磁化套筒慣性聚變一維集成化數值模擬*

趙海龍 肖波 王剛華 王強 章征偉 孫奇志 鄧建軍

(中國工程物理研究院流體物理研究所, 綿陽 621900)

磁化套筒慣性聚變(magnetized liner inertial fusion, MagLIF)結合了傳統磁約束聚變和慣性約束聚變的優點, 理論上可以顯著地降低聚變實現的難度, 具有極大的應用潛力.以研究MagLIF中的關鍵問題為目標,建立能夠綜合考慮磁化、預加熱、套筒內爆、聚變反應、端面效應、磁通壓縮等多種復雜機制在內的集成化物理模型, 特別是通過引入流體噴射模型, 使得可以在一維計算條件下考慮具有二維特性的端面損失情況,并額外考慮Nernst擴散項對磁通損失的影響.在此基礎上編寫實現一維集成化MagLIF數值模擬程序MIST(magnetic implosion simulation tools), 與FP?1裝置(2 MA, 7.2 μs)上鋁套筒內爆實驗結果的對比驗證了程序磁流體模塊的正確性; 將聚變模塊納入后與國外同類程序LASNEX和HYDRA計算結果進行整體比較, 所得數值結果總體接近, 主要差異體現在燃料溫度的計算上, 對可能影響的原因進行了簡要分析.所建立的集成化模型與程序將為未來開展MagLIF聚變實驗研究提供堅實的理論基礎和重要工具.

1 引 言

能源是人類社會和文明發展的基礎.進入21世紀后, 核能在人類社會消耗能源中所占比例[1]越來越高, 而可控核聚變被認為是解決未來能源問題的重要手段之一.國際可控核聚變領域的研究多集中于磁約束聚變(magnetic confinement fusion,MCF)[2?4]和慣性約束聚變 (inertial confinement fusion, ICF)[5?7]這兩大主流方向上, 它們主要區別在于實現聚變條件的具體方式不同.與此同時,國內聚變研究領域也有較快的發展, 其中有代表性的如：中國科學院等離子體物理研究所的東方超環(EAST)裝置, 主要用于MCF物理過程[8,9]研究; 中國工程物理研究院建立的神光系列裝置和“聚龍一號”裝置, 廣泛應用于激光[10,11]和Z箍縮[12,13]驅動ICF研究.然而, 傳統的聚變方式都面臨著不同的工程和技術問題, 距離點火的目標仍有一定的差距, 因此有必要探索新的聚變構型, 以盡量降低實現聚變的難度.

2010年由美國圣地亞實驗室提出[14]的磁化套筒慣性聚變(magnetized liner inertial fusion,MagLIF), 是一種在ICF中引入軸向磁場, 并結合傳統MCF與ICF優勢的新聚變構型, 該聚變整個過程包括 3個主要階段：燃料磁化 (magneti?zation)、激光預加熱 (laser pre?heating)和套筒壓縮(compression), 如圖1所示.通過簡單的計算可以看出MagLIF構型對氘氚(DT)反應產生的a粒子能量利用率很高, 因此在理論上能夠顯著降低聚變實現的難度, 有極大的應用潛力.初始時刻MagLIF中引入了較強(～30 T)的預置軸向磁場,在外套筒的內爆壓縮作用下, 磁場與DT燃料一起被壓縮, 在壓縮最緊密時刻磁場可達到數千特斯拉.一般條件下DT反應產生的a粒子的平均自由程[6]為若燃料溫度為7 keV, 粒子數密度1022/cm3, 取庫侖對數lnΛ = 9時λa大約是5 cm, 遠大于MagLIF實驗負載尺寸(～1 cm).引入軸向磁場(假設峰值為2000 T)后, 根據公式 rL=2.71×105/B , 可計算得到a粒子徑向回旋半徑為0.135 mm, 此時燃料內部的a粒子能量沉積效率顯著提高.

圖1 MagLIF過程示意圖(包含3個主要階段)Fig.1.Schematic of MagLIF process, including three main stages.

