問題為基礎(chǔ)的啟發(fā)式教學(xué)方法的具體應(yīng)用“直線的一般形式”教學(xué)過程

1.回顧已知

老師：在此之前，咱們學(xué)習(xí)了平面直角坐標(biāo)系中直線方程的幾種特殊形式。那么，請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成一下這個(gè)表格。

使用前提 直線方程

點(diǎn)斜式

斜截式

兩點(diǎn)式

截距式

（將直線方程的特殊形式進(jìn)行系統(tǒng)的整理歸納，能喚醒學(xué)生對(duì)直線方程的基本記憶，使其與此節(jié)課新學(xué)的知識(shí)點(diǎn)有所聯(lián)系，便于學(xué)生將直線方程進(jìn)行系統(tǒng)化的整理。）

2.引入課題

老師：剛才我們已經(jīng)對(duì)上節(jié)課所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行了復(fù)習(xí)回顧，現(xiàn)在我想請(qǐng)大家思考一個(gè)問題：上述四種特殊形式的直線方程是否能夠表示平面直角坐標(biāo)系中全部的直線？

（學(xué)生在圍繞直線方程特殊形式的局限性而展開積極主動(dòng)思考時(shí)，會(huì)有一種卻想說而不知道該如何表達(dá)的心理狀態(tài)，這時(shí)的學(xué)生思維最活躍，教師把握好時(shí)機(jī)適當(dāng)加以誘導(dǎo)能更好推動(dòng)課堂高效發(fā)展。）

H同學(xué)：我認(rèn)為可以。

I同學(xué)：我認(rèn)為H是錯(cuò)誤的，因?yàn)槊糠N特殊形式的直線方程在表示直線的時(shí)候都有條件限定。

（兩人的觀點(diǎn)產(chǎn)生了沖突，大家都被卷入這場(chǎng)博弈之中，能夠激發(fā)同學(xué)們繼續(xù)學(xué)習(xí)研究的欲望）

J同學(xué)：我認(rèn)為I說的是對(duì)的。因?yàn)橹挥挟?dāng)被表示的直線 與 軸垂直，即直線 的斜率存在時(shí)，才可以用點(diǎn)斜式或斜截式表達(dá);而只有當(dāng)直線 與 軸不垂直，也與 軸不垂直，也就是當(dāng)直線 上的兩定點(diǎn)滿足 且 ，時(shí)，才能運(yùn)用兩點(diǎn)式進(jìn)行表示; 線在兩軸上的截距都存在，且 ， 時(shí)才能用截距式。

老師：同學(xué)們都講得很好，根據(jù)剛剛我們一起的討論和幾位同學(xué)的優(yōu)秀總結(jié)，現(xiàn)在可以得到：

1.我們上節(jié)課所學(xué)到的直線方程的四種表達(dá)形式都不能適用于平面直角坐標(biāo)系中任意一條直線，他們有其各自的限制。

2.因?yàn)榕c 軸垂直的直線的斜率存在，其方程雖然不能用截距式表示，但可以用斜截式表示。那么，同理可得，過原點(diǎn)且不與x軸垂直的直線也是這樣。

那么現(xiàn)在就出現(xiàn)了一個(gè)問題請(qǐng)大家思考一下：有沒有那么一種直線，是四種特殊形式都無法進(jìn)行表達(dá)的呢？如果有，它有什么特征？

所有學(xué)生：有！它與 軸垂直。

老師：那有沒有辦法把用方程表示出與 軸垂直的這一類直線？

所有學(xué)生：有！就是 。

（經(jīng)過一番引導(dǎo)推理，學(xué)生對(duì)與 軸垂直的直線的方程表達(dá)形式有了一定的自我理解和猜想，接下來自然而然就是要把它完善。）

3.內(nèi)容展開

老師：探索到現(xiàn)在為止，我們知道了任何一條平面直角坐標(biāo)系中的直線都可以用直線方程的四種特殊形式加上 這五種形式中的一種或多種進(jìn)行表達(dá)。

那么請(qǐng)大家再進(jìn)行思考：我們能不能創(chuàng)建一個(gè)新的表達(dá)形式，可以將上述五種直線方程的表達(dá)形式都囊括其中？

（經(jīng)此一問，學(xué)生再一次被置于“憤悱的情境之中，對(duì)新知識(shí)探究的欲望更強(qiáng)烈了。）

L同學(xué)： 由上節(jié)課可知，直線方程的其他三種特殊形式都可以轉(zhuǎn)化為斜截式，因此我覺得可以將直線的表達(dá)形式都統(tǒng)一于斜截式中。

