數學在音樂中的應用

王艷 李曉紅

一、導言

數學是嚴謹的，數學給人的印象是單調、枯燥、冷漠。而音樂是美妙的、豐富有趣的，充滿了感情和幻想。冷酷的數學和多情的音樂到底有沒有關系呢？

德國著名哲學家、數學家萊布尼茨曾說：“音樂，就它的基礎來說，是數學的;就它的出現來說，是直覺的。”而愛因斯坦說得更為風趣：“我們這個世界可以由音樂的音符組成，也可以由數學公式組成。”數學是以數字為基本符號的排列組合，它是對事物在量上的抽象，并通過種種公式，揭示出客觀世界的內在規律：而音樂是以音符為基本符號的排列組合，它是對自然音響的抽象，概括我們主觀世界的各種活動。正是在抽象這一點上將音樂與數學連結在一起，它們都是通過有限去反映和把握無限。

所以，音樂和數學是密切相關的，甚至可以說音樂與數學是相互滲透，相互促進的。

二、基礎樂理與數學

1、樂譜的書寫離不開數學.

人們記錄音樂最常用的方法是簡譜和五線譜，它們都與數學有密切的聯系. 簡譜是用阿拉伯數字 1、2、3、4、5、6、7 來表示 do、Re、Mi、Fa、Sol、La、Si 的，簡譜和五線譜上音樂的速度，也是用數字表示的。此外，在每一首樂曲的開頭部分的拍號也是用分數來表示的。所以樂譜的書寫離不開數學。

2、鋼琴鍵盤上的數學.

鋼琴的鍵盤上，從一個C鍵到下一個C鍵就是音樂中的一個八度音程。其中共包括13個鍵，有8個白鍵和5個黑鍵，而5個黑鍵分成2組，一組有2個黑鍵，一組有3個黑鍵。這里的2、3、5、8、13 恰好就是著名的斐波那契數列中的前幾個數。

3、音樂中的等比數列.

1、2、3、4、5、6、7、i等音階正是利用等比數列來規定的。，從一個 C 鍵到下一個 C 鍵這個八度音程被黑鍵和白鍵分成了12個半音，下一個 C鍵發出樂音的振動次數（即頻率）是第一個 C 鍵振動次數的 2倍，這個劃分是按照等比數列而作出的。實際上在吉它中也存在著同樣的等比數列。

4、音樂中的數學變換

數學中存在著平移變換，音樂中也存在著平移變換。把第一個小節中的音符平移到第二個小節中去，就出現了音樂中的平移，這實際上就是音樂中的反復。把兩個音節移到直角坐標系中，就表現為數學中的平移。音樂的主題常常是以某種形式的反復出現的。

音樂中不僅出現平移變換，還可能出現其他的變換及其組合，比如反射變換等等。由以上可知一首樂曲可能就是對一些基本曲段進行各種數學變換的結果。.

5、大自然音樂中的數學.

大自然中的音樂與數學的聯系更加神奇，通常不為大家所知. 例如，蟋蟀鳴叫可以說是大自然之音樂，蟋蟀鳴叫的頻率與氣溫有著很大的關系

6、黃金分割在音樂中的應用

菲波那齊數列在音樂中得到普遍的應用，如常見的曲式類型與菲波那齊數列頭幾個數字相符，它們是簡單的一段式、二段式、三段式和五段回旋曲式。此外，每首樂曲都有高潮部分，音樂中高潮的位置與黃金分割比例有密切關系。

通過分析許多著名的音樂作品，我們會發現樂曲的高潮大多出現在黃金分割點附近，位于結構中點偏后的位置：小型曲式中8小節一段式，高潮點約在第5小節左右;16小節二段式，高潮點約在第10小節左右;24小節帶再現三段式，高潮點在第15小節左右。

如《夢幻曲》是一首帶再現三段曲式，全曲共分6句，24小節。理論計算黃金分割點應在第14小節（24*0.618=14.83），與全曲高潮正好吻合。本曲的六個樂句在各自的第2小節進行負相分割（前短后長）;本曲的三個部分在各自的第二樂句第2小節正相分割（前長后短），這樣形成了樂曲從整體到每一個局部多層復合分割的生動局面，使樂曲的內容與形式更加完美。黃金比例的原則在很多大、中型樂曲中也得到不同程度的體現。

再如莫扎特《D大調奏鳴曲》、貝多芬《悲愴奏鳴曲》、肖邦的《降D大調夜曲》、謝爾蓋·拉赫曼尼諾夫的《第二鋼琴協奏曲》、里姆斯-柯薩科夫的《天方夜譚》，無論是全曲還是局部，最高潮的部分都是在“黃金點”上。

三、樂器制作中的數學原理

1、鋼琴外形與指數曲線

假定一根空弦發出的音是do，則二分之一長度的弦發出的就是高八度的do，8/9長度的弦發出re，64/81長度的先發出mi，3/4長度的弦發出fa，2/3長度的弦發出so，16/27長度的弦發出la，128/243長度的弦發出si等以此類推，如果我們以音作為橫坐標，弦長為縱坐標，很容易就可以繪出一天近似的指數曲線。這就是為什么三角鋼琴的形狀近似于指數曲線了，這樣不僅可以使材料最省、音質協調，而且優雅美觀。

不管是弦樂器，還是有空氣柱發聲的管樂器，他們的結構都反映出一種指數曲線的形狀。

2、吉他制作中的數學知識

吉他的弦從一弦到六弦，由細到粗，長度一樣，而每弦的音高都不一樣。琴頸上的品格（把位）是由寬到窄的，每向前移動一個品格，就升高半個音，而移動一個八度之后，品格的寬度剛好是低八度品格的一半。這些都并非巧合，在吉他制作之前也是經過嚴密的數學計算精心設計才能夠批量生產的。

3、笛子音孔中的數學

笛子由于產地不同，所以各種材質、外形均是五花八門。樂器都是因為發聲所以稱之為樂器，既然發聲那么自然就離不開頻率公式。

笛子的發聲自然是整個笛身的震動，由于氣柱長度的不同使得我們可以控制音高。觀察笛子音孔的分布我們可以看到，在半音的地方，兩個音孔距離很近，而在全音的地方音孔的距離是半音處的兩倍，這是目前的七聲音階笛子的音孔分布。

四、數字音樂

數字音樂是用數字格式存儲的，可以通過網絡來傳輸的音樂。數字音樂具有無實物載體、傳輸速度快、音質無損耗等優點。

而數字音樂的制作需要既懂數學又懂音樂，數學上發現，周期函數是現代樂器設計和計算機音響設計的精髓。電子音樂的忠實再生也是跟周期圖像緊密聯系著的。所以只有音樂家和數學家們緊密結合才能在音樂的產生和發展方面繼續起著重要的作用。

畢達哥拉斯說：“音樂之所以神圣而崇高，就是因為它反映出作為宇宙本質的數的關系。”

參考文獻

[1]? 《數學及其認識》 高隆昌著? 高等教育出版社 2001年

[2]? 《古今數學趣話》 尹斌庸著? 四川科學技術出版社 1985年

[3]? 《數學的過去、現在和未來》 周金才? 中國青年出版社 1982年

作者簡介：王艷（1964.2），女，遼寧大連人，碩士，教授，主要從事應用數學、數學文化方面的研究。