“整體·系統(tǒng)”視角下章起始課的教學與思考

王麗玉

摘 ? 要：章起始課教學，作為全章新內(nèi)容的學習開啟，需要很強的啟發(fā)性和概括性.從整體系統(tǒng)的視角，以北師大版教材“平行四邊形”一章的教學設(shè)計為例，進行章起始課教學的思考探索，注重闡明順應(yīng)數(shù)學研究對象各要素間的內(nèi)在聯(lián)系和學生的數(shù)學思維趨勢的必要性，借鑒三角形復習的整體教學考慮，設(shè)計四邊形的教學思路;通過掌握基本認知規(guī)律、吃透教材內(nèi)容要求、充分診斷學習情況，找準突破點重難點，引導學生用整體系統(tǒng)思維把握學習內(nèi)容.

關(guān)鍵詞：章起始課;整體;系統(tǒng);研究思路

引言

章起始課教學，并不是傳統(tǒng)教科書某一章第一課時內(nèi)容的簡單羅列和知識介紹，而是對這一章新內(nèi)容的學習開啟，需要很強的啟發(fā)性和概括性，應(yīng)立足教學整體系統(tǒng)的高度，從本章數(shù)學知識體系結(jié)構(gòu)出發(fā)，順應(yīng)數(shù)學研究對象各要素間的內(nèi)在聯(lián)系和學生的數(shù)學思維趨勢，展開起始課的教學構(gòu)思和問題研究.這就要求教師從闡述數(shù)學概念的演變過程出發(fā)，讓學生體會數(shù)學概念.

那么，什么樣的教學理念或教學創(chuàng)新，才能讓學生系統(tǒng)全面的掌握新知識，實現(xiàn)“四基”“四能”的目標呢[ 1 ]？本文以北師大版教材“平行四邊形”一章的教學設(shè)計為例，在學生學習了圖形變換的基礎(chǔ)上，試圖從系統(tǒng)整體的視角，開展章起始課教學的思考探索.

1 ?從復習三角形中總結(jié)分析幾何圖形的主要方法

1.1 ?三角形復習的整體教學考慮

先引導學生系統(tǒng)整理三角形的相關(guān)知識結(jié)構(gòu)，如三角形的基本性質(zhì)，以及相關(guān)要素的數(shù)量和位置關(guān)系，總結(jié)出研究三角形的基本路徑，并概括出圖形研究的基本思路、思想與方法，并應(yīng)用到其他幾何圖形（如四邊形）的研究.

（1）研究思路：從概念（定義、表示、分類）出發(fā)，研究性質(zhì)和關(guān)系，羅列相關(guān)特例.具體來說：定義是研究圖形性質(zhì)的邏輯起點，對于特殊三角形，從定義出發(fā)研究性質(zhì)和判定;通過性質(zhì)的逆命題，猜想論證判定.

（2）研究內(nèi)容：研究三角形的要素（邊、角）、相關(guān)要素（外角、中線、內(nèi)角平分線、高線）之間的定性關(guān)系，研究特殊三角形，則要研究等腰三角形、直角三角形的性質(zhì)和判定.

（3）研究方法：觀察感知、實驗確認等方法了解三角形的性質(zhì)，用演繹推理進一步證明結(jié)論[ 1 ].通過三角形的系統(tǒng)學習有助于學生掌握研究一個數(shù)學對象的基本思路，總結(jié)出幾何圖形研究的一般規(guī)律.

1.2 ?用幾何圖形研究的活動經(jīng)驗研究四邊形

1.2.1 ?四邊形的整體教學考慮

借鑒三角形研究的一般思路和方法，設(shè)計平行四邊形的研究活動方案以及特例，具體的考慮是：首先，用1課時闡述平行四邊形的性質(zhì)和判定研究，注重體現(xiàn)平行四邊形研究的整體性;其次，用3課時進行平行四邊形例題教學以及開展鞏固練習;再次，用1課時闡述如何用平行四邊形開展三角形中位線性質(zhì)研究.至于矩形、菱形和正方形等特殊四邊形的教學，采取學生自主學習方式進行，教師不再系統(tǒng)講解.開展特殊四邊形的教學可以在單元整體設(shè)計思想的指導下，設(shè)計探究性學習課題.所有特殊平行四邊形研究完后，安排兩節(jié)習題課，一節(jié)是知識運用，一節(jié)是用圖形研究的一般思路和方法研究新圖形（兩組鄰邊分別相等的四邊形）.在完成平行四邊形全章內(nèi)容教學后，重點利用1課時進行系統(tǒng)溫習，采用思維導圖的方法讓學生全面回顧知識，總結(jié)圖形研究的一般思路和方法，并加以強化.

