中學數學常見的幾種數學思想及其應用

葉文婷 趙繼源 林卉

[摘 要]數學思想是數學本質的體現，是數學活的靈魂.文章主要探討中學數學常見的幾種數學思想，如數形結合思想、函數思想、方程思想、分類討論思想，每種思想都結合題目一一進行分析.

[關鍵詞]數學思想 ;數形結合思想;函數思想;方程思想;分類討論思想

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2020）29-0011-03

數學思想是數學學科的精髓，也是數學本質的體現和揭示，更是數學學科育人的核心內容.數學思想可以幫助學生理解數學知識，解決數學問題，提升學生的數學學習能力.中學數學常見的幾種數學思想有數形結合思想、方程思想、函數思想、分類討論思想.本文主要探討這幾種常見的數學思想及其應用.

一、數形結合思想

許多數量關系方面的抽象概念和解析式，一旦賦予幾何的意義，往往就會變得非常的直觀形象，并且使得一些關系明朗化、簡單化;而一些圖形的性質，又可以賦予數量意義，尋找恰當表達問題的關系式，即可以使幾何的問題代數化，以數助形，用代數的方法使得問題得到解決.數形結合思想的實質就是將抽象的數學語言與直觀圖形結合起來.

數形結合主要可分為兩大塊：以形助數和以數解形.

1.以形助數

以形助數是將代數轉化為直觀形象的圖形，借助圖形的性質來解決代數問題.根據圖形的不同還可以分為借助數軸解決代數問題、借助函數圖像解決代數問題、借助幾何圖形解決代數問題、借助坐標系解決代數問題.

2.以數解形

以數解形是借助數的精確性來闡明圖形的某些屬性.認真分析圖形的幾何特征，確定幾何圖形轉化數字的步驟，將圖形信息轉化成數字信息，建立數與形的轉化關系.分析初中數學的常考內容，發現可把“以數解形”分為借助方程解決幾何問題、借助不等式解決幾何問題、借助函數解決幾何問題.

二、函數思想

函數思想，是運用函數的概念及其性質研究、解決數學問題的一種思維方式.即利用題目中所給的已知量和未知量之間的關聯性，列出相應的函數關系式，然后運用函數的性質進行分析，最終解決問題.根據函數的概念和性質，對函數思想做了簡單的分類，有確定函數解析式、函數的應用、利用函數的性質求最值、幾何中最值問題的求法.

[例4]2010年1月1日，全球第三自貿區——中國—東盟自由貿易區正式成立，標志著該貿易區開始步入“零關稅”時代，廣西某民營邊貿公司要把240噸白砂糖運往東盟某國A、B兩地，現用大、小兩種貨車共20輛，恰好能一次性裝完這批白砂糖，已知這兩種貨車的載重量分別為15噸/輛和10噸/輛，運往A地的運費為：大車630元/輛，小車420元/輛;運往B地的運費為：大車750元/輛，小車550元/輛.

（1）求這兩種貨車各用多少輛.

（2）如果安排10輛貨車前往A地，其余貨車前往B地，且運往A地的白砂糖不少于115噸，請你設計出使總運費最少的貨車調配方案，并求出最少的總運費.

分析：運用函數思想來解決最值問題.解決第一問的關鍵就是要找出題目中的已知量和未知量之間的關聯性，列出函數的表達式.分析題目可知，大、小貨車共20輛和運輸240噸白砂糖，可列出表達式求解;第二問可在第一問的基礎上，設出最少運費為W，再設出調往A地的大車為[a]輛，小車為[10-a]輛，進而求出調往B地的大、小車數量，再根據題目所給的條件列出關于W的表達式，可得W為一次函數，根據函數的性質求出最值.

故應該安排3輛大車和7輛小車前往A地，安排5輛大車和5輛小車前往B地，最少的運費為11330元.

