數(shù)學在音樂中的應用

王艷 李曉紅

一、導言

數(shù)學是嚴謹?shù)模瑪?shù)學給人的印象是單調(diào)、枯燥、冷漠。而音樂是美妙的、豐富有趣的，充滿了感情和幻想。冷酷的數(shù)學和多情的音樂到底有沒有關系呢？

德國著名哲學家、數(shù)學家萊布尼茨曾說：“音樂，就它的基礎來說，是數(shù)學的;就它的出現(xiàn)來說，是直覺的。”而愛因斯坦說得更為風趣：“我們這個世界可以由音樂的音符組成，也可以由數(shù)學公式組成。”數(shù)學是以數(shù)字為基本符號的排列組合，它是對事物在量上的抽象，并通過種種公式，揭示出客觀世界的內(nèi)在規(guī)律：而音樂是以音符為基本符號的排列組合，它是對自然音響的抽象，概括我們主觀世界的各種活動。正是在抽象這一點上將音樂與數(shù)學連結(jié)在一起，它們都是通過有限去反映和把握無限。

所以，音樂和數(shù)學是密切相關的，甚至可以說音樂與數(shù)學是相互滲透，相互促進的。

二、基礎樂理與數(shù)學

1、樂譜的書寫離不開數(shù)學.

人們記錄音樂最常用的方法是簡譜和五線譜，它們都與數(shù)學有密切的聯(lián)系. 簡譜是用阿拉伯數(shù)字 1、2、3、4、5、6、7 來表示 do、Re、Mi、Fa、Sol、La、Si 的，簡譜和五線譜上音樂的速度，也是用數(shù)字表示的。此外，在每一首樂曲的開頭部分的拍號也是用分數(shù)來表示的。所以樂譜的書寫離不開數(shù)學。

2、鋼琴鍵盤上的數(shù)學.

鋼琴的鍵盤上，從一個C鍵到下一個C鍵就是音樂中的一個八度音程。其中共包括13個鍵，有8個白鍵和5個黑鍵，而5個黑鍵分成2組，一組有2個黑鍵，一組有3個黑鍵。這里的2、3、5、8、13 恰好就是著名的斐波那契數(shù)列中的前幾個數(shù)。

3、音樂中的等比數(shù)列.

1、2、3、4、5、6、7、i等音階正是利用等比數(shù)列來規(guī)定的。，從一個 C 鍵到下一個 C 鍵這個八度音程被黑鍵和白鍵分成了12個半音，下一個 C鍵發(fā)出樂音的振動次數(shù)（即頻率）是第一個 C 鍵振動次數(shù)的 2倍，這個劃分是按照等比數(shù)列而作出的。實際上在吉它中也存在著同樣的等比數(shù)列。

4、音樂中的數(shù)學變換

數(shù)學中存在著平移變換，音樂中也存在著平移變換。把第一個小節(jié)中的音符平移到第二個小節(jié)中去，就出現(xiàn)了音樂中的平移，這實際上就是音樂中的反復。把兩個音節(jié)移到直角坐標系中，就表現(xiàn)為數(shù)學中的平移。音樂的主題常常是以某種形式的反復出現(xiàn)的。

音樂中不僅出現(xiàn)平移變換，還可能出現(xiàn)其他的變換及其組合，比如反射變換等等。由以上可知一首樂曲可能就是對一些基本曲段進行各種數(shù)學變換的結(jié)果。.

5、大自然音樂中的數(shù)學.

大自然中的音樂與數(shù)學的聯(lián)系更加神奇，通常不為大家所知. 例如，蟋蟀鳴叫可以說是大自然之音樂，蟋蟀鳴叫的頻率與氣溫有著很大的關系

6、黃金分割在音樂中的應用

菲波那齊數(shù)列在音樂中得到普遍的應用，如常見的曲式類型與菲波那齊數(shù)列頭幾個數(shù)字相符，它們是簡單的一段式、二段式、三段式和五段回旋曲式。此外，每首樂曲都有高潮部分，音樂中高潮的位置與黃金分割比例有密切關系。

通過分析許多著名的音樂作品，我們會發(fā)現(xiàn)樂曲的高潮大多出現(xiàn)在黃金分割點附近，位于結(jié)構中點偏后的位置：小型曲式中8小節(jié)一段式，高潮點約在第5小節(jié)左右;16小節(jié)二段式，高潮點約在第10小節(jié)左右;24小節(jié)帶再現(xiàn)三段式，高潮點在第15小節(jié)左右。

