基于Burgers模型鐵路路基長期沉降的預(yù)測分析

王 威，楊文豪，楊成忠，馮青松

(華東交通大學(xué) 鐵路環(huán)境振動與噪聲教育部工程研究中心，江西 南昌 330013)

鐵路路基是承受并傳遞軌道重力及列車動力作用的結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)，是鐵路構(gòu)造之中不可或缺的重要組成部分，尤其是其穩(wěn)定性對于保證列車安全高速運行起著至關(guān)重要的作用[1-3]。而鐵路路基的長期沉降變形又是影響列車行車安全性、行車速度、乘客舒適度和路基穩(wěn)定性的關(guān)鍵因素，其產(chǎn)生的原因主要是與路基填料堆載、列車循環(huán)荷載作用和路基土的蠕變特性等有關(guān)。為保證行車的安全性和乘客的舒適度，如何準(zhǔn)確有效地計算與預(yù)測路基沉降變形已成為關(guān)鍵問題[4-5]。近年來，國內(nèi)外學(xué)者圍繞這一課題展開了較多的研究，根據(jù)目前所采用預(yù)測路基沉降的計算方法大致可分為三類：

第一類為建立在彈性半無限體假定基礎(chǔ)上經(jīng)典的分層總和法，其利用簡化的固結(jié)公式計算固結(jié)度，然后推算沉降發(fā)展規(guī)律。呂璽琳等[6]對軟土空心柱在交通荷載應(yīng)力下的扭剪試驗數(shù)據(jù)進行分析，結(jié)合分層總和法、累積孔壓經(jīng)驗公式和軟黏土累積塑性變形規(guī)律，建立了軟土路基長期沉降擬靜力計算模型。周同和等[7]通過分析二元復(fù)合地基的受力特點，提出了復(fù)合模量分層總和法計算路基沉降。雖然上述方法能計算并預(yù)測路基沉降，但計算出的結(jié)果往往與實測沉降有較大差異[8]。

第二類為數(shù)值計算法，其根據(jù)固結(jié)理論并結(jié)合土體的本構(gòu)關(guān)系模型，計算最終沉降量及其發(fā)展規(guī)律。郭超等[9]以京津城際軌道交通天津段路基工程為依托，采用劍橋模型來模擬土體的力學(xué)行為，并結(jié)合現(xiàn)場原位測試數(shù)據(jù)，對路基土的長期沉降變形進行預(yù)測。但數(shù)值計算法的參數(shù)難以確定，同時由于路基工程的復(fù)雜性，難以考慮所有因素[10]，故該法不易為工程人員快速掌握。

第三類為根據(jù)現(xiàn)場實測數(shù)據(jù)推算沉降量與時間的關(guān)系，歸納起來主要有曲線擬合法、灰色理系統(tǒng)法、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法和反分析法。其中曲線擬合法包括雙曲線法[11]、指數(shù)曲線法[12]、星野法[13]、Asaoka法[14]、泊松曲線法[15]等，從計算方法上來說，曲線擬合法是一種較為完善的方法且簡單實用，但其前期沉降預(yù)測穩(wěn)定性較低，與實際值有微小偏差[16]。灰色系統(tǒng)模型雖具有較強的適應(yīng)性，但擬合出的模型參數(shù)較實際參數(shù)偏小[17]。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有很強的非線性映射能力，但存在擬合過程受局部極小點的困擾。反分析法是目前工程中校準(zhǔn)物理力學(xué)參數(shù)常用的方法，但反演過程較為繁瑣[18]。

事實上，鐵路路基工程具有其自身的特殊性和復(fù)雜性，路基填料的類型、堆積高度以及列車的循環(huán)荷載和土的蠕變特性等都會影響路基的長期沉降。而上述計算預(yù)測路基沉降的方法多是單一的考慮路基土在填料堆載或列車循環(huán)荷載作用下的變形特性，同時也未考慮土的蠕變特性及其所處應(yīng)力環(huán)境，可能會導(dǎo)致模型的預(yù)測結(jié)果有所偏離。因此，本文基于Burgers模型，在充分考慮鐵路填筑及列車運營期間路基土所處的空間應(yīng)力狀態(tài)及蠕變特性的基礎(chǔ)上，通過分析鐵路路基中任意單元體沉降量來預(yù)測路基長期沉降變形量，并利用路基實際的沉降數(shù)據(jù)驗證模型的合理性，成果可為今后在類似實際工程應(yīng)用中提供一定的借鑒。

