思“辨”尋本 思“變”融通
——“周長與面積的比較”教學設計

浙江省東陽市吳寧第五小學 徐夢瑤

【教學目標】

1.通過觀察、比較、抽象、概括、歸納等數學學習過程，進一步明晰周長與面積的本質意義。

2.能夠運用所學知識解決相關問題，提高學生數學思維能力。

3.學會用表格式列舉法及數格子法找到規律，從而體現有序思考及數形結合的思想。

4.培養學生學習數學的興趣以及探索精神。

【教學過程】

一、一題引入，引發思考

展示習題：用16 厘米的鐵絲圍長方形，你能圍出幾種？（長和寬都是整厘米）

1.學生嘗試探究，并在表格上填一填。

2.反饋交流。

3.請你觀察思考這三種不同的答案，你贊同誰的意見？說說你的理由。

預設：第一個表格肯定是錯的。

追問：你能說說他錯在哪兒嗎？

預設：題目的意思是告訴我們周長是16 厘米，他理解成面積是16 平方厘米了，所以肯定是錯的。

追問：對比剩下兩個表格，誰對誰錯？理由是什么？

預設（1）：第二個表格錯了。（長+寬）×2=周長，所以長+寬=16÷2=8（厘米），而這里長加寬變成16 厘米了，那么面積也肯定錯了。

預設（2）：當長是15 厘米，寬是1 厘米的時候，周長是32 厘米，所以他這里都錯了。

預設（3）：只有表格3 是對的。

4.仔細觀察表格3，你發現了什么？

預設（1）：我發現這些長方形的周長都是16 厘米，但面積卻不一樣。

預設（2）：當長方形的長是4 厘米，寬也是4 厘米的時候，它的面積最大；當長方形的長是7 厘米，寬也是1 厘米的時候，它的面積最小。

5.小結：通過剛才的活動，你有什么發現？

預設（1）：當周長一定時，長和寬越接近，面積越大。

預設（2）：當周長一定時，正方形的面積最大。

二、借圖思辨，尋找本原

1.學生自主思考：為什么當周長一定時，長和寬越接近，面積越大？

預設（1）：我不知道。

預設（2）：老師，我又舉了個例子，發現也是這樣的。用20 厘米的鐵絲圍長方形，也是邊長為5 厘米的時候面積最大。

預設（3）：老師，我是用數格子的方法。發現當邊長是4 格長的時候，面積的格子數是最多的。

2.觀察對比，尋找本質原因。

預設：長方形1 中截下1 小格，再加上一行就變成了長方形2。

追問：他是什么意思？誰能說的更具體一點？

預設：長方形的寬多了1，就增加了1 行；長少了1，就減少了1 列。所以格子總數就是加6 減1，面積還是增加了。

追問：誰還能像這樣再舉例說一說？

3.現在你有什么新的感悟？你發現了什么？

預設（1）：雖然周長的長短沒有變，但面積有可能發生改變。

預設（2）：周長和面積表示的是兩個不同的意義。

預設（3）：周長是表示一周的長短，而面積是表示面的大小的。

三、開放思維，變中融通

變式：用12 厘米的鐵絲一面靠墻圍長方形，怎么圍面積最大？

1.學生獨立思考，并嘗試解決。

2.交流反饋。

預設（1）：當邊長是4 厘米的正方形面積最大，最大面積是16平方厘米。

預設（2）：當長方形的長是6 厘米，寬是3 厘米的時候，面積最大。

提問：你贊同誰的觀點？說說你的理由。

預設（1）：我認為最大面積是16 平方厘米是對的。因為當周長一定時，正方形的面積最大。

預設（2）：我認為當長是6 厘米，寬是3 厘米的時候，圍成長方形的面積最大，因為它有18 平方厘米。

反問：之前我們不是得出結論“周長一定時，長與寬越接近，面積越大”，誰能解釋為什么這里長是6 厘米，寬是3 厘米的時候面積最大？

預設（1）：這里是繩長一樣，圖形的周長不一樣。

預設（2）：只有當周長一定時，這個規律才成立。

追問：那你能用前面所學的規律來解釋這個現象嗎？

預設：我們可以把這堵墻看成對稱抽，補上圖形的另一半就變成一個正方形了。當周長一定時，正方形的面積最大。

驗證：請同學們用表格列舉法驗證一下這個軸對稱圖形的周長與面積的變化。

3.通過剛才的活動，你有什么發現？

預設（1）：當一面靠墻圍長方形時，長是寬的2 倍時面積最大。

預設（2）：解決一邊靠墻的辦法是將周長乘2，也就是使長方形的2 倍達到正方形的時候，面積最大。

預設（3）：解決當一面靠墻圍最大面積長方形的問題時，其實和前面的方法是一樣的。可以把墻看成對稱軸，找到軸對稱圖形。還是存在“周長一定時，長與寬越接近面積越大”的規律。