MagLIF構型自提出后在理論模擬與實驗上均取得快速的進展[15?20], 圣地亞實驗室取得的成就引發全世界科學家對該領域的關注, 未來將朝著實現點火的目標繼續發展.在本文作者前期開展的零維聚變模型的研究中[21], 氘氚燃料區被簡化為質點(即密度、壓強、磁場等各種物理量在燃料區都被認為是均勻分布, 燃料能量方程由解析表達式描述), 模型相對粗糙.本文工作在前期基礎上有了較大的進步, 在建模中考慮了a粒子沉積、輸運以及Nernst效應等多種物理模型, 特別是引入流體噴射模型使得程序可以在一維計算中考慮二維端面損失效應, 并將燃料區和金屬套筒統一納入磁流體力學控制方程的描述中, 構建了完整的一維集成化數值模擬程序.

本文結構安排如下：首先介紹基本物理模型,包括對于整個物理過程的認知、磁流體動力學(magneto?hydro?dynamic, MHD)方程組、a 粒子能量方程、聚變模型以及磁場作用下的徑向熱擴散等; 隨后引入了流體噴射模型, 用于在一維計算條件下考慮端面效應的影響, 并在磁擴散方程中增加了由于溫度梯度導致的Nernst擴散項; 然后程序校驗部分通過與FP?1裝置上鋁套筒內爆實驗結果的對比驗證了磁流體模塊的正確性, 并將聚變模塊納入后與國外同類程序LASNEX和HYDRA計算結果進行了整體比較, 以檢驗物理建模與程序代碼的合理性; 最后是總結與展望.

2 物理模型

對于MagLIF而言, 發生聚變時刻狀態燃料處于高溫 (5—10 keV)、高密度 (ne＞ 1020/cm3), 可視為全電離、理想導電流體, 驅動源來自外部電流,同時有軸向磁場的存在, 整體上使用MHD方程組描述是合適的.但MagLIF包含非常復雜的多個物理過程, 為便于一體化的描述, 必須適當簡化：

1)認為程序計算時, DT燃料為完全電離的等離子體, 燃料光性薄, 金屬套筒光性厚, 燃料中的軔致輻射完全沉積在套筒內壁上.

2)估算結果表明, MagLIF典型參數設置條件下, 因聚變反應DT燃料損失質量不超過1%, 因此程序中不考慮燃料質量損失.

3)根據對激光預加熱 r -θ 平面二維數值模擬結果[16], 在預加熱后很短時間(～20 ns)內電子和離子溫度快速取得平衡, Z裝置上首批氘氘(DD)實驗的結果[18]也證實遲滯時刻電子與離子溫度差別很小, 因此程序使用單溫MHD模型.

2.1 MHD方程組

基于上述考慮, 使用拉氏描述方式, 建立描述MagLIF過程的單溫、單流體、多介質MHD方程組：

式中, ρ為密度, u為速度矢量, p為壓強, e為比內能, q為熱流密度矢量, w為外部能量沉積率,μ0為真空磁導率, η 為電阻率, B為磁場強度,J≡為電流密度.

套筒和DT燃料區可統一采用方程組(1)—(4)描述, 二者的區別在于能量方程(3)中的外部能量沉積項 ρ w .對 于金屬套筒 ρ w=0 .對 于DT燃料, 由于聚變反應, 需要考慮軔致輻射和a粒子能量沉積效應, 則能量沉積項為

式中, Eα為單位體積的a能量; Gα為a能量耗散系數; Qrad為單位體積的軔致輻射損失項.

2.2 a粒子能量方程

a粒子能量 Eα單獨滿足一個演化方程, 根據文獻[22]該方程可寫為

式中, Dα為方程擴散系數, Gα為方程耗散系數,n˙為DT聚變反應率, Eα0= 3.5 MeV為聚變反應產生的a粒子初始能量.

(6)式中擴散系數 Dα與磁場強度相關, 具體表達式(高斯制)為

能量方程耗散系數為

2.3 DT聚變模型

為便于計算, 本文僅考慮DT聚變初級反應：

相應的聚變反應率為

表1 系數C0—C7的取值Table 1.Values of coefficient C0—C7.

