高中數學復習課教學策略研究
——以直線與圓相切問題為例

江蘇省昆山震川高級中學 趙靜茹

高中數學學習由于知識體量大，方法多樣，學生在新課學習后常常會有知識方法零碎繁多的感受，因此復習課十分重要。高中數學教學內容安排整體是螺旋上升、分層遞進的，在一段新課學習后需要對知識進行條理化、綜合化、系統化的整理，使學生對知識加深理解、牢固掌握、靈活運用。復習階段，每節課的教學設計與新授課是不同的，基礎知識已然學過，部分學生對復習課的興趣比新授課低，如何將復習課設計得既有內容又有深度，是教師在備課時應該思考的內容。復習課要有利于建構知識結構，提示知識之間內在的、本質的、必然的聯系，從縱、橫兩方面加深對知識的理解，彌補學習上的缺陷，減少記憶負擔，防止遺忘，促進學生認知結構的形成和完善，與此同時，促進學生逐步形成正確的價值觀念、必備品格和關鍵能力。筆者借助解析幾何中“直線與圓位置關系”一節的復習課，例談高中數學復習課教學策略。

一、教學背景概述

在直線與方程、圓與方程兩節內容學完后，針對高一學生的學情和特點，筆者設計了一節專題復習，將直線與圓中的經典問題進行整理和分析，把常見方法和解題思路嵌入簡化的題目，關注重點，引導學生梳理直線與圓的知識和方法，引導學生學會歸納和整理典型例題的方法，促使學生從“學會”到“會學”的轉變。

二、教學設計分析

筆者將典型例題挑選出來并重新整合，將直線與圓相切問題歸結為兩大類：定與不定。其中常見的、高頻的動切線問題整合到一道題目中，涵蓋了“最值問題、存在性問題、軌跡問題”等，自編題目，強調“化動為靜”的思想方法。

1.基礎梳理

基礎知識包括直線的方程、圓的方程、點與圓的位置關系、直線與圓的位置關系。本節內容“直線與圓的位置關系”有幾個典型的模型，包括“相切模型”“相交模型”等，涉及切線長、弦長，同時復習和回顧直線與圓的位置關系的基本知識，在此過程中發展學生的邏輯推理、直觀想象的核心素養。特別需要指出的是，學生對于已有的學習材料、例題進行歸納整理，分析總結出有價值的方法、模型的過程，事實上培養了學生數據分析的數學核心素養，這對于促進學生學會學習具有重要意義。

2.典例精講

題型1：求切線方程

學生總結：過不同的點A可作圓O的切線條數。

基礎但是易錯的點在于學生會忽略斜率不存在的討論，另外，本題引出學生對于題目中已知點與圓的位置關系的預判斷，提供一種做這一類題的策略，這對于復習課來講十分重要。當然，該例題不僅是針對這一類求切線方程的題目，更滲透了深層次的做題經驗，引導學生“會學”而非僅“學會”，感受站在更高一層看待問題，抽象出數學問題本質，從而發展學生數學抽象、直觀想象的數學核心素養。

題型2：動切線問題（覆蓋最值問題、切線角問題、定點問題、軌跡問題）

已知直線l：x-y+4=0 和圓O：x2+y2=4，P是直線l上的一點，過點P作圓O的兩條切線，切點分別為M、N。

題干信息清晰、簡潔，略去多數題目中較為復雜的背景，關注本質。

（1）若PM⊥PN，求點P的坐標。

該問從一個特殊位置出發，讓學生感受直線與圓問題的常見轉化，即轉化為P到圓心的距離與半徑的關系上。目的是為后面研究“動”的問題提供一個“靜”的實例，從而幫助學生理解“化動為靜”的作用，注重由特殊到一般思想方法的滲透，發展學生邏輯推理、直觀想象、數學抽象的數學核心素養。

（2）求PM的最小值。

該問在（1）的“靜”的問題的基礎上進一步升華，研究“動”切線長的最值，需要學生感受動態變化過程中，動切線長可以轉化為動點P到圓心的距離與半徑的表達式，從（1）的定的問題變為動態情況下的最值問題，但其本質的直線與圓問題轉化模型并沒有變，體現了循序漸進、逐步深入的特點，過程中有利于發展學生直觀想象、數學抽象的數學核心素養，同時強化動態背景下最值問題的研究方法，即轉化的思想方法。

（3）求四邊形ONPM面積的最小值。

該問與（2）同為“動”的問題，但進一步深化，由切線長的動態變化最值變為四邊形面積的動態變化最值，這里涉及解決面積問題常用技巧，將四邊形切割成等面積的兩個三角形計算其面積，最終將問題仍然化歸到切線長的最值問題，再次突出了直線與圓問題的常見轉化，化動為靜，將各幾何元素往直線與圓的位置關系上轉化，本質仍然是直線與圓問題轉化模型，但更為深入，有利于引導學生總結做題技巧，把握問題本質，關注轉化的思想方法，有利于發展學生直觀想象的數學核心素養。

該問在（2）（3）的基礎上再次深入，也是對最值問題的一個變式，以學生練為主，在教師講解了前面兩種最值問題之后，學生已有了對于直線與圓問題常見轉化的意識，從而實現講練結合、當堂鞏固。該問題綜合了平面向量的數量積內容，在復習回顧向量的同時，不忘直線與圓問題的轉化，體現了高中數學知識學習的螺旋上升、分層遞進的特點，突出了高中數學知識之間的有機聯系，建立起數學知識的整體觀。

