數學游戲24點可行性最小值證明及通用算法

徐 品

(南陽農業職業學院，河南 南陽473000)

24點是一個數學益智游戲，傳統24點的規則是任意取4個1～10的整數，用加、減、乘、除(可加括號)把這4個數算成24，每個數必須用一次且只能用一次。24點有助于發展學生的邏輯思維，使學生在學習中游戲，在游戲中學習，一題多解還可以加強學生舉一反三的能力。24點有其獨特的數學魅力和豐富的內涵，簡單易學，通常用撲克牌上的數字來進行計算。撲克數學游戲的特點是教育功能性較強、趣味性強、易操作，游戲要素是參與者、工具、主題和規則。 經過實踐發現，24點游戲有助于提高學生的專注力和心算能力。

1 游戲推廣及意義

在傳統24點的游戲規則下，有解率為87.47%，也就是平均每抽八組數字就有一組算不出24點。游戲中只有固定幾個較難的題目，例如：①1，3，4，6。②1，4，5，6。③1，5，5，5。④1，6，6，8。⑤3，3，7，7。⑥3，3，8，8。⑦4，4，7，7，有時需要用到分數去解題。24點小游戲更多考驗的是心算的快、精、靈、全，比較鍛煉思維能力，但游戲時常會隨著無解組合的出現而結束。對此，本研究嘗試設計出一種新的游戲規則：一副撲克牌中抽去大小王剩下52張，J，Q，K，A均代表1點，可隨意抽取9張牌，利用加、減、乘、除(可加括號)把牌面上的點數算成24。

2 主要結果及其證明

主要定理：任意在1～10中(包含1、10)的9個數在用且僅能用一次的規則下均可通過加減乘除(可加括號)得到24。為證明這個定理，提出了以下引理：對于滿足2≤x1≤8,4≤x2≤10 的1,1,1,x1,x2，這5個數可通過四則運算得到24。

證明過程分四步：

(1)2≤x1≤6,4≤x2≤9。一方面，2個1和x1可得到3和4，5≤x2≤9和1可得到6或8，故5≤x2≤9可以得到24；另一方面，3個1可以和x1得到6，故1,1,1,4,x1可以得到24。

(2)x1=7,4≤x2≤9。1和x1可得到6，兩個1和4≤x2≤6可得到4，再通過如下計算可得(2)成立：

(7×7-1)/(1+1)=24

(1+1)×(7+1)+8=24

(1+1)×9+7-1=24

(3)x1=8,4≤x2≤9。由于3個1和4≤x2≤9可得到3，故(3)成立。

(4)2≤x1≤8,x2=10。通過如下計算可知(4)成立：

(1+1+10)×1×2=24

(3-1+10)×(1+1)=24

(1+1)×10+4×1=24

(1+1)×10+5-1=24

(1+1)×(1+6)+10=24

(1+1)×7+10×1=24

(1+1)×(8-1)+10=24

主要定理的證明：對于9個1～10的整數，設其為x1≤x2≤…≤x9，現得出以下結論：

結論一：幾乎都可得到3個1(只有一種例外情形)。現設計出以下算法A：(i)檢查1點數量，若1點數量大于等于3，則取出3個1，結束。(ii)若有相同的點數，將點數相除得到新點數1，返回(i)。若沒有相同的點數，取相鄰最近的兩個點數的差得到新點數1，返回(i)。由抽屜原理可知,若點數為2～10的數量大于等于6，則存在相鄰的牌點數小于等于1，那么以上算法中只有1，1，2，4，6，8，10這一組數不能得到3個1，但卻有1+1+2-4+6+8+10=24。

結論二：可以得到1，1，1，y1,y2,y3。對于其他情況，先挑出3個1，然后用算法B可以得到3個1和y1,y2,y3。算法B如下：(i)若只有3個點數，結束。(ii)若最大數與最小數之和小于等于10，則將二者相加，返回(i)。 若最大數與最小數之和大于10，則取大數減小數(差為0時相除)，返回(i)。