2.4 磁場影響下的徑向熱擴散

軸向強磁場的引入還會影響燃料中電子和離子沿徑向的熱擴散, 根據文獻[22], 磁場影響下徑向熱擴散系數(高斯制)如下：

這里, c0為真空中的光速; me為電子質量; mi為1∶1混合DT燃料等效離子質量, mi= 2.5mp;e和Li分別為電子與離子的庫侖對數, 聚變條件下DT燃料密度約為1 g/cm3, 溫度約為10 keV,此時Le和Li分別取值[22]為7和9; eg為高斯制下電子電荷; Bg為高斯制下磁場強度.

3 流體噴射模型：端面效應

為了實現對MagLIF中的氘氚燃料的激光預加熱, 需要在聚變靶頂部開孔(用聚合物薄膜進行覆蓋密封), 稱為激光注入孔(laser entrance hole,LEH).外部激光器所產生的激光束通過此孔進入燃料內部, 將燃料快速(～2 ns)加熱至等離子體態, 滿足預加熱所需的溫度要求(50—300 eV).但是這個開孔的存在會導致在套筒壓縮階段內部的燃料向外噴射, 造成燃料質量和內能的損失, 這就是所謂的端面損失效應, 如圖2所示.端面效應的準確模擬需要至少在二維情形下進行, 本文中為了在一維中考慮端面效應, 提出近似的簡化模型并在一維方程中建立描述端面效應的質量、能量損失項.下面予以詳細討論.

圖2 端面效應簡化模型示意圖Fig.2.Schematic of simplified model describing end loss ef?fect.

LEH僅占整個燃料區間的一部分, 半徑用rLEH來表示, 程序中僅當燃料網格位置r小于rLEH時, 才考慮端面效應, 其他情況下忽略.對于rLEH范圍內的燃料, 忽略流體黏性后, 可采用噴射模型來描述.查詢物理手冊可知, 管道內相對于外界超壓為P的流體, 其噴射速度 Cgs為

在程序計算的單個時間步dt內, 對于r ＜rLEH內任一層網格, 如果單獨提取出來并考慮軸向運動情況, 如圖2中右側柱體所示.認為每個時間步內頂部 Cgs×dt 高度內的燃料質量dM和內能dE全部向外噴射丟失, 剩余的質量和內能在高度h內重新均勻分配并計算密度.由此可以寫出單個時間步dt內噴射質量和內能的損失為

式中, r為網格起始沿徑向所在位置, ρ 為燃料密度, E為網格內燃料的總內能, e為網格內燃料的比內能, M為網格內燃料的總質量, S為網格的底面積.

受端面效應影響, 原有MHD方程組中質量和能量方程應增加一項損失項, 由(14)和(15)式推導后可得考慮端面效應后新的控制方程如下：

式中h為燃料高度.

端面效應的流體噴射模型未考慮沿軸向流體分布和壓力做功細節, 從物理模型來看, 可能高估了質量和內能損失, 損失率上應乘以系數Φ1; 若考慮流體摩擦(黏性), 應乘以速度指數Φ2(對于水,Φ2約為0.97); 若考慮噴嘴幾何構型收縮, 應再乘以收縮系數Φ3(對于銳噴射口, Φ3約為0.61).

4 磁擴散項：Nernst效應

為了將a粒子能量約束在氘氚燃料區的范圍以內, 需要數千特斯拉的超強磁場, 在MagLIF中這是通過壓縮凍結在燃料中的軸向磁場來實現的.磁凍結效應由(4)式等號右端的第2項和第3項描述.軸向磁場還會發生擴散損失(如圖3所示),這包含了兩種機制, 一種是氘氚燃料和金屬套筒的電阻率引起的普通磁擴散, 另一種是徑向溫度梯度導致的Nernst磁擴散效應.普通磁擴散由(4)式等號右端的第1項描述.

圖3 磁通壓縮與擴散過程示意圖Fig.3.Schematic of magnetic flux compression and diffu?sion process.

Nernst效應的基本原理是：在完全電離的等離子體中, 磁場被凍結在承擔傳導功能的電子上,如果垂直于磁場方向存在溫度梯度, 電子將沿熱流方向運動, 并導致磁場沿熱流方向發生額外的擴散.該效應與溫度梯度成正比, 借鑒文獻[14]的寫法并考慮磁通量守恒的要求后, 給出的表達式為

式中, B為軸向磁場強度, ωceτe為電子霍爾參量,kB為玻爾茲曼常數.