1 鐵路路基沉降預(yù)測模型

鐵路路基的長期沉降變形一般從前期的填筑開始直至后期的鐵路運營始終在不斷發(fā)展。在前期的填筑過程中，路基土主要承受填料的靜載作用，該階段路基的沉降變形主要是由路基土自身的蠕變特性和各結(jié)構(gòu)層填料的堆載壓實所造成的；而在后期的鐵路運營中，路基會承受列車的荷載作用，此時路基的沉降變形主要與列車的循環(huán)荷載、填料堆載大小、時長以及路基土的蠕變特性等因素有關(guān)。目前，在路基的長期沉降預(yù)測的模型中，Burgers模型[19]具有應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系式簡單、參數(shù)概念明確、應(yīng)用較為方便且精確度較高等優(yōu)點。因此，基于Burgers模型，充分考慮路基土在填料堆載及列車荷載作用下的空間應(yīng)力狀態(tài)以及蠕變特性，對路基中任意單元體的沉降變形特性進行研究，進而預(yù)測鐵路路基長期沉降變形量。任意土體單元在路基填料堆載或列車荷載作用下所處的空間應(yīng)力狀態(tài)示意見圖1。

圖1 任意土體單元的受力情況

Burgers力學(xué)模型見圖2，是由Maxwell模型和Kelvin模型串聯(lián)而成[20-21]。由于Burgers模型的本構(gòu)方程較為復(fù)雜，若直接從其本構(gòu)方程中求解出其方程的過程及微分方程都非常的繁瑣。故本文采用分解組合模型元件的方法，即分別從Maxwell模型和Kelvin模型的本構(gòu)模型出發(fā)，推導(dǎo)出這兩個模型的沉降變形方程后再進行疊加，最終得到基于Burgers模型預(yù)測鐵路路基長期沉降變形方程。

圖2 Burgers模型示意

1.1 路基填筑及列車荷載表達式的選取

事實上，鐵路在修建期間，路基土主要承受填筑材料的靜載作用，而后在運營期又會承受來自列車的動荷載作用，因此對于任意深度z的路基土體來說，可能會受到填料堆載、軌道結(jié)構(gòu)自重和列車荷載等作用力的影響，可表示為

Fz=FT+FD

(1)

式中：FT為路基填料堆載及軌道自重所產(chǎn)生的作用力，為了計算簡便，本文對軌道結(jié)構(gòu)自重做了簡化，將其等效為某一填料的堆載作用[22]；FD為列車荷載所產(chǎn)生的作用力；Fz為距路基上表面z處路基土所承受總的作用力，在運營期間，若無列車荷載，則總作用力等于FT。

而列車在運行中對路基土所產(chǎn)生的力主要是通過其輪軌之間的作用力所形成的，故輪軌力的作用大小及時間會直接影響到路基內(nèi)部土體的沉降變形程度。影響輪軌力的主要因素包括軌道不平順和軌面波形磨耗效應(yīng)，加之鐵路線路運營環(huán)境復(fù)雜多變，致使軌道不平順具有相當(dāng)?shù)碾S機性[23]。為此，各國開展了大量理論和試驗研究，并總結(jié)出多類維修管理標(biāo)準(zhǔn)，如英國軌道幾何不平順管理標(biāo)準(zhǔn)見表1。

表1 軌道幾何不平順值

為有效計算列車荷載，并綜合考慮車速、軌道幾何不平順等因素的影響，本文選用文獻[23]提出的可反映軌道不平順、附加動載和軌面波磨效應(yīng)的激振力函數(shù)來模擬列車荷載，其表達式為

FD=F(t)=P0+P1sinω1t+P2sinω2t+P3sinω3t

(2)

式中：P0為車輪靜載；t為時間；Pi、ωi分別為表1中三種控制條件下某一典型值的振動荷載和不平順振動波長的圓頻率(i=1，2，3)，可表示為

Pi=M0αiωi

(3)