（5）若圓O上存在點A、B，使∠APB=60°，求點P的橫坐標取值范圍。

該問在（2）動切線長的基礎上進一步升華，變為動切線夾角的存在性問題，仍然是“動”的問題，但由原來的單動切線轉變為雙動切線，需要一定的轉化技巧，包括兩切線夾角轉化為一條切線與PC夾角的兩倍。另外，存在性的一類問題仍然可轉化為最值問題，但需要一定思維能力，將存在性問題轉化為最值問題，需要有尋找臨界狀態的想法，并理解如何轉化成最值，是最大值還是最小值，具備一定難度，也是直線與圓部分中的一類典型問題。在前面幾例問題引入后，仍需給學生足夠的思考時間，可學生間互動探討、交流溝通，從而培養學生數學學習的探究與合作精神。

（6）MN所在直線是否經過定點？若經過定點，求出該定點；若不經過，說明理由。

該問涉及動直線的定點問題，需要借助直線與圓相切模型，尋找出四點共圓，且該圓以PC為直徑，從而得到MN所在直線即為該圓與已知圓公共弦問題的結論，最終求解出動直線MN的定點。該問仍然需要建立在學生熟悉對直線與圓問題進行轉化的基礎上，同時綜合了定點問題，是直線與圓的綜合運用。本問中突出強調數形結合的思想方法，幾何與代數結合得到本題的最優解，發展了學生的數學運算、直觀想象、數學抽象的數學核心素養。

（7）已知Q（2，0），求證：圓O上存在點P，使PQ=2PM。

本題主要考查了“隱形軌跡”問題，在前面直線與圓切線長轉化問題的鋪墊下，學生有了將PQ切線長轉化到關于PC關系式上的意識。接下來是一類常見題型“隱形軌跡”問題的考查，學生在平時的做題經驗的基礎上，可自行總結該類隱形問題的解決方法，引導學生學會自己總結做題經驗和歸納方法，培養學生邏輯推理和數學抽象的核心素養。

整題中涵蓋了直線與圓相切問題中常考的幾種類型，既包含不同解題方法，又包含不同的題型，在一道題干下變化題型，這一做法省去了學生重復審題的步驟，強化了題目本質，強調“化動為靜”的思想方法，一題多變，關注本質，淡化題目，使學生能夠在做題中體會不同的題目中蘊含的共同的思想方法，舉一反三，這在復習課中尤其重要。

3.當堂練習

（1）已知圓x2+y2=9 的圓心為P，點Q（a，b）在圓P外，以PQ為直徑作圓M與圓P相交于A，B兩點。若QA=QB=4，試問點Q在什么曲線上運動？

（改編自蘇教版必修二117 頁練習題）

利用圓的性質得到垂直位置關系，轉化到相切模型中，進而將切線長轉化到與圓心距離的關系上，考查了本節重點內容，加深了學生對于直線與圓位置關系的理解。

（2）已知圓M：x2+y2-2x-2y-2=0，直線l：2x+y+2=0，P為l上的動點，過點P作圓M的切線PA，PB，切點為A，B，當|PM|·|AB|最小時，直線AB的方程為（）。

A. 2x-y-1=0 B. 2x+y-1=0 C. 2x-y+1=0 D. 2x+y+1=0

（選自2020 高考數學全國一卷理科數學11 題）

本題較為綜合，但沒有脫離本節重點，該題涉及的“動點問題”“切線長轉化問題”“公共弦問題”等皆在例題中有所鋪墊，因此，雖是高考題，但完全符合學生的思維發展，同時，恰當的綜合練習有助于學生更好地掌握直線與圓部分的內容，使學生感受知識與方法在復雜情境中的應用，有利于培養學生數學抽象、邏輯推理的數學核心素養。

4.課堂小結

反思以上不同的題目中貫穿始終的本質思想，感受由靜態到動態，再由動態到靜態的過程，體會其中蘊含的直線與圓中本質的方法和思想，感受數形結合的重要思想方法，生成直線與圓相關問題的知識方法體系，準確應用模型解決問題。

三、復習課教學策略總結

加強日常教學設計，激發學生熱情。筆者按照本班學生學習情況和對知識方法的把握，設計這樣的“打碎重構”課堂內容，將每節課局部與整體聯系起來，讓學生能夠架構出知識方法網絡，融會貫通。教學中要觀察學生反應，通過提問、學生板演、小組討論等方式調動學生積極性，及時進行作業、測試反饋，精心設計教學環節，營造愉快寬松的教學氛圍，希望教師能夠用自己的教學激發起學生學習的熱情，增強學生學習數學的信心和動力。

解題教學中融入數學思維，關注原理，淡化技巧。例題選取和講評重思維，一道簡單題干背景下，一題多變，感受變化的是題目，不變的是思維方法和原理。本堂課中例題剔除了復雜的計算，重視方法和原理，即直線與圓的幾何與代數特征，促進學生思考本質。正如數學家波利亞所主張，數學教育的主要目的之一是發展學生解決問題的能力，教會學生思考。

數學教學要實現在幫助學生掌握知識技能的同時，促進其數學核心素養的提升。數學學科核心素養要滲透進教學的各個環節，包括目標設計、情境創設、問題設計、教法選擇、課堂評價等，如本例中直線與圓復習課關注培養學生直觀想象、邏輯推理、數學抽象的數學核心素養，同時強調培養學生自主探索學習方法，引導學生實現由“學會”到“會學”的轉變，主動建立起知識方法之間有機聯系的知識體系。