利用保角變換實(shí)現(xiàn)環(huán)形光柵的Talbot效應(yīng)*

楊哲寧 樂(lè)陽(yáng)陽(yáng) 洪煦昊 趙瑞智 陸蓉兒 馮霞 許亞光 袁旭東 張超? 秦亦強(qiáng)? 朱永元??

1) (南京大學(xué)現(xiàn)代工程與應(yīng)用科學(xué)學(xué)院, 南京 210023)

2) (南京大學(xué)物理學(xué)院, 南京 210023)

Talbot效應(yīng)是一種近場(chǎng)自成像效應(yīng), 通常只有周期光柵可以產(chǎn)生Talbot效應(yīng), 而環(huán)形光柵無(wú)法產(chǎn)生.本文通過(guò)引入保角變換, 發(fā)現(xiàn)可以在環(huán)形光柵外部設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)恼凵渎蕽u變層介質(zhì), 使得其中也能夠產(chǎn)生嚴(yán)格的Talbot效應(yīng), 并計(jì)算了對(duì)應(yīng)的自成像半徑表達(dá)式.本文利用FDTD軟件分別將一個(gè)環(huán)形光柵放置在真空中以及人工設(shè)計(jì)的折射率漸變層中進(jìn)行了模擬, 并對(duì)二者的結(jié)果進(jìn)行了比較分析, 發(fā)現(xiàn)這種折射率漸變層介質(zhì)確實(shí)對(duì)點(diǎn)光源入射的環(huán)形光柵的自成像情況有著很好的改善.希望這一工作能夠推廣Talbot效應(yīng)的應(yīng)用范圍.

1 引 言

Talbot效應(yīng)是Talbot[1]在1836年發(fā)現(xiàn)的一種無(wú)透鏡近場(chǎng)自成像效應(yīng), 在使用單色光入射一周期性結(jié)構(gòu)后, 他在該結(jié)構(gòu)后的某些特定距離處觀察到了與出射面處完全相同的光場(chǎng)分布.1881年Rayleigh[2]第一次對(duì)這種周期結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生的自成像現(xiàn)象進(jìn)行了系統(tǒng)的分析, 發(fā)現(xiàn)這是一種基于相干衍射的近場(chǎng)效應(yīng).Talbot效應(yīng)在圖像處理與合成、激光照明陣列及光學(xué)分析等領(lǐng)域都有著重要的應(yīng)用[3?6], 近年來(lái)相關(guān)研究還擴(kuò)展到了圖像修復(fù)領(lǐng)域[7]、聲學(xué)領(lǐng)域[8,9]、X射線領(lǐng)域[10,11]等.最近還有課題組利用原子密度光柵替代傳統(tǒng)光柵, 將Talbot效應(yīng)與量子測(cè)量相聯(lián)系[12,13], 可見這一研究領(lǐng)域還有著巨大的潛力等待挖掘.

變換光學(xué)是一種在設(shè)計(jì)人造光學(xué)材料時(shí)使用的數(shù)學(xué)方法, 基礎(chǔ)是麥克斯韋方程組在坐標(biāo)變換下的協(xié)變性, 其最早是在2006年由Pendry等[14]和Leonhardt[15]分別發(fā)表他們有關(guān)隱身斗篷的文章時(shí)提出的.對(duì)于二維且介電性質(zhì)各向同性的材料,存在一種較簡(jiǎn)單的處理方法——保角變換, 該方法涉及到兩個(gè)空間——虛擬空間和物理空間.虛擬空間是想象中光線傳播的空間, 而物理空間為光線實(shí)際傳播的空間, 二者通過(guò)保角變換公式來(lái)進(jìn)行坐標(biāo)變換.可以通過(guò)該方法計(jì)算出在物理空間中添加什么形式的折射率變化層, 能夠使得光線在此空間中的傳播方式與虛擬空間中對(duì)應(yīng)[16,17].

2017年Wang等[18]使用保角變換將麥克斯韋魚眼透鏡變?yōu)榱艘环N全新的介質(zhì), 并在這種介質(zhì)中觀察到了帶有自聚焦效應(yīng)的自成像現(xiàn)象.這一研究首次將Talbot效應(yīng)與變換光學(xué)聯(lián)系了起來(lái).

