行為傳染與股票價格波動的關系研究

廣東工業大學經濟與貿易學院 姚宇航

廣東工業大學應用數學學院 黃雨灝

廣東工業大學經濟與貿易學院 楊佳美 余琪 馬麗婷

金融市場中，股票等資產經常出現價格的異常波動，一定程度上影響了市場的穩定性[1]。大量的實證表明，價格的波動與投資者的行為存在著較強的聯系。羊群行為理論中的行為傳染模型可以較好地刻畫兩者的關系，而系統動力學能更直觀深入地反映事態變化的動態過程[2]。目前已有的研究主要集中在不同市場情形下的股市演化模型，由于模型往往是較為復雜的常微分方程組形式，使得模型的應用存在著局限性[3]。

1 基于行為傳染的股市演化模型

1.1 股市演化模型的構建

羊群效應和價格追蹤對轉換概率產生影響，每個時間段，買賣股票投資者都會變，所以買賣股票者在市場中的占比也在變化，投資者的轉換概率隨之產生變化，進而對投資者行為產生影響。大多數投資者行為x在單位時間內的變化推導：

根據供求理論，大多數投資者的行為也反映了市場對股票的供求程度。當X大于0時，市場中對股票的需求大于供給，股票價格上升；X越大，說明對股票的需求越大，股價上升越大。同理當X小于0時，股價下降，并且會隨著X的減少，下降也增大。假設股價的波動與大多數投資者的行為X成線性關系，可以構建股價波動的微分方程如下：

綜上可得一個股市演化動力學方程：

當Vbs>Vsb的時候，股票最終的均衡價格大于內在價格；當Vbs

1.2 數值仿真和參數研究

為了更直觀地了解股市演化模型的經濟意義，以及可以定性定量分析參數對模型的影響，本文采用matlab軟件進行數值仿真并繪圖。

圖1 股票價格p、大多數投資者行為x與時間t之間的相互關系

圖2 大多數投資者行為x與股票價格p的關系

由圖1可知，x、p與t之間的函數關系圖均呈現一種“振蕩衰減”的形狀。此外，大多數投資者行為與股票價格呈現“異步性”。分析可得，投資者的羊群行為會推動股票價格的上漲或下跌。由于金融市場內在的調節機制，羊群行為程度將下降，而股票價格由于“慣性”的原因將繼續上漲。

由圖2可知，大多數投資者行為與股票價格之間呈現“動態循環”的狀態。在一個周期內會經歷四個階段：第一階段是大多數投資者行為均大于0并趨向于0，股票價格上升。第二階段是大多數投資者行為均小于0并偏離于0，股票價格會下降。第三階段和第四階段產生的原因和第一階段同理。

2 單自由度欠阻尼振動模型

2.1 微分方程的求解及數值仿真

其中X為振幅，φ0為初相位，假設質量塊的初始速度為v0，初始位移為x0。可求得：

式(4)和式(5)即為單自由度欠阻尼非受迫振動微分方程的解析解。式(4)描述了質量塊的位移與時間t的關系。

為了更直觀地了解質量塊位移、運動速度和時間的關系，采用MATLAB 進行數值仿真，仿真結果如下。

圖3 質量塊位移、運動速度和時間

圖4 質量塊位移和運動速度的關系

由圖3、圖4可知，在欠阻尼非受迫振動模型中，質量塊的質量塊位移、運動速度和時間的關系圖與在股市演化模型中關系圖較為相像，均呈現一種“振蕩衰減”的形狀?；谝陨戏治觯疚恼J為單自由度欠阻尼振動模型中的質量塊位移方程和股市演化模型中的股票價格方程存在著較強的聯系，并提出假設：質量塊的位移方程是股票價格方程的解析解形式。為了驗證該假設，本文采用1stopt 軟件對股市演化模型中產生的仿真數據進行曲線擬合。

2.2 曲線擬合及模型檢驗

本文采用最常用的麥夸特法(Levenberg-Marquardt)+通用全局優化法進行曲線擬合。擬合的模型為單自由度欠阻尼振動模型中的位移方程(4)，原始數據為股票價格數據，擬合之前對數據進行標準化處理，擬合結果如下。

模型的均方差RMSE和殘差平方和SSE約為0.0289和0.4139，表明模型的誤差較小。同時，模型擬合的相關系數R2為0.8819(決定系數DC為0.8745)，均可以說明，模型的擬合程度較高。F統計量的值為3694.8647，表明擬合的模型在整體上的顯著性較強，通過了檢驗。這驗證了假設質量塊的位移方程是股票價格方程的解析解形式。

2.3 單自由度欠阻尼振動模型的經濟意義解釋

2.3.1 無阻尼系統的固有頻率

分別取無阻尼系統的固有頻率ω為10、3和5.2，仿真結果如下。

隨著無阻尼系 統的固有頻率的增加，物體的位移達到均衡狀態的時間在減少，波動次數變化不明顯，峰值在減少；均衡時刻的位移則呈現一種階段性的跳躍狀態：經過多次數值仿真條件可知，當無阻尼系統的固有頻率在4.9 5.3的區間時，位移會下跌到定值-1左右，其他時刻位移則在定值 0 左右。

2.3.2 粘性阻尼比

分別取粘性阻尼比ξ為0.2、0.3以及1.1，仿真結果如下。

隨著粘性阻尼比的增加，物體的位移達到均衡狀態的時間在減少，波動次數和峰值也在減少，均衡時刻的位移則變化不明顯。當粘性阻尼比大于1的時候，可知此時系統為過阻尼狀態，位移幾乎呈指數增長。在股市演化模型中，投資者行為發生改變的頻率與股票價格達到均衡狀態的時間、波動次數和峰值呈負相關關系，羊群效應影響系數和價格調整系數則相反；投資者行為發生改變的頻率越大，股票均衡時刻的價格（最終價值）也越大。

因此本文提出猜想，單自由度欠阻尼振動模型的粘性阻尼比可能與羊群效應影響系數和價格調整系數呈現線性關系，而無阻尼系統固有頻率與股市演化模型的三個參數之間可能呈現較為復雜的非線性關系。

3 結語

本文對在經濟學模型基礎上引入物理模型具有一定的參考價值，但由于模型做了一定的簡化假設，因此在實際應用上存在著局限性。后續研究將著力于以下幾個方面：（1）研究股市演化模型和單自由度欠阻尼振動模型參數之間具體的函數關系式。（2）剖析無阻尼系統固有頻率增加過程中均衡時刻的位移呈現階段性的跳躍狀態的原因。（3）股市演化模型引入更多類型的投資者，并在單自由度線性系統基礎上增加自由度和激勵力的強迫振動，使得模型可以更符合實際市場的運行情況。