簡述數值模擬中離散化的方法

董磊磊，崔之健，孫明龍

（1.西安石油大學，陜西 西安 710065；2.中國石油集團西部鉆探工程有限公司試油公司，新疆 克拉瑪依 834000）

伴隨著全球經濟和現代化管理工業的飛速發展，相應而來的是計算機技術在各行各業的普及。這大大減少了人力的消耗，且使有些原本比較復雜的問題求解起來變得容易。計算機技術的相對成熟，再結合一些專業領域的知識，一些專業人士開發出一些軟件，模擬工程領域和自然領域的各種場景，用來解決一些實際問題，其處理問題的過程叫做數值模擬。經過幾十年的發展，數值模擬已經可以較為真實的模擬現場情況。通過模擬結果進而調整各個設計參數，以使設備在最優設計結構下達到最佳的工況。數值模擬把數學和計算機聯系了起來，在許多工程領域扮演著不可或缺的角色。在數值模擬過程中，遇到的都是一些連續域內的非線性偏微分的問題，直接求解十分困難，而離散化的出現使這個問題簡單化，變得易于求解。

1 數值模擬

在早期的工業領域，許多問題因為其實際情況的復雜性，得到其解析解非常困難。1953年，Bruce G.H和PeacemanD.W對一維氣相不穩定徑向和線形流進行了模擬，這是數值模擬技術初次面世。起初數值模擬的解法相對較少，相關的計算機技術不夠成熟，所以只能應用于模擬一維問題。1954年，兩相流動模型應運而生，West W.J和Garvin W.W針對油藏中存在的問題，模擬了不穩定兩相流的流動情況［1］。

數值模擬，顧名思義就是對現實中某些工況數值的模擬，那么就必須借助電子計算機來進行［2］。既然是模擬，就會要求提供一些參數以作為原始數據，并且要根據特定問題選用適當的模擬方法。通過對有限元和有限容積有關知識的學習，熟悉了數值模擬相關理論后，接著進行大量數值模擬計算，最后的結果再以圖像顯示的方法展示出來，可以直觀的解釋某些特定問題［3］。這對學者了解發生某種現象的內部原因有很大的幫助。數值模擬在研究生涯里使用非常廣泛，同時因為它需要用到計算機，因此可以叫做計算機模擬。

數值模擬其實就是用計算機做試驗，并且可以較為真實的展現特定介質的工況。例如，某一特定尺寸形狀的機翼在空氣中的繞流情況，建立模型后，通過在計算機上模擬計算，最后將結果以圖片的形式展示出來，直觀明了，可以看到流場中的許多細節。計算機模擬結果與實驗結果沒有什么較大區別，而且簡化了許多步驟，耗時較短，有利于模擬較多的不同條件下設備的運轉。最后根據不同條件下模擬的結果，對比選出該設備在某些特定條件下的最佳工況的相關參數。數值模擬在處理一些幾何形狀復雜，或包含某些非線性特征的問題時，數值模擬可以簡單地分為以下幾個步驟：

1）針對特定工程問題，建立數學模型；2）模型建立完成后，就是確定計算方法；3）編制程序并進行計算；4）通過圖像展示的結果進行分析，得出結論［4］。

2 離散化

離散化，就是把無限空間中有限的個體通過映射放到有限的空間中去，以此來提高算法的時空效率［5］，是在有限個體原始數據相對大小不變的情況下，按比例進行縮小后來建立相應的模型。離散化的應用在程序設計中非常普遍，在諸多可能的情況下，離散化只需考慮要使用到的值。這就大大簡化了實驗，同時也有效地降低了計算機處理過程中的時間復雜度。離散化可以提高一個算法的質量，而且有可能實現原本不會實現的某些算法。

區域離散化是將要計算的空間區域，劃分成大量互不重疊的子區域，每個子區域有一個節點，以及此節點代表的一個控制體積，最后需要確定上述節點在空間中所處的位置和其代表的控制體積。根據選用的研究方法不同，控制體積可能是流場中一個固定的區域，也可能會隨流體流動位置發生變化。網格節點一般會被看成是控制體積的代表，因為每一個節點必然對應一個控制體積，不會出現一對多或多對一的情況，且每個節點代表的位置不會重合［6］。控制體積作為一個特定的區域，并不能全部與最開始劃分出來的子區域重合，這種情況也不會影響離散質量。