將(18)式代入MHD方程組中磁擴散方程內,可以寫出MagLIF過程中燃料內部軸向磁場擴散方程的整體表達形式：

可以進一步推導出(19)式在一維柱坐標下的表達形式：

5 程序對比校驗

綜合上述討論, 得到了由 (2)式、(6)式、(16)式、(17)式、(19)式組成的描述MagLIF演化過程的集成化物理模型.基于該模型, 自主編寫實現一維集成化數值模擬程序MIST.為了檢驗建模和程序的正確性, 本節首先對程序中的MHD模塊進行了單獨校驗; 然后與圣地亞實驗室公開發表MagLIF模擬結果進行整體比對, 以檢驗聚變模塊的合理性.

MHD模塊的校驗使用磁驅動鋁套筒內爆實驗的測量結果, 分別進行了單層套筒(0607發次)和雙層套筒(052發次)實驗結果的比對, 該實驗在中國工程物理研究院脈沖功率驅動裝置FP?1上進行, 驅動電流峰值約2 MA, 上升時間約7.2 μs, 兩個發次的實驗電流曲線如圖4所示.

0607發次實驗負載采用單層鋁套筒, 外半徑為15.5 mm, 厚度為0.5 mm; 0523發次實驗采用雙層鋁套筒, 外層套筒外半徑為15.5 mm, 厚度為0.5 mm, 內層套筒外半徑為 11.2 mm, 厚度為0.7 mm.使用上述參數作為MIST程序的輸入條件, 計算得到套筒自由面速度與測量結果的比較如圖5所示.

圖4 FP?1裝置0523與0607發次實驗驅動電流測量曲線Fig.4.Experimental current curves of shot 0523 & 0607.

圖5 MIST計算得到的自由面速度曲線與實驗測量結果的比較 (a) 0607發次; (b) 0523發次Fig.5.Comparison of inner surface velocity curves between the calculations and measurements：(a) 0607 shot; (b) 0523 shot.

由于實驗中測量電流使用的磁場線圈安裝位置距離套筒負載仍有一定距離, 且高功率脈沖驅動器匯流區存在額外的電流損失機制[24?25], 因此為表征測量結果與真實流經負載的電流差異,MHD計算中通常對實驗電流進行一個系數修正,上述計算中該修正系數分別是0.82 (0607發次)和0.76 (0523發次).又考慮到實驗中測量設備之間觸發信號的抖動可能導致所測量結果的零點不一定完全對準, 因此計算結果對速度曲線從整體上在時間軸向右進行了微小的平移, 對0607發次右移0.38 μs, 占加載時間比例為1.9%, 對0523發次右移0.23 μs, 占加載時間比例為1.9%.圖5的對比結果顯示, MIST程序計算與實驗測量結果吻合一致, 平均誤差小于1%, 驗證了MHD模塊的正確性.

將聚變模塊納入后, 進行了MagLIF集成化測試算例的計算, 參數設置如下：金屬鋁套筒, 初始半徑為3 mm, 位型比(定義為套筒半徑與厚度的比值)AR = 10, 高度為5 mm, DT燃料初始密度為3 mg/cm3, 初始軸向磁場為30 T, 預加熱溫度為250 eV, 加載電流為30 MA, 上升時間為120 ns,網格數為60.在不考慮端面效應和Nernst效應的情況下, 計算結果(如圖6所示)表明遲滯時刻燃料溫度為8.4 keV, 聚變產額約為550 kJ, 能量增益為1.6, 壓縮比CR約為14, 峰值壓力為3.6 Gbar(1 bar = 105Pa), 密度為0.6 g/cm3, 壓縮磁場峰值為2500 T, 峰值內爆速度為75 km/s.

端面效應與Nernst效應會分別導致燃料內部的質量、內能和磁通發生額外的損失, 考慮兩種效應后所計算得到的燃料質量和套筒內磁通隨時間的變化如圖7所示.從30 ns左右隨著激光預加熱的加載, 端面效應開始發揮作用, 套筒內燃料質量不斷從頂部噴射損失, 到遲滯時刻125 ns左右, 僅有58.5%的初始質量殘留; 此時受Nernst效應與普通磁擴散的綜合影響, 套筒內相應的磁通保有量銳減至64%.計算結果表明端面效應與Nernst效應對于MagLIF內爆結果影響很大, 即使在一維模擬中也應盡量給予考慮, 遲滯時刻套筒內燃料質量與磁通的殘余量也與文獻[18]中給出的結果相符合.