結論三：1，1，1，y1,y2,y3可以計算出24。由算法A可知，挑出3個1后最少還剩3張牌，再由算法B可知，每經過一次循環，點數的數量或牌數就會減少1，故通過算法B最終得到1，1，1，y1,y2,y3。可以設y1≤y2≤y3，若y1+y3≤8，則有y1+y3≥2.根據引理可知1,1,1,x1+x3,x2可得到24。若y1+y3≥9，分為兩種情形：①|y3-y1|≥2,由引理可知1,1,1,x3-x1,x2可得到24。②|y3-y1|≤1,則x3≥5. 若y1,y2,y3中有一個在{6，7，8，9}中，則將另兩個數相減或相除可得到1，從而可由以下計算得到24，6和4個1可得24，7、8、9和1可得8，再和3個1可得24。

6×(1+1+1+1)=24

(1+1+1)×(7+1)=24

(1+1+1)×(8×1)=24

(1+1+1)×(9-1)=24

剩下只需計算y1=y2=y3=5和y1=y2=y3=10。這兩種情況可由以下計算得出結論：

(5-1)×5+5-1×1=24

(10+1+1)×(10/10+1)=24

由上可知，任意點數為1～10的9張牌可通過加減乘除(可加括號)得到24。

推論：在點數為1～10的一堆牌中，任取多于9張牌均可通過加減乘除(可加括號)得到24。

證明：由算法A和算法B可以得到1，1，1，x1,x2,x3。算法A只有例外情況會形成1，1，2，4，6，8，10，算法B的例外情況是得到4個1和兩個大于1的數，從對兩種例外情況的討論和定理的證明過程來看，該推論顯然成立。

上述推論說明，任意拿到超過9個1～10的整數通過加減乘除(可加括號)都能得到24，即拿到任意一堆牌，只要牌的張數大于等于9，則肯定可以通過加減乘除(可加括號)得到24。

3 通用算法

受主要定理證明過程的啟發，得到了超過9個數算24的一般算法，算法詳情如下：

第一步(步驟①②)：得到3個1，例外情況會形成1，1，2，4，6，8，10，若是例外情況，則有1+1+2-4+6+8+10=24。①檢查1點數量，若1點數量大于等于3，則取出3個1，結束。②若有相同的點數，將點數相除得到新點數1，返回①。若沒有相同的點數，取相鄰最近的兩個點數的差得到新點數1，返回①。

第二步(步驟③④)：3個1之外得到3個數，例外情況是得到4個1和兩個大于1的數，可以通過4×6=24，3×8=24，(1+1)×(9-1-1)+10=24，1+1+1+1+10+10=24得到結果。③拿出3個1，若只剩3個數，結束。④若最大數與最小數之和小于等于10，則將二者相加，返回③。若最大數與最小數之和大于10，則取大數減小數(差為0時相除)，返回③。

第三步(步驟⑤)：3個1和另外3個數算24。⑤給定1,1,1,x1,x2,x3，容易計算24點，算法結束。

第一步的例外情形是因為算法A在出現1，1，2，4，6，8，10這7個數時不能再生成3個1，而其他情形均可得到3個1。第二步的例外情形是得到1,1,1,x1,x2,x3,x4后(可設這幾個數按遞增順序排列)，若x1+x4>10且x4-x1≤1，就會得到1,1,1,1,x2,x3。

利用1,1,1,x1,x2,x3計算24點的詳細方法為設x1≤x2≤x3，若x1+x3≤8，則有x1+x3≥2。根據引理可知1,1,1,x1+x3,x2可得到24。若x1+x3≥9，分兩種情形：①|x3-x1|≥2,由引理可知1,1,1,x3-x1,x2可得到24。②|x3-x1|≤1，則x3≥5。若x1,x2,x3中有一個在{6，7，8，9}中，則將另兩個數相減或相除可得到1，從而可由以下計算得到24，6和4個1可得24，7、8、9和1可得8，再和3個1可得24。

6×(1+1+1+1)=24

(1+1+1)×(7+1)=24

(1+1+1)×(8×1)=24

(1+1+1)×(9-1)=24

剩下只需計算x1=x2=x3=5和x1=x2=x3=10。這兩種情況可由以下計算得出結論：

(5-1)×5+5-1×1=24

(10+1+1)×(10/10+1)=24