(4)

式中：M0為列車簧下質(zhì)量；v為列車的運行速度；Li、αi分別為表1中三種條件下某一典型波長和對應(yīng)的矢高(i=1，2，3)。值得說明的是，由于鐵路線路在運營過程中受復(fù)雜環(huán)境及列車類型多樣化的影響，在計算時應(yīng)根據(jù)實際情況對典型波長所對應(yīng)的矢高進行適當(dāng)修正。

1.2 任意路基土體單元的豎向應(yīng)力表達式

由上文分析可知，類似地對于任意深度z處的路基土體單元來說，將可能會承受來自路基填料的堆載、軌道結(jié)構(gòu)自重和列車荷載三部分作用產(chǎn)生的豎向應(yīng)力。但1.1節(jié)已對軌道結(jié)構(gòu)自重做了簡化，將其等效為某填料的堆載作用，故其所承受的豎向應(yīng)力可表示為

σ1=σT+σD

(5)

式中：σT為路基填料堆載及軌道結(jié)構(gòu)自重產(chǎn)生的豎向應(yīng)力；σD為列車荷載產(chǎn)生的豎向動應(yīng)力；σ1為深度z處土體所承受的豎向應(yīng)力。

事實上，鐵路在前期的填筑及后期的運營過程中，路基填料的堆載和軌道結(jié)構(gòu)的自重均會對路基土產(chǎn)生豎向應(yīng)力。但在鐵路填筑期間，該部分作用是造成路基土體單元承受豎向應(yīng)力的關(guān)鍵原因，此時豎向應(yīng)力值的大小主要與填料的類型和堆積高度有關(guān)。為計算路基土中由填料堆載作用產(chǎn)生的豎向應(yīng)力，現(xiàn)根據(jù)地基中的應(yīng)力計算原理，對于在填筑及運營期間的路基土來說，任意深度z處的土體單元由填料堆載及軌道結(jié)構(gòu)自重產(chǎn)生的豎向應(yīng)力可定義為[24]

σT=γGh+γz=σG+γz

(6)

式中：γG為等效填料重度；h為軌道結(jié)構(gòu)高度；γ為路基填料重度；z為計算點距填料頂面的高度；σG為軌道結(jié)構(gòu)自重下的豎向應(yīng)力。

而鐵路在后期的運營過程中，路基土在一定深度范圍內(nèi)除了承受填料堆載和軌道結(jié)構(gòu)自重的作用(σT)以外，還將承受來自列車引起的動應(yīng)力(σD)影響。此刻，不同深度路基土所承受的動應(yīng)力并不一致，且隨著深度的增加在不斷地減小[25]，其值與列車荷載作用力、綜合動力影響系數(shù)和深度等因素均有關(guān)，可表示為

(7)

式中：a、b為擬合系數(shù)，通常對于無砟軌道，a取2.12，b取1.18；對于有砟軌道，a取0.64，b取0.86[25]；Φw為綜合動力影響系數(shù)；Lw為路基面承受的動應(yīng)力縱向影響距離；L1為轉(zhuǎn)向架固定軸距；Bw為動應(yīng)力傳遞至無砟軌道路基面橫向分布寬。

綜合以上分析，對于任意深度z處的路基土體單元來說，其所承受由填料堆載、軌道結(jié)構(gòu)自重和列車荷載產(chǎn)生的豎向應(yīng)力為

(8)

需要說明的是，在鐵路填筑期間，僅需考慮填料堆載和軌道結(jié)構(gòu)自重對路基土的影響，此時σT即為總的豎向應(yīng)力；而在后期的運營中還需考慮列車荷載的影響，此刻任意深度z處的路基土體單元所承受總的豎向應(yīng)力可由式(8)計算。由于本文研究的是鐵路路基的長期沉降問題，不僅考慮了靜載作用的影響，同時也考慮了列車動載作用產(chǎn)生的影響，故將利用式(8)進行主應(yīng)力差表達式的推導(dǎo)。

1.3 考慮路基填料堆載和列車荷載下主應(yīng)力差表達式的推導(dǎo)

