基于RBF近似模型的低速永磁電機齒槽轉矩優化

劉雪杰，周 瑾，金超武，汪達鵬

(南京航空航天大學，南京 210016)

0 引 言

在轉子旋轉過程中，齒槽的存在使得磁鋼與定子之間的作用力發生變化，從而產生齒槽轉矩。齒槽轉矩會在電機工作的過程中引起振動、噪聲，低速運行時更為明顯，因此需要通過優化設計來降低齒槽轉矩。

齒槽轉矩可以用解析法和有限元數值法進行計算。解析模型能夠實現快速求解，但永磁電機實際磁路復雜，解析模型往往不能反映磁場的真實情況，文獻[1-3]為提高解析模型的準確性做了研究。有限元分析方法也是常用的齒槽轉矩計算方法，文獻[4-6]利用電機電磁場有限元軟件分別通過優化氣隙磁密、選擇合適的槽極配合、使用導磁槽楔結構等來達到削弱齒槽轉矩的目的。齒槽轉矩的有限元計算結果準確度高，但通常需要消耗大量時間，多為電機單一結構參數在局部范圍內的擇優選擇，忽略變量間的耦合作用。

為保留有限元計算方法準確度高的優點，同時減少電磁場有限元數值計算的優化迭代次數，縮短優化時間。文獻[7-8]利用有限元分析軟件計算齒槽轉矩，分別基于支持向量機算法和響應面法建立了目標函數數學模型，在此基礎上使用優化算法尋優，找到了使齒槽轉矩最小的最佳組合。

齒槽轉矩與電機的各個設計變量關系是高度非線性的，因此如何選擇合理的近似模型、用盡量少的樣本點來構造齒槽轉矩函數，尚有待研究。此外，在齒槽轉矩優化過程中，結構尺寸的改變也會影響電機的其他性能，諸如漏磁系數等，多數文獻沒有考慮。

本文結合ANSYS Maxwell電磁場分析軟件和Isight優化平臺，采用最優超拉丁方的樣本空間，以漏磁系數為約束條件，最小齒槽轉矩為優化目標，基于徑向基神經網絡方法分別建立了齒槽轉矩、漏磁系數與設計變量之間的近似數學模型，并通過多島遺傳算法尋優。Isight命令流的使用，減輕了設計人員的工作負擔，進一步提高了優化效率。

1 齒槽轉矩表達式

由能量法可以推導齒槽轉矩，表達式如下[9]:

(1)

Gn代表相對氣隙磁導平方的傅里葉分解系數，其公式：

(2)

式中：hm為轉子磁鋼磁化方向長度；δ為有效氣隙長度；θs0為用弧度表示的槽口寬。

(3)

式中：Br為轉子磁鋼剩余磁場強度；αp為轉子磁鋼極弧系數。

2 電機有限元仿真模型

本文優化的環形低速永磁電機，選擇32極36槽的極槽配合，電機轉子采用中空結構，其中間表面貼有燒結釹鐵硼磁鋼，空載氣隙磁密為0.75 T。表1為電機的部分尺寸參數。

表1 電機主要結構參數

根據之前對齒槽轉矩的分析，將氣隙長度、極弧系數、槽口寬度作為設計變量，其變化范圍如表2所示。通過RMxprt模塊建立模型，并對設計變量的尺寸進行參數化，將參數化后的模型導入ANSYS Max-well 2D有限元計算模塊，完成齒槽轉矩的計算分析。

表2 設計變量范圍

為后續建立準確的近似模型，首先需要對有限元模型的氣隙網格進行適當加密，以提高齒槽轉矩的計算精度。本電機極槽配合為32極36槽，旋轉一周有288個齒槽轉矩周期，一個齒槽轉矩周期的機械角度僅為1.25°，分數槽結構使得齒槽轉矩頻率增加，幅值減小，同時也對有限元計算的網格劃分提出了更高的要求。圖1表示了隨氣隙網格加密，有限元軟件對齒槽轉矩的仿真情況。

(a) 4層氣隙時齒槽轉矩波形

(b) 16層氣隙時齒槽轉矩波形

(c) 64層氣隙時齒槽轉矩波形圖1 不同網格精度下齒槽轉矩的有限元仿真波形

從圖1中可以看出，通過逐步加密氣隙網格，最終仿真出正確的齒槽轉矩波形，確定的網格剖分精度如表3所示。

表3 網格剖分精度

在該網格精度下，網格剖分效果如圖2所示。

圖2 網格剖分效果圖

在齒槽轉矩優化過程中，磁鋼尺寸、氣隙長度、槽口寬度的改變對電機極間漏磁系數等其他性能參數也將造成影響。根據唐任遠教授提出的磁矢位理論[10]，如圖3所示，利用靜態電磁場求解器求出空載工況下A，B，C，D4點處磁矢位值。

圖3 磁矢位圖

漏磁系數可用如下公式計算：

(4)

為保證磁鋼的利用率和抗去磁能力，漏磁系數不宜過大，也不宜過小，因此將漏磁系數作為約束條件，限制在1.1～1.5之間。

3 Isight與Maxwell的集成優化流程

由齒槽轉矩的有限元仿真結果可知，分數槽電機，尤其是在多極情況下，齒槽轉矩的有限元仿真計算對網格剖分要求很高，計算時間較長，直接優化需要很高的時間成本。為提高優化效率，本文借助Isight平臺，使用基于徑向神經網絡模型與多島遺傳算法結合的優化方法。

