高中數(shù)學最值問題題型與解法微探

江蘇省海門中學 曹 鋒

一提起高中數(shù)學最為“眼熟”的試題類型，就肯定會想起“最值問題”。無論是考試還是平時練習，最值問題都會以不同的方式“為難”學生，讓學生猶如“啞巴吃黃連”。高中數(shù)學教學通常以知識模塊為基準，全面系統(tǒng)地講解一種類型問題的課時很少，缺乏對最值問題的全面認識是學生失分的重要原因，因此教學需要高度重視。

一、巧解函數(shù)最值問題

函數(shù)的最值問題對于學生而言并不陌生，甚至是“家常便飯”的存在。在高中數(shù)學試題中，函數(shù)最值問題既能以填空題形式考查學生，也會在簡答題中出現(xiàn)。不同類型函數(shù)的最值問題有相對應的解題思路和方法，掌握常見的解題方法是最基本的要求，也是提高解題能力的基礎。

例1：已知函數(shù)f（x）=2x+2-3·4x，當x∈[-1，0]時，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值。

思考：求不典型函數(shù)解析式的最值，首先要將其轉化為熟悉的函數(shù)解析式，再進行求解。該題可以采取配方法，轉變?yōu)槎魏瘮?shù)解析式后進行求解。

二、細說數(shù)列最值問題

有關于數(shù)列的最值問題一般在解答題中“現(xiàn)身”，常見的形式有求解數(shù)列前n項和、數(shù)列最大或最小的項以及數(shù)列恒成立問題。面對數(shù)列最值問題的解答，不妨采取函數(shù)法或不等式法轉化，以熟悉的方法進行求解。采取相應的方法進行解答時，要充分利用題目所給的條件。

例3：等差數(shù)列{an}中，已知a1＞0，前n項和為Sn，且S7=S13，求Sn最大時n的值。

思考：該題可以有多種解法，既可以用函數(shù)法求解，也可以從不等式角度解答，但要注意用不同方法進行解答時，思路和步驟都要有所改變。

解析：（函數(shù)法）

三、深究幾何最值問題

平面幾何、立體幾何或是解析幾何都與最值問題有著密切的聯(lián)系，解答這些問題，除了要熟悉相關的知識內容，還要掌握一些常見的解題思想，如導數(shù)法、數(shù)形結合法，其中，數(shù)形結合思想應用廣泛，應該得到學生的重視。

例4：已知正方體棱長為2，每條棱所在的直線與平面α所成的角都相等，以平面α截取正方體，所截得最大平面的面積為_。

思考：有關于幾何問題的最值，大部分需要運用數(shù)形結合思想進行解答。求解該問題也要采取數(shù)形結合的方法，解題時不妨畫出滿足題意的立體幾何圖形，根據(jù)圖畫確定最大值問題，求出最值。

解析：如圖所示，由ABCDEF圍成的平面與正方體所有棱所成角相同，

總之，高中數(shù)學試題中的最值問題，可以與數(shù)列、幾何以及函數(shù)等許多知識內容聯(lián)系在一起，其考查形式五花八門，試題難度也參差不齊。但通過對這些問題的歸納總結可以發(fā)現(xiàn)，學生解答最值問題不僅要對這些題型十分熟悉，還要掌握常見的解題方法，養(yǎng)成把未知轉化為已知的良好思維方式。