初中數學分類討論思想在解題中的應用

江蘇省徐州沛縣楊屯中學 張洪雷

分類討論思想是對研究對象的數學本質進行分析和討論，根據特征將其歸類的一種重要的數學思想，在一些題目中合理地運用數學分類討論思想可以把復雜的問題簡單化，使學生開始接觸并思考數學的內在規律，培養學生做題的條理性和周密性，有利于培養學生探索規律的能力，提高學生的做題正確率，這樣不僅可以在考試中拿到更多的分數，還可以對學生的思維進行一定的訓練，提高數學素養。因此，培養學生的分類討論思想在初中教學中是十分必要的。

一、學習分類討論思想的原因

在初中學習過程中，學生會遇到許多需要運用分類討論思想才能方便解答的問題，所以學習在不同的情況下都可以正確運用分類討論思想是必要的。

1.蘊含分類討論思想的數學定義或定理

當學生學習有理數、實數、三角形邊長問題、不等式的概念時，教師在課堂上常常采用帶領學生對相關概念進行分類討論的方式進行教學，因為這些概念常常受到范圍或條件的制約，不同的制約條件得出的答案也不同，因此在解題的時候就會運用分類討論思想。

2.蘊含分類討論思想的運算

在對除法、含絕對值的運算、開偶次方等問題進行解答時，應考慮到在滿足條件的情況下題目會有不同的解，這個時候就要運用分類討論思想對題目進行正確解答。

3.蘊含分類討論思想的具體問題

初中教材里，圓、三角形、不等式和函數所占比例較大，學生若想取得高分，那么一定要掌握這幾個重要板塊，在不同的情況下對不同的研究對象進行討論，就非常考驗學生的綜合素養。

二、分類討論思想在解決不同問題時的應用

1.在解有關圓的問題中的應用

在學習“直線與圓的位置關系”時，直線與圓的位置關系可以根據圓的半徑大小與圓心到直線的距離來判斷：若圓心到直線的距離等于圓的半徑，則直線與圓相切；若圓心到直線的距離大于圓的半徑，則直線與圓相離；反之則相交。在以此概念為背景的相關習題中，分類討論的思想會常常被應用。

例1：在同一平面內,半徑分別為10 和6 的兩圓相切，求圓心距。

對此題,解題者便可采用分類討論思想,考慮到兩圓相切分為外切與內切兩種情況,若兩圓為外切,則兩圓的圓心距為10;若兩圓為內切,則圓心距為2。這樣便能夠避免解題時由于思路單一而解答出錯。

解題思路：已知兩圓相切，求其圓心距，首先要在腦海中設想兩圓的位置，不能先入為主地認為兩圓只有外切，要在平時做題中積累經驗，看到題目就要知道題目中的圓有外切和內切兩種情況。若兩圓是外切，則圓心距為16；若兩圓是內切，則圓心距為4。

解題過程：

①當兩圓外切時，6+10=16，圓心距為16。

②當兩圓內切時，10-6=4，圓心距為4。

2.在解有關三角形的問題中的應用

在學習與三角形有關的知識時，常常會遇到已知兩邊長求第三邊，或是已知研究對象是直角等腰三角形與三角形其中一邊長時，求三角形面積。此類問題主要是考查學生對三角形相關知識的掌握程度和理解程度，在題設條件沒有明確指出所給邊長是底還是腰時，學生就要采用分類討論思想來討論問題。

例2：在平面內有一等腰直角三角形，已知一邊長為10，求此三角形面積。

解題思路：題設條件未說明所給邊長是底邊長還是腰長，所以就應分兩種情況對題目求解，一是三角形腰長為10；二是三角形底邊長為10。

解題過程：

②當三角形底邊長為10 時，

3.在解有關不等式的問題中的應用

在解不等式問題時，為了確保研究對象不遺漏、不重復，在解題過程中保持清醒的頭腦，有序地進行，因此常常使用分類討論的方法對題目進行詳細討論。

例3：解關于x 的不等式ax2-2 ≥2x-ax（a ∈R）。

解題思路：看到平方應注意，此題應詳細地對a 分類：a=0，a＞0，-2 ＜a ＜0，a=-2，a ＜-2。分別解不等式，求解集再取交集即可。

解題過程：

原不等式變形為ax2+（a-2）x-2 ≥0。

①a=0 時，x ≤-1。

②a ≠0 時，不等式即為（ax-2）（x+1）≥0，

當a=-2 時，x=-1；

綜上，當a=0 時，x ≤-1；

當a=-2 時，x=-1；

4.在解有關函數問題中的應用

解方程是初中學生的必備技能之一，并且在以后的學習中，解方程發揮著巨大的作用。當所給函數有絕對值時，就應該對題目進行分類討論。

例4：求方程|5-x|+|x+4|=7 中x 的取值范圍。

解題思路：在解此類題過程中，應該把絕對值中的研究對象進行討論，將其劃分為大于零、小于零和等于零的情況。將其分類為x＜-4，-4 ≤x ≤5，x ＞5，再解不等式。

解題過程：

①當x ＜-4 時，方程為：5-x-（x+4）=9，得x=-4，與x ＜-4矛盾；

②當-4 ≤x ≤5 時，方程為：5-x+x+4=9，成立。

③當x ＞5 時，方程為：-（5-x）+x+4=9，得x=5，與x ＞5 矛盾。

故x 的取值范圍為-4 ≤x ≤5。

綜上所述，在新課改和義務教育的背景下，教師應越來越注重培養學生的綜合素養與數學思維，因此不能單純地讓學生刷題，應授人以漁，把正確的解題思想交給學生。分類討論思想作為一個基礎卻重要的數學思想，在初中數學教學里起著重要的作用，學生對數學的全新認識可以由學習分類討論思想開始，有利于學生提升自身的思維能力，為以后的數學學習奠定基礎。