神奇的常數(shù)e

e是一個(gè)無(wú)理數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底，e=2.71828……。e的“影響力”還不限于數(shù)學(xué)領(lǐng)域。大自然中向日葵的種子排列、鸚鵡螺殼上的花紋都與e有關(guān)，建構(gòu)音階也要用到e，還有圣路易斯大拱門(mén)的外形都與神秘的數(shù)字e，有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系。e的背后隱藏著無(wú)數(shù)鮮為人知的傳奇，在數(shù)學(xué)、物理、生物、音樂(lè)、金融等眾多領(lǐng)域中都有與e密切相關(guān)的現(xiàn)象。

1.歐拉恒等式與e

但凡說(shuō)起e，一個(gè)必定要提到的公式就是歐拉恒等式——被譽(yù)為世界上最美麗的公式。

數(shù)學(xué)中最基本的5個(gè)常數(shù)——0、1、圓周率π、自然對(duì)數(shù)的底e和虛數(shù)單位i，以及數(shù)學(xué)中最基本的兩個(gè)符號(hào)，等號(hào)和加號(hào)，就這樣通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的恒等式聯(lián)系在了一起，實(shí)在是讓人嘆服。這個(gè)等式有個(gè)一幾何的直觀解釋。一個(gè)實(shí)數(shù)在實(shí)數(shù)軸上可以用一個(gè)向量表示，旋轉(zhuǎn)這個(gè)向量，就相當(dāng)于乘以一個(gè)虛數(shù)i。據(jù)此建立一個(gè)以實(shí)數(shù)為橫軸，虛數(shù)為縱軸的坐標(biāo)系。實(shí)單位向量，每次逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π/2，可以分別得到結(jié)果1，i，-1，-i，1. 即轉(zhuǎn)4次以后就回到了原位。而當(dāng)實(shí)單位向量保持長(zhǎng)度不變旋轉(zhuǎn)θ角度，得到的向量就是：cosθ+isinθ。根據(jù)歐拉公式 可以看出 就代表實(shí)單位向量1旋轉(zhuǎn)θ角后而得到的向量。所以 意味著單位向量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了π，結(jié)果顯然是-1。

2.增長(zhǎng)規(guī)律與e

這個(gè)世界上有許許多多的事物滿足這樣的變化規(guī)律：增長(zhǎng)率正比于變量自身的大小。例如放射性元素衰變的時(shí)候，衰變率就和現(xiàn)存的放射性物質(zhì)多少成正比;資源無(wú)窮多的社會(huì)，人口出生率（近似的）和現(xiàn)存人口數(shù)成正比等等。而此類變化規(guī)律所確定的解，則是由以e為底的指數(shù)增長(zhǎng)所描述的。如果x的變化率等于變量x自身的λ倍，那么該變量隨時(shí)間t的函數(shù)則為

其中C是任意常數(shù)。

到底什么是e？簡(jiǎn)單地說(shuō)，e就是增長(zhǎng)的極限。看下面的例子：

某種類的一群細(xì)胞生物每24小時(shí)全部分裂一次，在不考慮死亡與變異等情況下，這群?jiǎn)渭?xì)胞生物的總數(shù)每天會(huì)增加一倍。增量公式為：Y=2x，x表示天數(shù)。

這個(gè)公式可改寫(xiě)為：y=（1+100%）x。其中，1表示原有數(shù)量，100%表示單位時(shí)間內(nèi)（24小時(shí)）的增長(zhǎng)率。

根據(jù)細(xì)胞生物學(xué)，每過(guò)12小時(shí)，也就是進(jìn)行到一半的時(shí)候，平均會(huì)新產(chǎn)生原數(shù)量的新細(xì)胞，新產(chǎn)生的細(xì)胞在之后的12小時(shí)內(nèi)已經(jīng)在分裂了。因此一天24小時(shí)可以分成兩個(gè)階段，每一個(gè)階段的細(xì)胞數(shù)量都在一個(gè)階段的基礎(chǔ)上增長(zhǎng)50%;

y=（1+100%/2）2=2.25，即在一個(gè)單位時(shí)間內(nèi)，這些細(xì)胞的數(shù)量一共可以增至原數(shù)量的2.25倍。倘若這些細(xì)胞每過(guò)8小時(shí)就可以產(chǎn)生平均1/3的新細(xì)胞，新生細(xì)胞立即具備獨(dú)立分裂能力，那就可以將1天分成3個(gè)階段，在一天內(nèi)時(shí)間細(xì)胞的總數(shù)會(huì)增至為：

y=（1+100%/3）3=2.37037，即最后細(xì)胞數(shù)擴(kuò)大為2.37倍。

實(shí)際上，這種分裂現(xiàn)象是不間斷、連續(xù)的，每分每秒產(chǎn)生的新細(xì)胞，都會(huì)立即和母體一樣繼續(xù)分裂，一個(gè)單位時(shí)間（24小時(shí)）最多可以得到多少個(gè)細(xì)胞呢？答案是：y=lim（1+100%/n）n=2.718281828…

