立體幾何中動態問題的解題策略

>>>楊春輝

近幾年的高考試題中，立體幾何中的動態問題多次作為壓軸的客觀題出現。動態問題的起因大致分為兩類：平移與旋轉；而要解決的問題主要有三類：一是面積、體積問題，二是角度問題，三是距離問題。解決這類問題需要非常強的空間想象能力和轉化能力，解題要在動態中找到“靜”的一面，在變中找到“定”的一面，動中求“靜”，變中求“定”。

一、幾何體表面上的動點間的最短距離問題

例1.已知各棱長均為1的四面體ABCD中，E是AD的中點，P∈CE，則BP+DP的最小值為

解析：把平面BEC及平面CED以CE為折線展平，三角形CED是正三角形的一半，故在平面DEBC中，連接BD，與EC相交于點P，則DP+BP為最短距離，再利用余弦定理即可得出.

二、動態中與形成的截面的面積有關的問題

例2.長方體 ABCD-A1B1C1D1中，已知 AA1=3，AB=AD=2，棱AD在平面α內，則長方體在平面α內的射影所構成的圖形面積的取值范圍是_______.

解析：由題意，四邊形ABCD和ADD1A1的面積分別為4和6.

若記平面ABCD與α平面所成角為θ，則平面ADD1A1與平面α所成角為-θ.它們在平面α內的射影的面積分別為 4cosθ 和 6cos（-θ）=6sinθ，所以，S=4cosθ+6sinθ=2sin（θ+φ）（其中，tanφ=）.

三、動態中與形成的幾何體的體積有關的問題

例3.一個棱長為12的正方體形狀的鐵盒內放置一個正四面體，且能使該正四面體在鐵盒內任意轉動，則該正四面體的體積的最大值是______.

解析：如圖，設正四面體A-BCD的棱長為x，過A作AO1⊥底面BCD于O1，連接BO1并延

設正四面體A-BCD的外接球的半徑為r，

要使正四面體可以在棱長為12的正方體內任意轉動，

四、動態中與形成的角有關的問題

例 4.在四面體PABC中，PA=PB=PC=AB，如果PA與平面ABC所成的角等于60°，則PC與平面PAB所成的角的最大值是 .

解析：如圖所示，過點P作PO⊥平面ABC于點O，連接OA，OB，OC.取 AB的中點 D，連接OD.則∠PAO是PA與平面ABC所成的角，其大小等于 60°.不妨設 PA=2=AB=PB=PC，則 P O=.因為PD=.所以點O與D必然重合. 可知點C在以O為圓心，AB為直徑的圓周上運動（去掉A，B兩點）.當且僅當CD⊥AB時，PC與平面PAB所成的角取得最大值 30°.

五、動態中形成與球的體積有關的問題

例5.已知A，B是球O的球面上兩點，∠AOB=90°，C為該球面上的動點，若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為

A.36π B.64π

C.144π D.256π

解析：如圖所示，當C點位于垂直于面AOB的直徑端點時，三棱錐O-ABC的體積最大，設故R=6，則球O的表面積為4πR2，故選：C.

通過以上例題的分析可知，在立體幾何中由動態引出的有關距離、面積、體積、角的最值或范圍問題，思維難度比較高，對直觀想象、數學推理等核心素養的要求很高，解決問題的基本方法有：利用極限位置法，即通過分析圖形特征，找出取得最值的位置，再進行計算；在動中找定，引入變量，構建函數模型，通過研究函數的最值解決問題。