一次函數的應用教學課例

肖澤永

一、教學設計

這是2018年11月4-10日習水縣“鄉村名師工作室”引領“種子”教師跟崗研修學習到貴陽市第十九中學七年級10班所上的一節常態課，課時內容來源于北師大版八年級上冊第四章第四節：一次函數的應用第一課時。

（一）學生起點分析

本節課之前，學生已初步掌握了函數的概念、一次函數的圖象及性質，并了解了函數的三種表達方式：圖象法、列表法、解析式法。在此基礎上引導學生根據圖象等信息列出一次函數表達式的方法，并進一步感受數形結合的思想方法。

（二）教學任務分析

本節課是北師大版義務教育教科書八年級上第四章《一次函數》第四節的第一課時，主要內容是利用圖象信息，確定一次函數的表達式。與原教材相比，新教材更注重與實際聯系，更加注重培養學生掌握數形結合這一重要的思想方法;并且讓學生更加明確確定一次函數的表達式需要兩個獨立的條件，這個問題雖然簡單，但它涉及數學對象的一個本質概念?????---基本量。值得一提的是確定一次函數表達式，需要根據兩個條件列出關于k、b的方程組，而二元一次方程組是下一章的學習內容，因此本節所研究的一次函數，某個參數應較易于從所給條件中獲得，從而轉化為通過另一個條件確定 另一個參數的問題。因此，在教學中要注意控制問題的難度，對于一般問題，可在下一章的學習中再加強訓練。

（三）教學目標：

1.了解兩個條件可確定一 次函數;能根據所給信息（圖象、表格、實際問題等）利用待定系數法確定一次函數的表達式;并能利用所學知 識解決簡單的實際問題.

2.經歷對正比例函數及一次函數表達式的探求過程，掌握用待定系數法求一次函數的表達式，進一步發展數形結合的思想方法;

（四）教學重難點：

重點：通過函數圖象獲取信息

難點：用待定系數法解較為簡單的一次函數的應用題.

（五）核心問題：

如何用待定系數法解較為簡單的一次函數的應用題.

（六）設計思路：

本節課設計了六個教學環節：第一環節：課前復習;第二環節：情境引入; 第三環節：深入探究;第四環節：反饋練習;第五環節：體驗收獲;第六環節：作業布置。

二、教學過程

第一環節課前復習

提問：（1）什么是一次函數？

（2）一次函數的圖象是什么？

（設計意圖：學生回顧一次函數相關知識，溫故而知新。）

第二環節情境引入

展示實際情境：某物體沿一個斜坡下滑，它的速度v（米/秒）與其下滑時間t（秒 ）的關系如圖所示.

（1）寫出v與t之間的關系式;

（2）下滑3秒時物體的速度是多少？

生1：2s時，速度是5m/s，所以每秒的速度是2.5m，因此v與t的關系式是：v=2.5t;

生2：由圖像設v=kt，把v=5，t=2代入得，k=2.5，所以，v=2.5t。

課前反思：學生可能會用圖象所反映的實際意義來求函數表達式，如先求出速度，再寫表達式，教師應給予肯定，但要注意比較兩種方法異同，并突出待定系數法.

想一想：確定正比例函數的表達式需要幾個條件？確定一次函數的表達式呢？

生：一個。

（設計意圖：在實踐的基礎上學生加以歸納總結。這個問題涉及到數學對象的一個本質概念——基本量.由于一次函數有兩個基本量k、b，所以需要兩個條件來確定.）

第三環節深入探究

例1 在彈性限度內，彈簧的長度y（厘米）是所掛物體的質量x（千克）的一次函數，一根彈簧不掛物體時長14.5cm;當所掛物體的質量為3kg時，彈簧長16cm。寫出y與x之間的關系式，并求所掛物體的質量為4kg時彈簧的長度.

生3： 掛物體的質量為3kg時，彈簧伸長1.5cm，每千克伸長0.5cm，所以y=0.5x+14.5;

生4：因為y與x是一次函數，所以設y=kx+b，把（0，14.5）（3，16）代入解析式，解得，k=0.5，b=14.5，所以，y=0.5x+14.5

（設計意圖：引例中設置的是利用函數圖象求函數表達式，這個例子選取的是彈簧的一個物理現象，設計意圖在于讓學生從不同的情景中獲取信息求一次函數表達式，進一步體會函數表達式是刻畫現實世界的一個很好的數學模型.這道例題關鍵在于求一次函數表達式，在求出一般情況后，第二個問題就是求函數值的問題可迎刃而解.）

課前反思：學生除了從函數的觀點來考慮這個問題之外，還有學生是用推理的方式：掛3千克伸長了1.5厘米，則每千克伸長了0.5厘米，同樣可以得到 與 間的關系式.對此，教師應給予肯定，并指出兩種方法考慮的角度和采用的方法有所不同.