1.2.2 ?平行四邊形的教學設(shè)計

提問1：上小學時，曾觸過平行四邊形，你還能回憶起關(guān)于平行四邊形的一些知識嗎？

設(shè)計想法：幫助學生回顧小學學習平行四邊形的有關(guān)知識，認清邏輯推理的必要性，為更深入學習研究平行四邊形打下良好基礎(chǔ).

提問2：與小學學習相比，你可以用什么方法了解平行四邊形的性質(zhì)？

設(shè)計想法：學生通過“度量或者拼剪”等方法進行了解，教師適時指出，由于小學認知有限，只能通過實驗法直觀感知.步入初中以后，其數(shù)學認知水平和思維方式都有了相應(yīng)提高，就要求我們的研究方法也應(yīng)加以改進.也即從學生已有基本認知活動經(jīng)驗出發(fā)，構(gòu)建平行四邊形的邏輯體系.

提問3：請類比三角形的研究思路，寫出平行四邊形的定義.

設(shè)計想法：讓學生體會平行四邊形定義的由來，用幾何語言表示.

提問4：你發(fā)現(xiàn)平行四邊形的哪些性質(zhì)，是怎樣發(fā)現(xiàn)的？

設(shè)計想法：組織學生交流發(fā)現(xiàn)平行四邊形性質(zhì)的過程，從邊、角、對角線對稱性進行猜想，把性質(zhì)猜想系統(tǒng)化，再次體會幾何圖形性質(zhì)的含義.

提問5：你能證明所發(fā)現(xiàn)的平行四邊形性質(zhì)嗎？

設(shè)計想法：引導學生從邊、角、對角線及對稱性的角度研究，體會平行四邊是中心對稱圖形，等腰三角形是軸對稱圖形.

提問6：根據(jù)判定與性質(zhì)的關(guān)系，我們借助性質(zhì)的逆命題猜想平行四邊形的判定有哪些？能證明你的判定猜想嗎？

設(shè)計想法：引導學生對證明思路和過程進行討論交流，體會判定與性質(zhì)證明思路的相似性（都是通過添加輔助線構(gòu)建三角形的證明思路），區(qū)別在于條件結(jié)論的位置互換，進一步提高演繹推理能力.

課外作業(yè)：請從研究思路、研究內(nèi)容、研究方法和研究結(jié)果四個方面回顧平行四邊形的研究.

通過以上教學設(shè)計，讓學生明白研究某個對象應(yīng)該是隨著數(shù)學的發(fā)展、研究的深入進行的.筆者認為四邊形的研究過程與三角形的研究過程應(yīng)當是一脈相承，體現(xiàn)了系統(tǒng)性和完整性，首先研究一般四邊形，然后通過對四邊形邊的位置的特殊化，得到研究對象平行四邊形.在研究完平行四邊形之后，用整體系統(tǒng)的思維思考，怎樣對平行四邊形的邊的數(shù)量關(guān)系或者角的數(shù)量關(guān)系進行特殊化，得到新的研究對象——矩形或菱形，再進行特殊化，得到正方形.這樣“定義——性質(zhì)——判定”或“定義——要素——相關(guān)要素”的研究路徑，整體上遵循了一般到特殊的研究邏輯.作為章起始課，引導學生設(shè)計研究思路，站在數(shù)學的整體系統(tǒng)的高度，發(fā)展學生的整體性、系統(tǒng)性思維.

2 ?引導學生用整體、系統(tǒng)思維把握整章知識內(nèi)容

2.1 ?掌握初中學習基本認知規(guī)律，抓住系統(tǒng)研究新起點

一般來說，初中學生在現(xiàn)有知識經(jīng)驗的基礎(chǔ)上進行自主學習，通常需要經(jīng)歷“積累經(jīng)驗”和“遷移應(yīng)用”兩個過程，為此，教師應(yīng)該注重從這一方面進行引導，啟發(fā)學生思考.