如《夢幻曲》是一首帶再現(xiàn)三段曲式，全曲共分6句，24小節(jié)。理論計算黃金分割點應在第14小節(jié)（24*0.618=14.83），與全曲高潮正好吻合。本曲的六個樂句在各自的第2小節(jié)進行負相分割（前短后長）;本曲的三個部分在各自的第二樂句第2小節(jié)正相分割（前長后短），這樣形成了樂曲從整體到每一個局部多層復合分割的生動局面，使樂曲的內(nèi)容與形式更加完美。黃金比例的原則在很多大、中型樂曲中也得到不同程度的體現(xiàn)。

再如莫扎特《D大調(diào)奏鳴曲》、貝多芬《悲愴奏鳴曲》、肖邦的《降D大調(diào)夜曲》、謝爾蓋·拉赫曼尼諾夫的《第二鋼琴協(xié)奏曲》、里姆斯-柯薩科夫的《天方夜譚》，無論是全曲還是局部，最高潮的部分都是在“黃金點”上。

三、樂器制作中的數(shù)學原理

1、鋼琴外形與指數(shù)曲線

假定一根空弦發(fā)出的音是do，則二分之一長度的弦發(fā)出的就是高八度的do，8/9長度的弦發(fā)出re，64/81長度的先發(fā)出mi，3/4長度的弦發(fā)出fa，2/3長度的弦發(fā)出so，16/27長度的弦發(fā)出la，128/243長度的弦發(fā)出si等以此類推，如果我們以音作為橫坐標，弦長為縱坐標，很容易就可以繪出一天近似的指數(shù)曲線。這就是為什么三角鋼琴的形狀近似于指數(shù)曲線了，這樣不僅可以使材料最省、音質(zhì)協(xié)調(diào)，而且優(yōu)雅美觀。

不管是弦樂器，還是有空氣柱發(fā)聲的管樂器，他們的結(jié)構都反映出一種指數(shù)曲線的形狀。

2、吉他制作中的數(shù)學知識

吉他的弦從一弦到六弦，由細到粗，長度一樣，而每弦的音高都不一樣。琴頸上的品格（把位）是由寬到窄的，每向前移動一個品格，就升高半個音，而移動一個八度之后，品格的寬度剛好是低八度品格的一半。這些都并非巧合，在吉他制作之前也是經(jīng)過嚴密的數(shù)學計算精心設計才能夠批量生產(chǎn)的。

3、笛子音孔中的數(shù)學

笛子由于產(chǎn)地不同，所以各種材質(zhì)、外形均是五花八門。樂器都是因為發(fā)聲所以稱之為樂器，既然發(fā)聲那么自然就離不開頻率公式。

笛子的發(fā)聲自然是整個笛身的震動，由于氣柱長度的不同使得我們可以控制音高。觀察笛子音孔的分布我們可以看到，在半音的地方，兩個音孔距離很近，而在全音的地方音孔的距離是半音處的兩倍，這是目前的七聲音階笛子的音孔分布。

四、數(shù)字音樂

數(shù)字音樂是用數(shù)字格式存儲的，可以通過網(wǎng)絡來傳輸?shù)囊魳?。?shù)字音樂具有無實物載體、傳輸速度快、音質(zhì)無損耗等優(yōu)點。

而數(shù)字音樂的制作需要既懂數(shù)學又懂音樂，數(shù)學上發(fā)現(xiàn)，周期函數(shù)是現(xiàn)代樂器設計和計算機音響設計的精髓。電子音樂的忠實再生也是跟周期圖像緊密聯(lián)系著的。所以只有音樂家和數(shù)學家們緊密結(jié)合才能在音樂的產(chǎn)生和發(fā)展方面繼續(xù)起著重要的作用。

畢達哥拉斯說：“音樂之所以神圣而崇高，就是因為它反映出作為宇宙本質(zhì)的數(shù)的關系?！?/p>

參考文獻

[1]? 《數(shù)學及其認識》 高隆昌著? 高等教育出版社 2001年

[2]? 《古今數(shù)學趣話》 尹斌庸著? 四川科學技術出版社 1985年

[3]? 《數(shù)學的過去、現(xiàn)在和未來》 周金才? 中國青年出版社 1982年

作者簡介：王艷（1964.2），女，遼寧大連人，碩士，教授，主要從事應用數(shù)學、數(shù)學文化方面的研究。