三、方程思想

方程思想是指用方程的方法解決數學問題的思想.即通過分析數學問題中已知量和未知量之間的關系，列出等量關系式，繼而設元，從而建構方程（組），最終通過求解方程（組）來解決問題.

【例5】《九章算術》作為古代中國乃至東方的第一部自成體系的數學專著，與古希臘的《幾何原本》并稱現代數學的兩大源泉，在《九章算術》中記載有一問題“今有圓材埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”小輝同學根據原文題意，畫出圓材截面圖如圖4所示，已知：鋸口深為1寸，鋸道[AB=1]尺（1尺=10寸），則該圓材的直徑為______ 寸.

分析：本題考查的內容有垂徑定理、勾股定理等，解題的關鍵在于添加輔助線和學會利用參數構建方程.連接直徑和半徑構造出直角三角形，再根據直角三角形的三邊關系列出方程，再求解方程即可.

四、分類討論思想

分類討論，就是當問題所給的對象不能進行統一研究時，就需要對研究對象按某個標準進行分類，然后對每一類分別研究得出每一類的結論，最后綜合各類結果得到整個問題的解答.分類討論可將復雜的問題分解為若干個簡單問題，還從一定程度上避免了漏解.從整體上看可以分為兩大類，數的分類討論和形的分類討論，其中形的分類討論中還可以細分為邊的關系分類討論、邊的比值分類討論、角的關系分類討論等.

分析：本題考查的是根據新定義進行數的分類，總體上可以分為兩大類進行討論：①當[x>-x]時解答方程，得到[x]的解，再代入方程檢驗是否滿足;②當[x<-x]時，又得到一個方程，再進行解答，然后檢驗解是否為方程的解，最后再綜上所述得到方程的解.解決問題的關鍵是對括號內的兩個數進行分類討論.

五、小結

數學思想是對數學事實與理論經過概括后產生的本質認識，它是數學的靈魂.數學思想在一定程度上指導數學解題.對于初中數學幾種常見的思想，教師在日常的教學中必須要有意識地去滲透，潛移默化地將數學思想引入課堂.要做到解題和實例教學相融合，在課堂中用活數學思想，并逐步滲透數學思想，讓學生能夠感知數學思想的形成，在解決問題時能夠運用數學思想;還應該結合學生的認知規律，思考哪個章節的知識點可以對學生進行滲透，怎么樣設計教學活動可以讓學生更好地理解.例如，前面提到的數形結合思想，教師應時刻提醒學生在遇到既有“數”又有“形”時，學會考慮它們之間是否存在一定的關系;教師還應讓學生歸納總結出相對應的數學思想，并用于實踐.如上述的分類討論思想，在解決涉及自變量問題的題目時，一般都要對自變量的取值范圍進行討論.除此之外，教師還應做到因材施教、個性培養.每個學生的特點不同，有的對圖形比較敏感，有的對數字比較敏感，教師應引導學生在自己擅長的領域深入探索，當然對其他的領域也要加強學習.總而言之，數學思想的學習，不是一朝一夕的事情，它需要教師深入挖掘，站在學生的角度思考問題，去生成教學資源，更需要學生積極地參與教學活動，并能總結不同數學思想的特點.只有師生這樣配合，才能夠真正地提高教學質量.

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

[1]? 張雄，李得虎.數學方法論與解題研究[M].2版.北京：高等教育出版社，2013.

[2]? 朱兆軒.函數思想在高中數學解題應用中的再思考和實踐[J].數學學習與研究，2018（22）：124.

[3]? 黎凱.基于方程思想的小學五年級學生數學問題解決能力培養研究[D].安慶：安慶師范大學，2019.

[4]? 方志平.分類討論思想[J].數學教學通訊，2015（Z1）：97-101.

[5]? 郭唯一.初中數學教學中如何滲透數學思想方法[J].中國校外教育，2018（29）：110-111.

[6]? 黃永高.淺談初中數學教學如何滲透數學思想方法[J].數學學習與研究，2018（21）：155.

（責任編輯 陳 昕）