眾所周知，數(shù)學的現(xiàn)實是在數(shù)學知識發(fā)展過程中自然產(chǎn)生的，隨著人們認知水平的提高，知識點內(nèi)容不斷抽象化，學生系統(tǒng)性、整體性思維隨之形成.因此，我們要善于從生活中關(guān)注“數(shù)學的現(xiàn)實”[ 2 ]，注重從知識發(fā)展的邏輯必然中研究教學.平行四邊形章起始課教學同樣如此，可以通過展示某些生活情境而抽象出圖形，學生在小學學習階段就接觸過平行四邊形，有豐富的感性認識，那么本課的起點應(yīng)該立足于“數(shù)學的現(xiàn)實”.通過“提問1”“提問2”，讓學生回憶有關(guān)平行四邊形的相關(guān)知識，并通過三角形的研究“基本套路”，感受用推理方法研究平行四邊形的必要性.

2.2 ?理解吃透教材內(nèi)容要求，把握章起始課教學重點

從教學要求看，本節(jié)課的重點是對平行四邊形有關(guān)概念進行抽象（幾何直觀、數(shù)學抽象），以及理清各組成要素（邊、角）之間的大小關(guān)系.幾何直觀就是充分利用學生對圖形的直觀，引導學生掌握“文字語言、圖形語言”的轉(zhuǎn)化;數(shù)學抽象是指抽取出同類數(shù)學對象的共同的、本質(zhì)的屬性或特征，舍棄其他非本質(zhì)的屬性或特征的思維過程[ 3 ]，如平行四邊形來就是要讓學生掌握分析各要素之間的關(guān)系、了解基本屬性、推廣到一般并用符號語言表示等數(shù)學抽象活動.

重點闡述“平行四邊形概念”的幾個抽象：（1）定義，即給出研究平行四邊形本質(zhì)特征的邏輯起點;（2）表示，即用符號表示平行四邊形及其組成要素;（3）分類，即以要素的特征與關(guān)系為標準對四邊形進行分類.這是一個完整的研究數(shù)學對象的過程，這一教學過程符合數(shù)學抽象的“分離屬性——建構(gòu)模型——概括與一般化——定義與符號化——系統(tǒng)化”的認知規(guī)律[ 4 ]，通過抽象化教學，使學生提高使用圖形語言、符號語言的準確性、概括性.

2.3 ?基于整體系統(tǒng)視角充分診斷學情，切實找準突破點重難點

本節(jié)課的難點是平行四邊形的定性關(guān)系——兩組對邊分別平行.原因是學生不知道由兩組對邊分別平行能推出什么性質(zhì)，基于小學的知識局限，兩組對角分別相等應(yīng)該用邏輯推理來驗證，這就涉及到如何添加輔助線將邊平行轉(zhuǎn)為邊相等的定量關(guān)系.本節(jié)課是研究從邊、角、特殊線段三個方面入手，得到有關(guān)的性質(zhì)定理，判定定理的研究總是從性質(zhì)定理的逆命題入手進行幾何推理，證明正確性，從而得到判定定理.本節(jié)課的難點之二是平行四邊形的對稱性的探索，先通過幾何直觀再進行推理論證.

3 ?結(jié)語

本節(jié)課的整體設(shè)計教學，將知識橫縱向聯(lián)系全部厘清，知識點變成了知識網(wǎng)，構(gòu)建了邏輯連貫的學習過程。筆者認為，章起始課在整體教學觀下的學習會變得更容易、更自然、更深刻，學生的整體認識與數(shù)學素養(yǎng)也會逐步提升.

參考文獻：

[1]丁福珍.讓學生學會有邏輯地思考——以“三角形的邊”為例[J].中學數(shù)學教學參考，2019（11）：71.

[2]吳增生.平行四邊形[J].中學數(shù)學教學參考，2016（8）：60.

[3]章建躍.研究三角形的數(shù)學思維方式[J].數(shù)學通報，2019（4）.