由圖2可知，Burgers模型是由Maxwell模型和Kelvin模型串聯(lián)而成，故在推導(dǎo)Maxwell模型和Kelvin模型的沉降變形方程時，都需通過由路基填料堆載及列車荷載作用所建立的主應(yīng)力差表達式進行展開。根據(jù)彈塑性力學(xué)原理，路基土在空間應(yīng)力狀態(tài)下，偏應(yīng)力張量為

Sij=σij-σmδij

(9)

式中：Sij為偏應(yīng)力張量；σij為路基土在空間應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力張量；σm為球應(yīng)力張量；δij為單位矩陣。

豎向偏應(yīng)力為

(10)

式中：σ*=σ1-σ3為主應(yīng)力差，此時，在路基填料堆載及列車荷載作用下，主應(yīng)力差σ*也會隨著時間t而發(fā)生變化，其表達式為

σ*(t)=σ1(t)-σ3=NQ(P0+P1sinω1t+

P2sinω2t+P3sinω3t)+σT-σ3

(11)

其中，N=1-z/(a+bz)，Q=4Φw/[(Lw+L1)Bw]。

1.4 考慮路基填料堆載和列車荷載下Maxwell模型沉降變形方程

Maxwell模型是由胡克體和牛頓體串聯(lián)而成，力學(xué)模型如圖2第1部分所示，其本構(gòu)方程為[20]

(12)

式中：G1為Maxwell模型體的剪切模量；η1為Maxwell模型體的黏滯系數(shù)。

將式(11)代入式(10)得

P3sinω3t)+σT-σ3]

(13)

(14)

將式(13)和式(14)代入式(12)，再對時間t進行積分，同時代入初始條件當(dāng)t=0時，e11=(σ1max―σ3)/3G1，整理可得

(15)

式中：e11為Maxwell模型在荷載作用下的豎向偏應(yīng)變；σ1max為路基土中最大的豎向壓應(yīng)力。

由于荷載變化對球應(yīng)變的影響不大[20]，且當(dāng)球應(yīng)變以t=0時刻的荷載值進行計算時，則有

(16)

式中：εm為球應(yīng)變；K為體積模量。

因此，由式(15)和式(16)可得Maxwell模型在路基填料堆載和列車荷載作用下的沉降變形方程為

εⅠ=e11+εm=

(17)

式中：εⅠ為Maxwell模型的應(yīng)變。

1.5 考慮路基填料堆載和列車荷載下Kelvin模型沉降變形方程

Kelvin模型是由胡克體和牛頓體并聯(lián)組成，力學(xué)模型如圖2第2部分所示，其表達式為

(18)

式中：G2為Kelvin模型體的剪切模量；η2為Kelvin模型體的黏滯系數(shù)。

將式(18)變形為

(19)

將式(13)代入式(19)并對其進行求解，屆時代入初始條件當(dāng)t=0時，Kelvin模型的偏應(yīng)變e11=0，整理可得路基填料堆載和列車荷載下其變形方程為

(20)

式中：εⅡ為Kelvin模型的應(yīng)變。

1.6 考慮路基填料堆載和列車荷載下Burgers模型鐵路路基沉降變形方程

前面分別推導(dǎo)了路基土在填料堆載和列車荷載作用下Maxwell模型和Kelvin模型的沉降變形方程，由于Burgers模型是由Maxwell模型和Kelvin模型串聯(lián)而成(見圖2)，即

(21)

式中：σ為Burgers模型的應(yīng)力；ε為Burgers模型的應(yīng)變；σⅠ為Maxwell模型的應(yīng)力；σⅡ為Kelvin模型的應(yīng)力。

因此，根據(jù)式(17)、式(20)、式(21)可得圖1所示路基填料堆載及列車荷載作用下Burgers模型的鐵路路基長期沉降變形方程為

(22)

此時令

考慮到實際中路基的縱向長度很長，認為在受力變形中其水平方向的變形受限[26]，并令σ3=k0σ1，其中k0為土壓力系數(shù)。因此，沿豎向積分可得距路基表面厚度為z的土層變形表達式為

(23)