即當(dāng)增長(zhǎng)率為100%保持不變時(shí)，在單位時(shí)間內(nèi)細(xì)胞種群最多只能擴(kuò)大2.71828倍。數(shù)學(xué)家把這個(gè)數(shù)稱為e，它的含義是單位時(shí)間內(nèi)，持續(xù)的翻倍增長(zhǎng)所能達(dá)到的極限。這個(gè)值是自然增長(zhǎng)的極限，是自然律的精髓所在，因此以e為底的對(duì)數(shù)，就叫做自然對(duì)數(shù)。

3.正態(tài)分布與e

正態(tài)分布是自然科學(xué)與行為科學(xué)中的定量現(xiàn)象的一個(gè)統(tǒng)計(jì)模型。各種各樣的心理學(xué)測(cè)試分?jǐn)?shù)和物理現(xiàn)象比如光子計(jì)數(shù)都被發(fā)現(xiàn)近似地服從正態(tài)分布，盡管這些現(xiàn)象的根本原因經(jīng)常是未知的。而理論上則可以證明如果把許多小作用加起來(lái)看做一個(gè)變量X，那么這個(gè)變量X服從正態(tài)分布：

正態(tài)分布在生活中也可謂是無(wú)處不在。多次反復(fù)測(cè)量一個(gè)物理量，測(cè)出來(lái)的值一般來(lái)說(shuō)總是呈正態(tài)分布;瓶裝可樂(lè)的實(shí)際體積，也是正態(tài)分布;一大群人的壽命分布、智商分布等，也都是正態(tài)分布，而正態(tài)分布的表達(dá)式中，也神奇的出現(xiàn)了e。

4.伽馬函數(shù)及斯特林公式與e

階乘運(yùn)算n！本來(lái)是定義在正整數(shù)上的。數(shù)學(xué)家最愛(ài)做的事情就是推廣，因此階乘函數(shù)自然不能幸免。當(dāng)把階乘函數(shù)推廣到定義域?yàn)閺?fù)數(shù)的時(shí)候，我們要尋找的函數(shù)就是一條通過(guò)了所有（n+1，n！）點(diǎn)的函數(shù)。所謂的伽馬函數(shù)Γ（z）滿足了這個(gè)性質(zhì)，而伽馬函數(shù)的表達(dá)式中又出現(xiàn)了e：

階乘n！與e還有另一層神秘的聯(lián)系。當(dāng)n趨于無(wú)窮大的時(shí)候，n！滿足下面的近似關(guān)系式——斯特林公式：

（其中“～”符號(hào)表示同階，可以大致認(rèn)為是n趨于無(wú)窮大時(shí)的約等于）

要計(jì)算很大的階乘值，位數(shù)受限而不能直接用計(jì)算機(jī)求出時(shí)，就可以用斯特林公式近似求出了。

5.素?cái)?shù)與e

素?cái)?shù)是指除了1和它本身之外，無(wú)法被其他自然數(shù)整除的數(shù)，如100以內(nèi)的素?cái)?shù)共有25個(gè)。素?cái)?shù)看似和e毫無(wú)聯(lián)系，可是，素?cái)?shù)分布的理論指出，素?cái)?shù)的分布與e息息相關(guān)。

6.自然界中的

鸚鵡螺殼，向日葵的種子，螺線星云等的形狀類似于 —對(duì)數(shù)螺線的曲線形狀。如菊的種子排列成對(duì)數(shù)螺線，鷹以對(duì)數(shù)螺線的方式接近它們的獵物，昆蟲(chóng)以對(duì)數(shù)螺線的方式接近光源，蜘蛛網(wǎng)的構(gòu)造與對(duì)數(shù)螺線相似，旋渦星系的旋臂差不多是對(duì)數(shù)螺線。

7. 黃金分割與e

外切于對(duì)數(shù)螺線的矩形，是黃金矩形。長(zhǎng)：寬=1.618。對(duì)黃金矩形依次舍去所做的正方形，可得到不斷縮小的黃金矩形序列。正方形中的1/4圓弧就構(gòu)成了對(duì)數(shù)螺線。

8. 懸鏈線

懸鏈線的方程是：

世界著名的標(biāo)志性建筑物——密蘇里的圣路易斯大拱門(mén)就是懸鏈線形狀。即以 的圖形的理念設(shè)計(jì)的。

E就這樣一次次如幽靈般恰當(dāng)?shù)某霈F(xiàn)在了每一處，時(shí)常給人們帶來(lái)驚喜。而上述這些，也只不過(guò)是它的冰山一角而已。

作者簡(jiǎn)介：張大慶（1974.4），男，遼寧鞍山人，博士，教授，主要從事模糊控制、魯棒控制、廣義系統(tǒng)理論與應(yīng)用方面的研究。