分數(shù)階p(x)-Laplace算子方程的多解性

張金國, 焦紅英, 劉邱云

(1.江西師范大學數(shù)學與信息科學學院, 江西南昌 330022)

(2.空軍工程大學基礎(chǔ)部, 陜西西安 710051)

(3.西安交通大學數(shù)學與統(tǒng)計學院, 陜西西安 710049)

1 引言

本文主要研究如下的分數(shù)階p(x)-Laplace 算子方程

解的存在性問題, 其中? 是RN中的光滑有界區(qū)域,s ∈(0,1), 連續(xù)函數(shù)滿足sp(x,y)

(P2)p是對稱的, 即對任意的(x,y)∈有p(x,y)=p(y,x) 成立.

(??p(x))s稱之為分數(shù)階p(x)-Laplace 算子, 其定義如下

這里P.V.表示Cauchy 主值.(??p(x))s算子是經(jīng)典變指數(shù)算子?p(x)的分數(shù)階形式, 該算子的定義在文獻[1]中首次給出.關(guān)于分數(shù)階變指數(shù)算子以及相應(yīng)的Sobolev 空間理論的研究可參考文獻[2–4].從(1.2) 式可以看出(??p(x))su(x) 在點x ∈? 處的值不僅依賴于u在? 上的值, 而且依賴于其在全空間RN上的值.因此, (??p(x))s是非局部算子.此外, 問題(1.1) 邊界條件是限定在RN? 上, 而經(jīng)典p(x)-Laplace 算子問題的Dirichlet 邊界是限制在?? 上.從而經(jīng)典p(x)-Laplace 算子問題的研究方法是否適合分數(shù)階p(x)-Laplace 算子方程是值得思考的問題.本文試圖對這一問題作出解答.有關(guān)分數(shù)階Laplace 算子和p(x)-Laplace算子的Dirichlet 邊界問題的研究可以參見文獻[5–15].

在本文中, 非線性項f:?×R→R 滿足如下條件

(f1) 對任意的 (x,t)∈?× R, 存在C> 0, 使得 |f(x,t)|≤C(1 +|t|q(x)?1), 其中是分數(shù)階變指數(shù)Sobolev 臨界指標,s ∈(0,1);

(f2)對幾乎處處的x ∈? 一致成立, 其中

(f3)對幾乎處處的x ∈? 一致成立;

(f4) 存在常數(shù)θ> 1, 使得θG(x,t)≥G(x,ηt),?(x,t)∈?× R,η ∈(0,1), 其中G(x,t)=f(x,t)t ?p+F(x,t).

注1.1顯然上述條件(f4)比(AR)條件更弱,例如函數(shù)f(x,t)=p+|t|p+?2tln|t|,?t ∈R滿足上述假設(shè)條件, 但不滿足(AR) 條件.

定理 1.1設(shè) (P1)–(P2), (f1)–(f4) 成立, 并且對任意的 (x,t)∈? × R, 有f(x,?t) =?f(x,t).則方程(1.1) 存在非平凡弱解列并且當n →∞時, 有 Φ(un)→+∞, 其中Φ 是方程(1.1) 所對應(yīng)的能量泛函.

本文的結(jié)構(gòu)如下：第二節(jié)主要是給出變指數(shù)Lebesgue 空間和分數(shù)階變指數(shù)Sobolev 空間的定義及其相關(guān)性質(zhì); 第三節(jié)給出本文主要結(jié)果定理1.1 的證明.

2 分數(shù)階變指數(shù)Sobolev空間

本節(jié)主要介紹分數(shù)階變指數(shù)Sobolev 空間的一些相關(guān)結(jié)論.具體證明過程可見文獻[5–8, 16, 17]等.

設(shè)? 是RN中的有界域,記其中

其范數(shù)為

由文獻[7]可得如下結(jié)論.

引理 2.1設(shè)u ∈Lq(x)(?), 則

引理2.2設(shè)u,un ∈Lq(x)(?), 則下列結(jié)論等價

引理2.3記為q(x) 的共軛指數(shù).設(shè)則

稱之為變指數(shù)Gagliardo 半范.關(guān)于空間W有如下嵌入定理.

定理2.2[18]設(shè)? 是RN中的光滑有界區(qū)域,是連續(xù)函數(shù)使得sp(x,y)

則存在常數(shù)C=C(N,s,r)>0 使得從而當時,W連續(xù)緊嵌入到空間Lr(x)(?) 中.

由于問題(1.1) 的邊界條件u= 0 是限制在RN? 上, 從而定義如下形式的變指數(shù)Sobolev 空間

其中Q=RN×RN(?c×?c).空間X的范數(shù)為其中

注2.2由于?×? 嚴格包含于Q中, 所以范數(shù)是不同的.

定義X的線性子空間其范數(shù)為

對任意的u ∈X0, 定義函數(shù)ρX0:X0→R 為

類似于文獻[18], 易證得如下結(jié)論.