M同學(xué)：那方程 也可以統(tǒng)一在斜截式中嗎？

L同學(xué)：哦！我沒把這個(gè)方程考慮在內(nèi)。

（等大多數(shù)學(xué)生感到難以統(tǒng)一時(shí)，教師可以適當(dāng)提示）：直線方程的四種特殊形式雖然各有不同，但大家可以嘗試著找找它們的共同點(diǎn)。

N同學(xué)：直線方程的這些表達(dá)形式都是關(guān)于x，y的二元一次方程。

老師：咦， 也是嗎？

O同學(xué)：當(dāng)然是！只要使未知數(shù)y的系數(shù)為0，即 ，簡(jiǎn)寫就是 。

P同學(xué)：這么一說，方程 還能看成是關(guān)于未知數(shù)x，y， ……的一次方程呢！

O同學(xué)：現(xiàn)在我們只是在平面直角坐標(biāo)系中討論，只要未知數(shù)的個(gè)數(shù)小于等于二，所以，方程 只看成 ， 的一次方程就夠了。

老師：真好，同學(xué)們都敢于對(duì)其他同學(xué)的觀點(diǎn)進(jìn)行辯駁，說明大家都有敏銳的觀察力和較強(qiáng)的思辨能力。那么，我們可以用一個(gè)怎樣的方程來表示平面直角坐標(biāo)系中的任一直線呢？

所有學(xué)生：可以用含未知數(shù) ， 的一次方程 對(duì)平面直角坐標(biāo)系中的任意一條直線進(jìn)行表達(dá)。

老師：不錯(cuò)！就像大家剛剛說的一樣：平面直角坐標(biāo)系中任何一條直線都可用方程 來表示。

那么，聯(lián)系直線方程的定義，請(qǐng)大家再仔細(xì)想想：你怎么就確定方程 表示的總是直線呢？（這樣能使知識(shí)環(huán)環(huán)相扣，精益求精，使數(shù)學(xué)更加精確，問題有了新的走向，能夠充分開發(fā)學(xué)生的大腦思維的同時(shí)也將同學(xué)們刨根到底的心態(tài)進(jìn)一步激發(fā)了。）

Q同學(xué)：用描點(diǎn)法就行。

R同學(xué)：描點(diǎn)法所畫出的圖象往往只是近似的，用它進(jìn)行數(shù)學(xué)結(jié)論的嚴(yán)格證明還是有所不妥。

S同學(xué)：我認(rèn)為可把方程 化為直線方程斜截式的樣子，如 ，也就是說它所表達(dá)的直線斜率是 ，與y軸所截得的截距是 。

同學(xué)：你說的是 的情況，在 時(shí)，由于 ， 不能同時(shí)等于0，那么這種情況下 就可以化為 ，顯而易見，它與x軸垂直了。

老師：請(qǐng)大家仔細(xì)想想，結(jié)合S和T說的，可以解決什么問題？

所有學(xué)生：證明了關(guān)于未知數(shù)x，y的一次方程 總是表示一條直線。

老師：那么，咱們這節(jié)課討論到現(xiàn)在就成功得到了以下結(jié)論：

首先，平面直角坐標(biāo)系中的任意一條直線都可寫成關(guān)于未知數(shù)x，y的一次方程 的形式;

其次，方程 在平面直角坐標(biāo)系中表達(dá)的總是直線。

老師：那么，我們剛剛推導(dǎo)出來的方程 與直線的四種特殊表達(dá)形式之間有怎樣的聯(lián)系？咱們?cè)撛趺捶Q呼它？

所有學(xué)生：剛剛推導(dǎo)出來的方程是方程其它表達(dá)形式的總和，囊括了它們所有可能的情況。我們可以稱方程 為直線方程的一般形式。

老師：很好，看樣子大家對(duì)直線方程的一般形式已經(jīng)有了一定的了解和掌握，那么接下來請(qǐng)大家做兩道題來鞏固一下！

4.課堂練習(xí)

完成書后習(xí)題第四大題，做完之后小組之間可以相互檢查討論。

作者簡(jiǎn)介：張紫薇（1997.10），女，漢族。湖南湘潭，碩士研究生。湖南科技大學(xué)，學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）