式中：S(t)為路基土隨時間變化的豎向沉降變形。

2 模型的驗證

由于鐵路路基的沉降發(fā)展，經(jīng)歷了上部結(jié)構(gòu)層長期堆載作用，以及列車循環(huán)荷載加載過程。因此，分別采用路基填料堆載及列車荷載兩種作用方式下路基實際的沉降數(shù)據(jù)，驗證基于Burgers模型預(yù)測鐵路路基長期沉降變形方程的合理性與準(zhǔn)確性。

2.1 路基填料堆載下模型的驗證

為了說明所推導(dǎo)的模型能適用于路基土在填料堆載作用下的沉降變形特性，現(xiàn)利用文獻[26]中高速鐵路粗粒土路基的沉降數(shù)據(jù)對方程進行驗證。在計算過程中，基床表層、底層和路基本體層填筑高度均與文獻保持一致，分別為0.4、2.3、2.0 m，且此時不考慮列車荷載作用(即方程中含有Pi項的算式均為零)，僅考慮路基各結(jié)構(gòu)層中填料堆載及軌道自重等因素對路基沉降變形的影響。

曲線擬合法是確定路基長期沉降預(yù)測模型參數(shù)中較為廣泛的一種方法。本文將分別利用模型試驗中路基基床層、路基本體層和地基層的沉降數(shù)據(jù)，并基于優(yōu)化粒子群算法原理，采用曲線擬合法對式(23)中的相關(guān)參數(shù)進行反演，其結(jié)果見表2。同時，得出了對應(yīng)的時間-沉降曲線。圖3～圖5分別給出了采用本文模型計算路基基床層、路基本體層以及地基層的沉降結(jié)果，并與文獻[26]和實測沉降數(shù)據(jù)進行對比。

由表2可見，參數(shù)的擬合相關(guān)性較高，相關(guān)系數(shù)R2均在0.98以上，要高于文獻[26]中的研究成果，表明本次反演的結(jié)果可靠性較好。同時，值得說明的是，文獻[26]的研究僅考慮了Kelvin模型，其所包含的參數(shù)為：體積模量K、剪切模量G和黏滯系數(shù)H。其在反演的過程中：基床層K為151.6 MPa、G為51.54 MPa、H為9 249 MPa·d；路基本體層K為105.3 MPa、G為35.81 MPa、H為7 371 MPa·d；地基層K為85.4 MPa、G為11.64 MPa、H為3 189 MPa·d。此時結(jié)合表2可以看出，本文反演的參數(shù)值與文獻[26]的結(jié)果大小相仿，這說明本文反演擬合的參數(shù)均在土體參數(shù)的合理范圍內(nèi)。

表2 路堤填料堆載下Burgers模型參數(shù)反演結(jié)果

圖3 基床層沉降變形擬合與文獻及實測對比

圖4 路基本體層沉降變形擬合與文獻及實測對比

圖5 地基層沉降變形擬合與文獻及實測對比

進一步地，由圖3、圖4、圖5可以看出，隨著時間推移到300～800 d期間，文獻[26]開始偏離實測曲線，而本文模型與實測曲線保持著相同的變化規(guī)律。本模型之所以在反演參數(shù)值相似的情況下，參數(shù)的相關(guān)系數(shù)以及與實測沉降曲線相比的吻合度都要略高于文獻[26]的研究成果，可能是由本文多慮了Maxwell模型以及路基土所處的空間應(yīng)力狀態(tài)等原因造成，使得擬合結(jié)果更為精準(zhǔn)。

現(xiàn)利用反演出的參數(shù)對高速鐵路粗粒土路基的長期沉降進行預(yù)測。在路基填料堆載下，本模型預(yù)測結(jié)果與文獻[26]中的計算結(jié)果以及路基實際沉降數(shù)據(jù)對比如圖6所示。

圖6 路基沉降變形預(yù)測與文獻及實測對比

由圖6可知，本文的預(yù)測曲線同實測曲線的吻合度略高于文獻[26]，同時，隨著時間的變化，曲線呈現(xiàn)出先快后慢，最后趨于穩(wěn)定的增長方式。這說明本模型預(yù)測鐵路路基在填料堆載下的長期沉降變形趨勢符合實際沉降變化規(guī)律，且對路基土變形特性具有較強的適應(yīng)性。