引理2.4對任意的u ∈X0, 有如下結(jié)論成立

注2.3(i)是可分、自反、一致凸Banach 空間.

(ii) 定理2.2 的結(jié)論對空間X0亦成立, 且在空間X0中范數(shù)是等價的.

3 主要結(jié)果的證明

本小節(jié)給出定理1.1 的證明.

定義3.1若對任意的? ∈X0, 有下式成立

則稱u ∈X0是方程(1.1) 的弱解.

方程(1.1) 相應(yīng)的能量泛函Φ:X0→R 為

從而泛函Φ 的臨界點即為方程(1.1) 的弱解.

引理 3.6(見文獻[4, 引理 4.2]) 設(shè)函數(shù)p滿足 (P1) 和 (P2),s ∈(0,1), 對任意的有sp(x,y)

定義 3.2設(shè)E為Banach 空間, 泛函I ∈C1(E, R).若滿足的序列 {un}?E均存在收斂子列, 則稱泛函I滿足 Ceramic- 條件(簡記(C)c- 條件).若對任意的c ∈R,I均滿足(C)c- 條件, 則稱I滿足(C)- 條件.

定理3.3(噴泉定理[19]) 設(shè)E為實可分的Banach 空間,E=YZ,其中dimY<+∞.若偶函數(shù)I ∈C1(E,R) 滿足 (C)- 條件, 且對每一個k=1,2,···, 存在ρk>rk>0, 使得

則泛函I存在一列弱解且I(un)→+∞(n →∞).

下面首先證明泛函I滿足(C)- 條件.

引理3.7在定理1.1 的假設(shè)下, 泛函Φ 滿足(C)- 條件.

證對任意的c ∈R, 設(shè){un} 為泛函 Φ 的(C)c- 序列, 即當n → ∞時, 有

首先證明序列 {un} 在X0中有界.假設(shè){un} 在X0中無界, 即當n →∞時, 有從而存在 {wn} 的子序列, 仍記作 {wn}, 和w0∈X0, 使得

若w0= 0, 取序列 {tn}?R 使得對任意的L> 1, 令當n充分大時, 可得

利用條件(f1)和(f3)可得F(x,Lwn)→0(n →∞).從而由L的任意性可得Φ(tnun)→+∞(n →∞).又因為 Φ(0)=0, Φ(un)=c+on(1), 所以當n充分大時有tn ∈(0,1), 從而可得

結(jié)合式 (3.2)–(3.4) 和 (f4), 可得

從而當w0=0 時, 序列{un} 在X0中是有界的.

若w00, 則令且 meas(?0)> 0.對任意的x ∈?0, 有在?0中由(f2), 可得

由式(3.5) 和Φ(un)=c+on(1) 可得

從而當w00 時, 序列 {un} 在X0中是有界的.綜上所述, 序列 {un} 在X0中有界.

下證該序列{un} 在X0中有收斂子列.因為{un} 在X0中有界, 而X0是自反的, 從而存在{un} 的子列, 仍記作{un}, 以及u0∈X0, 使得unu0弱收斂于X0.由定理2.2 和注2.3, 對任意的q(x)<(x), 有 {un}→u0強收斂于Lq(x)(?).利用 Hlder 不等式和嵌入定理, 可得

再利用引理3.6 可得un →u0強收斂于X0, 即泛函Φ 滿足(C)- 條件.引理3.7 得證.

因為X0可分自反的Banach 空間, 則存在使得

記Ej=span{ej}, 則X0=⊕j≥1Ej.對任意的k=1,2,···, 記

引理 3.8(見文獻[15, 引理3.9]) 設(shè)對任意的x ∈? 有定義

下面來驗證能量泛函Φ 滿足噴泉定理中的兩個條件.

引理 3.9設(shè)p(x,y) 滿足 (P1)–(P2),f滿足 (f1)–(f4).則存在ρk>rk>0, 使得

證(i) 由 (f1) 和 (f3), 對任意的ε>0, 存在常數(shù)Cε>0, 使得

令u ∈Zk, 且選取充分小的ε使得則由 (3.10) 式和引理2.4 (2), 可得

這里的C是互不相等的正常數(shù).令則由引理 3.8 及p?≤p+

即當k →+∞時, 有得證

(ii) 對任意的u ∈Yk, 設(shè)則由引理 2.4 中 (2), 可得

由 (f2)–(f3) 知, 對任意的u ∈Yk, 存在常數(shù)Ck>0 使得

因為Yk是有限維的, 所以Yk中的所有范數(shù)等價, 從而

定理1.1 的證明利用引理3.7, 引理3.9 及Φ(?u)=Φ(u), 可知泛函Φ 滿足噴泉定理的幾何結(jié)構(gòu).從而由噴泉定理(定理3.3) 可得方程(1.1) 在X0中存在一非平凡解列并且該解列滿足Φ(un)→+∞(n →∞).定理得證.