列車淡季時的差別定價模型，該模型可同時求解最優票價等級個數及各級最優票價，對鐵路運營部門實行差別票價策略具有一定的理論指導意義。其中的難點在于分析旅客的最大支付意愿分布，以及旅客需求在何種情況下發生轉移，這需要開展大量科學、合理的鐵路旅客出行需求調查，分析旅客出行需求偏好，從而進一步優化鐵路客運差別票價模型。