Isight作為“軟件機器人”，目前已集成常用CAD/CAE軟件，如UG、MATLAB、Abaqus等。對于上述軟件，用戶可以直接調用，而未在Isight內部集成的軟件，如ANSYS Maxwell，用戶需要通過Simcode完成軟件仿真的驅動。

本文使用ANSYS Maxwell腳本錄制功能，生成VBS腳本，Isight中的Simcode通過在該腳本的基礎上生成bat文件(批處理文件)，驅動ANSYS Maxwell仿真，以完成建立近似模型所需樣本點的采集。總優化流程如圖4所示。

圖4 優化流程圖

為實現上述功能，在Isight中搭建如圖5所示的優化工程。

圖5 Isight優化流程圖

4 徑向基神經網絡模型的建立

徑向基(以下簡稱RBF)神經網絡能夠逼近任意非線性函數，有很多優點：無須數學假設，具有黑箱特點；學習速度快，適應性強；具有較強的容錯率，即便樣本中有“噪聲”侵入，模型的準確性也不會受影響。其原理如圖6所示，第一層為輸入層，由信號源節點組成；第二層為隱藏層，隱藏層是對高斯函數的參數進行調整，采用的是非線性優化策略；第三層為輸出層，對線性權進行調整[11]。

圖6 RBF神經網絡原理

Isight里提供了RBF神經網絡近似模型的建立方法，可通過命令流，驅動ANSYS Maxwell完成樣本數據的采集，而樣本點的采集直接關系到近似模型的質量以及優化結果的準確性。由于齒槽轉矩與輸入變量的函數關系復雜，本文選用Isight中的DOE實驗采樣最優拉丁超立方設計生成采樣矩陣，采樣點分布如圖7所示。該方法具有有效的空間填充能力，可擬合二階或更非線性的關系，對水平值分級寬松，改善了拉丁超立方設計的平均性，因子和響應的擬合更加準確有效。

圖7 最優拉丁超立方采樣空間示意

近似模型初始化后，需通過R2分析來考核近似模型誤差，驗證模型預測的效果。如果模型精度不夠，則需通過增加樣本數據來更新模型，提高預測精度。

(5)

R2越趨近1，采用RBF神經網絡方法建立的模型越可信。當采樣點為47時，齒槽轉矩近似模型的R2值達0.977，漏磁系數的R2值達0.99，模型可信度較高，可以使用該近似模型替代原有限元仿真模型。此時，各誤差分析點近似模型預測值與有限元仿真計算值如表4所示。

表4 近似模型誤差分析

利用Isight查看后處理結果，進一步可得漏磁系數、齒槽轉矩的近似模型隨各設計變量的變化趨勢，分別如圖8、圖9所示。

(a) 漏磁系數與氣隙長度、槽口寬度的關系

(b) 漏磁系數與氣隙長度、極弧系數的關系

(c) 漏磁系數與槽口寬度、極弧系數的關系圖8 漏磁系數隨設計變量的變化趨勢

從漏磁系數近似模型的后處理結果可以看出，漏磁系數受極弧系數和槽口寬度的影響較小，受氣隙長度的影響最大。隨著氣隙長度的增加，漏磁系數有明顯增大的趨勢。

(a) 齒槽轉矩與氣隙長度、極弧系數的關系

(b) 齒槽轉矩與氣隙長度、槽口寬度的關系

(c) 齒槽轉矩與極弧系數、槽口寬度的關系圖9 齒槽轉矩隨設計變量的變化趨勢

從齒槽轉矩近似模型的后處理結果中可以看出，齒槽轉矩與各變量之間關系復雜，不同的本體結構參數對齒槽轉矩的影響是交互耦合的，且存在多個最小值。對于本臺優化電機，當氣隙接近1.75mm，極弧系數接近0.7時，齒槽轉矩值較低。

5 基于多島遺傳算法的優化設計

多島遺傳算法(MIGA)在遺傳算法的基礎上增加了多個島嶼，并假設個體可以在島嶼之間遷移。所有具有遷移能力的個體都是精英。這些個體具有優良的基因，能夠幫助算法跳出局部最優解，獲得全局最優解[12]。

Isight中設置子群規模數為10，島數為10，進化代數為10，算法參數配置完成后，運行優化模塊，迭代1 000次。圖10反映了優化模塊運行過程中的齒槽轉矩變化趨勢(圖中黑色的點為滿足約束條件的解，灰色的點為不滿足約束條件的解)。

圖10 MIGA算法下齒槽轉矩隨迭代遞增變化趨勢

該種算法優化結果：氣隙長度1.67mm，槽口寬度3.28mm，極弧系數0.72，最終優化齒槽轉矩結果為0.109 7mN·m。同樣，將優化后的結構參數代入ANSYSMaxwell中，重新使用有限元進行計算，齒槽轉矩幅值為0.108 0mN·m，與預測值的相對誤差為1.6%，相比初始齒槽轉矩降低了59%，波形如圖11所示。

圖11 齒槽轉矩優化前后波形對比

6 結 語

本文以齒槽轉矩峰值最低為優化目標，以漏磁系數為約束條件，選取槽口寬度、極弧系數、氣隙長度為設計變量，利用Isight優化平臺，采用最優超拉丁方的樣本空間，基于RBF模型的方法分別擬合設計參數與齒槽轉矩、漏磁系數之間的數學模型；采用MIGA尋優，有限元仿真結果與RBF近似模型預測值間的相對誤差為1.6%，優化后的齒槽轉矩比初值降低59%，說明建立的近似模型準確度高和該優化設計方法的有效性。此外，Isight命令流的使用，自動驅動有限元軟件完成優化過程，減輕設計人員的工作負擔，提高優化效率。