歸納：大家思考一下，在上面的兩個題中，有哪些步驟是相同的，你能否總結出求一次函數表達式的步驟.

求函數表達式的步驟有：1.設一次函數表達式.

2.根據已知條件列出有關方程.

3.解方程.

4.把求出的k，b值代回到表達式中即可.

（設計意圖：對求一次函數表達式方法的歸納和提升。在此基礎上，教師可指出這種先將表達式中未知系數用字母表示出來，再根據條件求出這個未知系數，這種方法稱為待定系數法.）

第四環節反饋練習

1.如圖，直線 是一次函數y=kx+b的圖象，求它的表達式.

2.如圖：（1）當y=0時，x=________;

直線對應的函數表達式是______________.

3.已知直線 與直線y=2x平行，且與y軸交于點（0，2），求直線 的表達式.

（設計意圖：三個練習旨在對學生求一次函數表達式的掌握情況進行反饋，以便及時調整教學進程.）

第五環節體驗收獲

本節課主要學習了怎樣確定一次函數的表達式，在確定一次函數的表達式時可以用待定系數法，即先設出解析式，再根據題目條件（根據圖象、表格或具體問題）求出 ， 的值，從而確定函數解析式。其步驟如下：（1）設函數表達式;（2）根據已知條件列出有關k，b的方程;（3）解方程，求k，b;（4）把k，b代回表達式中，寫 出表達式.

設計意圖：引導學生小結本課的知識及數學方法，使知識系統化.

第六環節作業布置

習題2，4

（設計意圖：進一步鞏固當天所學知識。）

點評：

本節課的重點是要學生了解正比例函數的確定需要一個條件，一次函數的確定需要兩個條件，能由條件利用待定系數法求出一些簡單的一次函數表達式，并能解決有關現實問題.本節課設計注重 發展了學生的數形結合的思想方法及綜合分析解決問題的能力及應用意識，為后繼學習打下基礎.

探究的過程由淺入深，并利用實際情景，既增加了學生學習的興趣，又讓學生深切體會到一次函數就在我們身邊，應用非常廣泛.

教學中注意到讓學生掌握求一次函數表達式的一般方法.但調動學生積極性還有待加強。學生從函數的觀點來考慮這個問題和用推理的方式解決這個問題，比較這兩種方法強調不夠。

點評人：羅湘榕

三、教學體驗

（一）教的轉變

本節課從實際生活的問題情境（物體下滑）入手，讓學生在觀察圖像中探索出一次函數的解析式。又通過現實背景的例題，進一步理解用待定系數法求一次函數解析式，并讓學生體會到一次函數的實際應用。因此，本節課的重點是經歷一般探索過程，發展學生的抽象思維能力，理解用待定系數法求一次函數解析式的步驟，能根據已知條件求出簡單的一次函數表達式，發展學生的數學應用能力;加強數學與現實的聯系，促進學生新的認識結構的建立和數學應用的發展。在課堂教學中教師的角色從知識的傳授者轉變為學生學習的組織者、引導者、合作者與共同研究者。通過這種創設問題情境的教學，能始終讓學生處于一種積極思考問題的狀態中，從而激發學生自覺地探究數學問題，體驗發現的樂趣。

（二）學的轉變

本節內容是讓學生經歷一般探索過程，從實際問題中抽象出用待定系數法求一次函數解析式，所以在教學方法上應以學生自學為主，教師予以引導為輔，在學生遇到困難如根據已知條件求出簡單一次函數表達式和一次函數的實際應用時，學生在此方面會出現一定的差異，此時，要給予學生足夠的思考時間，必要的時候可組織學生交流討論，而不能簡單地“告訴”;同時讓更多的學生上黑板去展示自己，并進一步讓學生從中感受從具體情境中挖掘信息應用適當的方式求一次函數關系式，從而加深對建模思想的理解。為兼顧優等生，更好地評價學生，特設計了能力拓展題，讓教學盡可能使學生各有收獲。

參考文獻：

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