深“挖”概念 促進(jìn)理解
——以函數(shù)一章為例淺談數(shù)學(xué)概念教與學(xué)

>>>盧艷威

一、問題的產(chǎn)生與解決

1.背景

高一第一學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷中的兩道題：

15.若函數(shù)y=f（x+1）的定義域?yàn)閇-2，4]，則函數(shù)y=f（2x-1）的定義域?yàn)?

18.已知f（x）是定義域在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x3+x+1，求f（x）的解析式.

經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這兩道題全年級(jí)的正答率分別為21.7%和 35%。

2.錯(cuò)因分析

為了分析錯(cuò)因，筆者設(shè)計(jì)以下兩個(gè)問題與學(xué)生交流：

問題1.f（x+1）和f（2x-1）的定義域分別指的是什么?

問題2.你認(rèn)為f（x）可以表示哪些意義?

結(jié)果，第1個(gè)問題只有32%的學(xué)生回答正確；第2個(gè)問題有63%的學(xué)生回答“它指的是以x為自變量的函數(shù)”，只有37%的學(xué)生回答“它可以指自變量取值為x時(shí)的函數(shù)值”。

由此不難發(fā)現(xiàn)，在概念的教與學(xué)中，對(duì)概念的呈現(xiàn)、形成和運(yùn)用等環(huán)節(jié)缺乏精心設(shè)計(jì)與必要思考。

3.針對(duì)性補(bǔ)償教學(xué)

找出了問題，筆者進(jìn)行了相應(yīng)的補(bǔ)償性教學(xué)。

案例1.針對(duì)15題，筆者設(shè)計(jì)了以下課堂提問：

問題1：函數(shù)的定義域指的是什么?你如何理解?

學(xué)生回答：函數(shù)的定義域指的是函數(shù)自變量的取值集合。

教師進(jìn)一步追問：這啟發(fā)我們求定義域先看什么？

學(xué)生：先看自變量是什么。

問題2：函數(shù)f（x+1）的自變量是什么?函數(shù)f（2x-1）的自變量又是什么?

學(xué)生答案不一，少數(shù)學(xué)生說自變量仍是x，大部 分學(xué)生說 f（x+1）的 自 變量是 x+1，f（2x-1）的自變量是 2x-1.

教師啟發(fā)學(xué)生舉例說明.

問題3：結(jié)合上述例子說明函數(shù)y=f（x+1）的定義域與函數(shù)y=f（2x-1）的定義域的聯(lián)系是什么?

學(xué)生：函數(shù)y=f（x+1）中x+1的范圍與y=f（2x-1）中2x-1的范圍一致.

案例2. 針對(duì)18題，筆者設(shè)計(jì)了以下課堂提問：

問題 1：請(qǐng)你依據(jù)課本，回答：f（x）的含義有哪些?

學(xué)生：f（x）指的是關(guān)于x的函數(shù)，也表示與x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值.

問題 2：已知 f（x）是定義在 R 上的奇函數(shù)，當(dāng) x＞0 時(shí)，f（x）=x3+x+1.你能否求解 f（-2）和f（a）（a＜0）?

學(xué)生：f（2）=11，f（-2）=-f（2）=-11，

當(dāng) a＜0 時(shí)，-a＞0，則 f（-a）=-a3+a+1，得f（a）=-f（-a）=a3+a-1.

問題3：當(dāng)x＜0時(shí)，能否求出相應(yīng)的函數(shù)值 f（x）?

學(xué)生很容易得出x＜0時(shí)，f（x）=x3+x-1，從而順利解答18題.

二、深“挖”概念促理解的策略

1.回歸教材，培養(yǎng)學(xué)生提取信息的能力

講授數(shù)學(xué)概念之前，應(yīng)適當(dāng)預(yù)設(shè)一些問題讓學(xué)生獨(dú)立思考，并通過閱讀教材促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念的挖掘，培養(yǎng)其自學(xué)能力。在遇到困惑時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生回歸教材，從數(shù)學(xué)概念本身尋找思維的突破口。如在函數(shù)奇偶性的學(xué)習(xí)中，很多學(xué)生在判斷函數(shù)奇偶性時(shí)容易忽略“定義域?qū)ΨQ”這一必要條件。其原因主要是學(xué)生對(duì)于定義中“任意一個(gè)x”的“任意”二字的理解。若在此處教師能精心設(shè)計(jì)問題，如“你是如何理解‘任意’的？在判斷函數(shù)奇偶性時(shí)需要注意什么？”，效果是不言而喻的。

2.創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)情境，促進(jìn)概念理解完整化

一個(gè)概念的形成是呈螺旋式上升的，要經(jīng)過具體到抽象、感性到理性的過程。恰當(dāng)?shù)那榫硠?chuàng)設(shè)能使概念的形成自然、合理。情境創(chuàng)設(shè)是否合理決定于所舉例子能否促進(jìn)概念理解的完整化。如在函數(shù)概念一節(jié)的情境創(chuàng)設(shè)中，既要有用解析式表達(dá)的函數(shù)例子，也要有用圖象和列表表達(dá)的函數(shù)例子，否則學(xué)生容易形成“函數(shù)就一個(gè)解析式”的錯(cuò)誤印象。問題情境的創(chuàng)設(shè)既要能激發(fā)學(xué)生的求知欲，又要能使學(xué)生在問題的解決中體會(huì)到概念的合理性。如對(duì)函數(shù)單調(diào)性定義中“任意”的理解，若在其中依次設(shè)置問題：“存在 x1，x2， 當(dāng) a＜x1＜x2＜b時(shí)，有 f（a）＜f（x1）＜f（x2）＜f（x3）＜f（b），能保證函數(shù) y=f（x）在區(qū)間[a，b]上遞增嗎？”“存在 x1，x2，x3，當(dāng) a＜x1＜x2＜x3＜b 時(shí)，有 f（a）＜f（x1）＜f（x2）＜f（x3）＜f（b），能保證函數(shù) y=f（x）在區(qū)間[a，b]上遞增嗎？ ”“你認(rèn)為n需要如何取值時(shí)，當(dāng)a＜x1＜x2＜x3＜…＜xn＜b，則 f（a）＜f（x1）＜f（x2）＜…＜f（xn）＜f（b） ，才能保證函數(shù) y=f（x）在區(qū)間[a，b]上遞增？ ”

3.恰當(dāng)類比，使概念理解形象化、直觀化

某些情況下，對(duì)于數(shù)學(xué)中的抽象概念，簡(jiǎn)單的推理與闡釋難以奏效。這時(shí)，恰當(dāng)使用類比可以變陌生為熟悉，化抽象為形象，能增加學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的觀察能力和概括能力。如關(guān)于函數(shù)的三要素，學(xué)生理解模棱兩可，課堂教學(xué)中筆者就將“定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域”分別類比于“布料、加工程序和服裝”，學(xué)生表現(xiàn)出極大的興趣并容易突破這一難點(diǎn)。

4.正反舉例，突破理解瓶頸

通過舉例理解與鞏固數(shù)學(xué)概念是教師在教學(xué)中常用的手段，教師一方面可以通過自己舉例讓學(xué)生突破理解障礙，另一方面也可以讓學(xué)生舉例從而獲得相應(yīng)的反饋。舉例過程中，對(duì)正例反例應(yīng)適當(dāng)兼顧，而不能一味地只舉正例；在正反例的認(rèn)知沖突中，適時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生討論，分別表達(dá)自己對(duì)現(xiàn)象背后原因的思考，在相互啟發(fā)中加深對(duì)概念的理解。