3 離散化方法及特點

3.1 有限差分法

有限差分法，是數值解法中發展時間較長，相對來說較為完善，也最為經典的一種離散方法［7］。差分過程是將需要求解的空間區域劃分為大量的網格，根據特定的幾何形狀選擇適當的劃分方式，這樣有助于簡化轉化方程的步驟。劃分網格后，用有限個網格上的節點代替原來連續的求解域［8］，選用適當的差商形式，把原本偏微分方程 （控制方程）中的偏導數項全部用差商表示出來，再經過一些處理就能得到對應的差分方程。

有限差分法將原來復雜的偏微分方程問題直接轉換為代數問題的求解，不需要構造特定的函數，建模簡單，編程也相對容易。適用曲線型和拋物線型相關問題的求解，橢圓形型問題應用較少，對于邊界條件復雜的問題也表現出相對劣勢［9］。

3.2 有限元法

有限元法，是將空間里一個連續的求解域，劃分許多合適大小、形狀的單元，分別在每個單元上構造插值函數，再對這些插值函數使用相應的極值原理，然后在這些所有的微小單元上都能找到一個特定的有限元方程，最后用這些有限元方程把初始問題的控制方程所代替。經過如此轉換后，則所有微小單元極值的和就代表了該系統總體的極值，即將系統劃分為局部單元，分別處理各局部單元后，再進行總體合成，于是使原本問題的初始控制方程就變成了含有特定邊界條件的代數方程組。

有限元法在求解橢圓型問題時，有較好的適應性。相比其它方法，處理問題的過程較慢，對復雜問題分析時，占用內存較大，耗費的計算資源也很驚人，在使用時對操作者的經驗要求較高。所以它在商用CFD軟件中應用的不多，FIDAP軟件是基于有限元方法建立的，在這個軟件里較為常用［10］。

3.3 有限體積法

有限體積法，是將計算區域劃分為大量的小網格，每個網格點所處的位置不同，所以其代表的一個在它周圍的控制體積肯定也不同。這些控制體積不會相互重合，但是在求解的時候必須應用到他們之間的關系。用初始微分方程的形式，在這些控制體積上應用并進行積分，其中的偏導數項就會消失，對應每個網格點會得到一個相應的離散方程，聯立這些方程，就會得到一個與所劃分網格形式對應的離散方程組。離散方程組中的未知數會因節點所處位置不同而發生變化。

有限體積法在處理過程中需要尋求節點值，這點十分類似于前面所說的有限差分法；在積分過程中時，有限體積法需要根據網格特點，對物理量值的分布規律做出假設，這一點又與有限元法雷同。

有限體積法在使用過程中始終遵循積分守恒原理，因此不管針對微小計算單元還是結構整體，都有良好的守恒性；其插值函數可以根據具體問題靈活假設，而且對于泰勒展開造成的離散能有效的避免；對于有些結構復雜的工程問題，需要分區域劃分網格時，能夠很好地適應；與有限元法融合，綜合彼此的優點，更好的進行流固耦合分析［11］。在對控制體積積分進行計算時，有限積分法需要使用到插值函數。離散方程在這個插值函數的作用下，比較容易得出，而且有限積分法不要求微分方程里的所有項必須采取同一種插值函數。這也是其優于其他離散方法的一個方面。

4 結語

在數值模擬過程中，常用的離散化方法有三個，都有各自的特點：

1）對于有限差分法，現在發展的已經非常成熟，利用差分直接將偏微分問題簡化為代數問題，處理結構性網格有較大的優勢，對于非結構網格差分效果較差［12］。

2）對于有限元法，是一種具有高效的處理能力、且使用較多的計算方法。適用于一些幾何和物理條件比較復雜的情況，尤其是在以拉普拉斯和泊松方程所描述的物理場中，而且和程序的契合相對較好，這樣就有利于程序的標準化設計。

3）對于有限體積法，其原理非常簡單，積分守恒在這個方法中得到了充分的體現，不管是在無限小控制體積還是整個計算區域，所有因變量都遵循積分守恒原理。