與平面周期性結(jié)構(gòu)相比, 環(huán)形周期性結(jié)構(gòu)有著一些特殊的性質(zhì).對(duì)于點(diǎn)光源入射, 其有界無(wú)限的特性使得環(huán)形光柵能夠看作一無(wú)限長(zhǎng)的光柵, 這彌補(bǔ)了平面光柵長(zhǎng)度有限的不足, 同時(shí)點(diǎn)光源入射時(shí)自成像還對(duì)環(huán)形光柵的結(jié)構(gòu)具有放大的效果.在2010年及2015年分別有兩項(xiàng)有關(guān)曲面光柵的自成像效應(yīng)研究[19,20], 前者分析了當(dāng)平行光入射環(huán)形光柵后的自成像現(xiàn)象, 而后者進(jìn)一步分析了平行光入射拋物面光柵及橢圓光柵后的光場(chǎng)分布.然而,平行光入射并不能充分利用到環(huán)形光柵的上述優(yōu)點(diǎn), 并且通常情況下環(huán)形光柵無(wú)法產(chǎn)生嚴(yán)格的Talbot效應(yīng).本文將保角變換與Talbot效應(yīng)相結(jié)合, 設(shè)計(jì)出一種合適的折射率漸變層, 使得點(diǎn)光源入射的環(huán)形光柵也能產(chǎn)生Talbot效應(yīng).

2 理 論

對(duì)于真空中圓心在原點(diǎn)的環(huán)形光柵(圖1), 其中虛線圓為環(huán)形光柵, 圓心處為點(diǎn)光源, 外圍的實(shí)線圓代表像面, 在柱坐標(biāo)系中很容易得到它的傅里葉展開式：

其中α為與極軸的夾角, m為該環(huán)形光柵一周的周期數(shù).

對(duì)于點(diǎn)光源入射, 此光柵衍射光場(chǎng)的菲涅耳積分結(jié)果為[21]

其中R0為光柵的半徑, R為像面的半徑,表示第 m × n階第一類漢克爾函數(shù).對(duì)比(1)和(2)式可以發(fā)現(xiàn), 自成像的條件為式對(duì)于任意整數(shù)n均為一常數(shù).而由于漢克爾函數(shù)的復(fù)雜性, 顯然并不能找到一個(gè)自成像距離R使得該條件成立, 因此真空中點(diǎn)光源入射的環(huán)形光柵是不存在Talbot效應(yīng)的.

對(duì) R0=40μm,m=90 , 入射光波長(zhǎng) λ = 532 nm的環(huán)形光柵利用FDTD軟件Lumerical進(jìn)行了衍射模擬, 其中光柵厚度為0.1 μm (圖2).對(duì)于真空中點(diǎn)光源入射的環(huán)形光柵, 我們發(fā)現(xiàn)各衍射光束的邊緣較為模糊.在前面有關(guān)(2)式的討論中已經(jīng)發(fā)現(xiàn)其并不存在完美的自成像效應(yīng), 且由于(2)式中菲涅耳積分結(jié)果的復(fù)雜性, 很難通過(guò)計(jì)算得到自成像程度最高的環(huán)面的位置, 僅能在觀察衍射結(jié)果后將各個(gè)面上的光場(chǎng)分布與光柵結(jié)構(gòu)比較來(lái)得到自成像程度最高的環(huán)面的半徑.這一缺點(diǎn)極大地限制了點(diǎn)光源入射的環(huán)形光柵的自成像效應(yīng)的應(yīng)用.

圖1 點(diǎn)光源入射的環(huán)形光柵衍射圖解Fig.1.Ring grating with a point source of incident light.

圖2 Lumerical模擬結(jié)果(光柵內(nèi)的光場(chǎng)已去除)Fig.2.Simulation results (light field inside the grating has been removed).

然而, 如果在虛擬空間中想象存在一真空中的平面光柵, 然后對(duì)這一空間進(jìn)行保角坐標(biāo)變換得到物理空間, 那么根據(jù)保角變換并不改變麥克斯韋方程組的解的性質(zhì)[22], 可以直接將虛擬空間中平面Talbot效應(yīng)的結(jié)論應(yīng)用到物理空間中的環(huán)形光柵上.

采用的保角變換公式為

其中 w =u+iv 是虛擬空間的基矢, z =x+iy 是物理空間的基矢, m′可以看作“空間彎曲參數(shù)”, 它決定了將“平面”的虛擬空間彎曲成“環(huán)形”的物理空間時(shí)空間壓縮和拉伸的程度, 其單位與基矢的長(zhǎng)度單位相同.

其中R為物理空間中像點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.考慮到不存在折射率小于1的材料以及折射率無(wú)窮大的材料, 將靠近圓心處nz過(guò)大的區(qū)域去除, 同時(shí)僅考慮 nz＞1 , 即 R ＜m′時(shí)的光場(chǎng)(如圖3所示).

圖3 虛擬空間(左)和物理空間(右)示意圖Fig.3.Schematic diagram of virtual space(left) and physic?al space(right).