為進一步校驗程序, 我們選擇圣地亞實驗室報告[26,27]中所使用的一維計算結果, 采用同樣的初始參數和驅動電流開展計算, 與LASNEX和HYDRA程序的計算結果進行比對.國外程序所使用的計算參數為：金屬鈹套筒, LASNEX程序中初始半徑為3.24 mm、HYDRA程序中初始半徑為3.1 mm,位型比AR = 6, 高度為5 mm, DT燃料初始密度為3 mg/cm3, 初始軸向磁場為30 T, 預加熱溫度為250 eV, 加載電流為27 MA, 上升時間約120 ns.

圖6 MIST程序計算得到的(a)監測點、(b)套筒內爆速度、(c)燃料溫度, 以及(d)聚變產額等隨時間的演化曲線Fig.6.Calculated results of (a) grid position, (b) implosion velocity, (c) fuel temperature, and (d) fusion yield evolving with time.

圖7 端面效應與Nernst效應影響下, 套筒內(a)燃料質量與(b)磁通隨時間的演化Fig.7.(a) Fuel mass and (b) magnetic flux evolving with time with consideration of end loss and Nernst effect.

表2 MIST與LASNEX和HYDRA程序一維計算結果的對比Table 2.Comparison of calculated results between MIST and LASNEX, HYDRA.

MIST程序與LASNEX和HYDRA程序的一維計算結果對比如表2所列, 可以發現MIST程序計算數值與國外程序計算結果總體接近.計算結果的對比中, 有直接聯系的燃料溫度和聚變產額等都普遍大于國外程序計算結果, 而壓縮比與磁場強度也一致地小于國外程序計算結果, 這說明我們程序的計算結果在物理上是自洽的.導致計算結果差異的主要原因就在于聚變發生后燃料溫度計算值偏高, 造成這種情況的原因可能有兩點：1)程序未考慮因聚變反應本身造成的質量損失, 聚變反應率的計算有所高估; 2)程序所使用的材料狀態方程庫在聚變溫度范圍內數據點比較稀疏, 調用時采用線性差值方式得到的燃料溫度值可能偏高, 導致聚變反應率相應增大, 而聚變放能反過來又會繼續推升溫度, 使得溫度計算的差異被放大.

6 總結與展望

MagLIF具備科學、技術和工程3個方面的應用前景, 不僅有望為未來商業能源提供低成本的聚變實現方案, 其本身也是多物理場、多學科交叉的集成化創新典范, 且能夠拓展現有大型脈沖功率驅動裝置應用范疇.然而, 國內對于MagLIF領域的相關研究尚處在起步階段, 集成化數值模擬能力亟需進一步發展和提升.

本文從基本磁流體力學方程組出發, 建立了能夠綜合考慮磁化、預加熱、套筒內爆、聚變反應、端面效應、磁通壓縮等多種復雜機制在內的集成化物理模型, 編寫實現了一維集成化MagLIF數值模擬程序MIST.物理模型中對流體噴射模型和Nernst擴散項的引入, 使得程序能夠計算得到燃料質量與磁通的損失過程.與磁驅動鋁套筒內爆實驗結果的對比, 驗證了程序中磁流體模塊的正確性, 而聚變模塊與國外同類程序LASNEX和HYDRA計算結果的對比說明程序對MagLIF的模擬總體合理,主要差異體現在燃料溫度的計算上, 并對可能的原因進行了簡要分析.

本文的工作為開展MagLIF關鍵問題數值模擬研究搭好了框架, 但是其中的部分模型細節尚未十分完善, 例如端面效應中的流體噴射模型, 并未考慮流體性質、LEH的幾何形狀甚至是套筒對燃料壓縮過程等因素的影響, 仍需進一步進行修正和檢驗.此外, 對影響MagLIF聚變過程的關鍵物理問題如質量和內能損失、Nernst效應的影響、預加熱機制、a粒子輸運等也需進一步深入的物理分析, 這些方向將是我們下一步工作的主要目標.