2.2 列車荷載下模型的驗證

進一步地驗證本模型在列車動載作用下預(yù)測鐵路路基長期沉降的優(yōu)勢，現(xiàn)對文獻[27]中天津至保定客運專線試驗段在列車荷載工況下路基的沉降算例進行分析。在計算路基沉降過程中，為了能夠和文獻中的計算結(jié)果進行有效地比較，本文采用與文獻[27]一致的路堤填筑方式、尺寸及填料參數(shù)。同時利用文獻[27]中列車荷載工況下路基的沉降數(shù)據(jù)對式(23)進行參數(shù)反演，反演結(jié)果見表3。此時，將反演出的參數(shù)、路堤幾何尺寸及填料相關(guān)參數(shù)代入本模型進行計算，從而得到列車荷載作用下路基的沉降量并與文獻計算結(jié)果作對比分析。圖7給出了列車荷載作用下本模型計算結(jié)果與文獻[27]計算結(jié)果的對比圖。

由表3可知，在列車荷載作用下，模型參數(shù)的擬合相關(guān)性較高，相關(guān)系數(shù)R2接近0.99，說明本模型所反演出的參數(shù)值合理，具有較高的可靠性。同時，由圖7可知，在0～3 a期間，雖然本模型計算路基的沉降量與文獻計算結(jié)果有微小的偏差，但兩曲線的總體吻合良好；隨著時間的變化，沉降量的增長方式同樣符合先快速增大后趨于穩(wěn)定的變化規(guī)律，模型與文獻計算路基最終沉降量分別為885、872 mm。通過此次驗證結(jié)果表明，本模型計算路基在列車荷載作用下的沉降時，對路基土的沉降變形特性同樣具有較強地適應(yīng)性。

表3 列車荷載下Burgers模型參數(shù)反演結(jié)果

圖7 路基沉降變形計算與文獻對比

結(jié)合上述驗證結(jié)果可知，本模型均能較好地反映鐵路路基在填料堆載及列車荷載作用下長期沉降變形特性，說明本文所推導(dǎo)模型方程的合理性及準(zhǔn)確性較高。但從圖6和圖7的結(jié)果也可以看出，在預(yù)測初始階段，本文計算結(jié)果與文獻數(shù)據(jù)的吻合度較低，文獻中路基沉降衰減階段持續(xù)時間更短，變形速率更快。因此，對于如何有效提高模型前期精確度還需做進一步地研究探討。

3 結(jié)論

本文基于Burgers模型，在充分考慮鐵路路基填筑及列車運營期間路基土所處的空間應(yīng)力狀態(tài)及蠕變特性的基礎(chǔ)上，通過選取合適的荷載表達式，建立了在路基填料堆載及列車荷載作用下路基土主應(yīng)力差隨時間變化的關(guān)系式，從而推導(dǎo)出預(yù)測鐵路路基長期沉降變形方程。進一步地，利用現(xiàn)有文獻結(jié)果及實測數(shù)據(jù)確定參數(shù)并代入模型計算，分別驗證了模型預(yù)測路基土在填料堆載和列車荷載作用下的沉降變形規(guī)律。現(xiàn)得出以下結(jié)論：

(1)本文所建立的模型是基于Burgers模型的分解，充分考慮了路基土在填料堆載和列車荷載作用下所處的應(yīng)力狀態(tài)及其自身蠕變特性的影響，從任意路基土體單元的主應(yīng)力差表達式出發(fā)，分別推導(dǎo)出Maxwell模型和Kelvin模型的沉降變形方程，進而建立了基于Burgers模型的鐵路路基沉降變形方程，用于路基長期沉降的預(yù)測分析。

(2)本模型均能較好的反映路基土在填料堆載及列車荷載作用下沉降量隨著時間的變化呈先快后慢，最后趨于穩(wěn)定的規(guī)律，表明模型對路基土在填料堆載及列車荷載作用下的沉降變形特性均有較強的適應(yīng)性。

(3)本模型參數(shù)均在土體參數(shù)合理范圍內(nèi)，且預(yù)測路基長期沉降所得結(jié)果可靠性和精確度較高，可為類似工程提供一定的參考。