對(duì)于半徑為R0, 周期數(shù)為m的光柵, 其對(duì)應(yīng)的想象中放置在虛擬空間的平面光柵周期d =2πm′/m(d為周期的弧長(zhǎng)), 由虛擬空間中平面光柵的Talbot距離 UT=2d2/λ 可得對(duì)應(yīng)的物理空間中的環(huán)形光柵自成像半徑：

由(5)式可以看出, 要存在 m′滿足 RT＜m′,所計(jì)算的環(huán)形光柵的周期數(shù)和半徑需要滿足的關(guān)系, 這是由于不存在折射率小于1的材料而產(chǎn)生的限制.

取 m′= 50 μm, 使用 Lumerical對(duì)入射光為波長(zhǎng)1064 nm的點(diǎn)光源, R0= 10 μm, m = 50帶有折射率漸變層的環(huán)形光柵進(jìn)行了衍射模擬(結(jié)果見圖4).其中光柵的內(nèi)徑為10 μm, 外徑為10.1 μm.根據(jù)計(jì)算, 此光柵的自成像半徑應(yīng)為44.55 μm.將圖2與圖4(a)相比較, 可以很明顯地觀察到折射率漸變層的存在使得光場(chǎng)分布發(fā)生了變化, 后者的衍射情況與平面光柵更為類似.另一方面, 我們發(fā)現(xiàn)圖4(a)中光場(chǎng)交錯(cuò)的間距在逐漸增大, 這與(5)式中指數(shù)的存在相符.然而, 由圖4(b)可以看出, 光柵處的光場(chǎng)有著明顯的尖端分叉.這是由于受到模擬條件的限制, 在模擬中本文的光柵周期較小所造成的, 在實(shí)際中若采用的光柵周期大一些,二者符合的程度能夠提升很多.另外使用同種入射光對(duì)于內(nèi)徑為 50 μm, 外徑為 50.1 μm, m = 120,m′= 300 μm的光柵進(jìn)行了衍射光場(chǎng)的模擬, 由于內(nèi)存限制, 僅模擬了 1 /4 個(gè)光柵的衍射光場(chǎng), 因此在0和 π /2 附近的光場(chǎng)會(huì)受到邊緣效應(yīng)的影響.做出中間部分自成像面(R = 235.1 μm)光場(chǎng)與光柵光場(chǎng)的比較, 可以發(fā)現(xiàn)大周期光柵的光柵處光場(chǎng)分叉現(xiàn)象減弱了很多, 二者符合得很好(如圖5所示).

圖4 對(duì)于內(nèi)徑為10 μm, 外徑為10.1 μm, m = 50, m ′ = 50 μm的光柵, (a) Lumerical模擬結(jié)果(光柵內(nèi)的光場(chǎng)已去除), 以及(b)自成像光場(chǎng)(短劃線)與光柵處光場(chǎng)(實(shí)線)的對(duì)比Fig.4.For the grating with the inner diameter of 10 μm and the outter diameter of 10.1 μm (m=50, m ′ = 50 μm), (a) simulation results (light field inside the grating has been removed), and (b) comparison of self?image (dash line) and the light field at r = 10.1 μm(solid line).

圖5 對(duì)于內(nèi)徑為50 μm, 外徑為50.1 μm, m=120, m ′ = 300 μm的光柵, (a) Lumerical模擬結(jié)果(光柵內(nèi)的光場(chǎng)已去除), 以及(b)自成像光場(chǎng)(虛線)與光柵處光場(chǎng)(實(shí)線)的對(duì)比Fig.5.For the grating with the inner diameter of 50 μm and the outter diameter of 50.1 μm (m=120, m ′ = 300 μm), (a) simula?tion results (light field inside the grating has been removed), and (b) comparison of self?image (dash line) and the light field at r = 10.1 μm(solid line).

3 總 結(jié)

使用保角變換設(shè)計(jì)出一種特殊的折射率變化層, 使得點(diǎn)光源入射的環(huán)形光柵能在其中產(chǎn)生Talbot效應(yīng).利用保角變換, 可以直接將平面光柵的結(jié)論應(yīng)用到環(huán)形光柵中來(lái), 通過(guò)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)變換將平面光柵中自成像距離轉(zhuǎn)化成環(huán)形光柵中的自成像半徑, 避免了復(fù)雜的菲涅耳衍射積分.使用Lumerical軟件對(duì)環(huán)形光柵及漸變折射率層中的光場(chǎng)分布進(jìn)行了數(shù)值模擬, 結(jié)果與理論預(yù)期相一致.盡管該方法對(duì)環(huán)形光柵的結(jié)構(gòu)有著一定的要求, 但由于點(diǎn)光源入射的環(huán)形光柵的自成像效應(yīng)有著放大效果, 同時(shí)環(huán)形光柵有著平面光柵所沒(méi)有的有界無(wú)限的特性, 我們認(rèn)為該方法在光學(xué)分析和圖像處理方面有著一定的潛在應(yīng)用.