評(píng)價(jià)初中數(shù)學(xué)解題中反證法的應(yīng)用

樊小文

（江西省南昌縣東新中學(xué) 江西南昌 330215）

引言

反證法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用比較廣泛，對(duì)學(xué)生逆向思維與解決問(wèn)題能力提升具有重要意義。在數(shù)學(xué)解題中加強(qiáng)對(duì)該方法的分析，借此提高學(xué)生解題效率，推動(dòng)數(shù)學(xué)教育發(fā)。

一、反證法在數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用優(yōu)勢(shì)

（一）培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維

反證法解題思維與常規(guī)解題思維恰恰相反。在數(shù)學(xué)解題中用反證法進(jìn)行解題，可以啟發(fā)學(xué)生的思維，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)新的解題思路。數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的過(guò)程中，學(xué)生習(xí)慣常規(guī)方法進(jìn)行分析解題，通過(guò)公式、定理的推理與計(jì)算，得到問(wèn)題答案。但是有一部分的數(shù)學(xué)問(wèn)題是無(wú)法通過(guò)常規(guī)方法確定問(wèn)題答案的，反證法的應(yīng)用恰好可以解決這部分問(wèn)題，將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，提高解決問(wèn)題效率。初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，可加強(qiáng)該方法的應(yīng)用，讓學(xué)生在實(shí)踐的過(guò)程中意識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)的靈活性，以此提高解決問(wèn)題能力，促使學(xué)生數(shù)學(xué)思維形成。

（二）推動(dòng)數(shù)學(xué)教育發(fā)展

數(shù)學(xué)學(xué)科本就是一門邏輯性、思維性較強(qiáng)的課程，若是一味的采用慣性思維解決問(wèn)題，那么也就失去了數(shù)學(xué)教學(xué)的目的，不利于學(xué)生思維能力與數(shù)學(xué)品質(zhì)培養(yǎng)。隨著課程改革發(fā)展，數(shù)學(xué)教育中對(duì)學(xué)生提出了新的要求，學(xué)生不僅要掌握基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)也要學(xué)會(huì)在不同角度分析問(wèn)題，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思維拓展[1]。反證法在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中應(yīng)用，符合新課程教學(xué)改革要求，能夠讓學(xué)生掌握多種問(wèn)題解決方法，這對(duì)于數(shù)學(xué)教育發(fā)展具有非常非常大的影響，也是提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力的有效手段。

（三）優(yōu)化教學(xué)方法

反證法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中有非常重要作用，與常規(guī)數(shù)學(xué)解題方法有很大的不同。該方法的應(yīng)用可以將數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化，能夠保證學(xué)生問(wèn)題分析的準(zhǔn)確率，拓展學(xué)生數(shù)學(xué)思維。在課堂教學(xué)中，利用該方法豐富教學(xué)方式，提高解題教學(xué)質(zhì)量，使學(xué)生在反證法的學(xué)習(xí)中愛(ài)上數(shù)學(xué)，形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)。

二、反證法解題模式

數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用反證法解決問(wèn)題時(shí)，可以圍繞三個(gè)步驟進(jìn)行：第一，反設(shè)。反設(shè)是反證法解決問(wèn)題的基礎(chǔ)，對(duì)解題結(jié)果、過(guò)程影響重大。在解題的過(guò)程中，首先要明確題目中的條件與結(jié)論，然后找到與結(jié)論相反的假設(shè)條件，通過(guò)對(duì)題目結(jié)論的否定或者肯定，實(shí)現(xiàn)反設(shè)。第二，歸謬，這一步驟是反證法解題的重點(diǎn)[2]。所謂的歸謬，就是利用反設(shè)。發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中的矛盾，然后找出反設(shè)后存在的矛盾進(jìn)行并進(jìn)行推理，為最后結(jié)果推理做好鋪墊。第三，結(jié)論。結(jié)論就是反證法的最后一個(gè)步驟，是確定問(wèn)題答案的總結(jié)。在結(jié)論的過(guò)程中，應(yīng)該對(duì)歸謬紅得出的矛盾進(jìn)行推理，結(jié)合問(wèn)題要求進(jìn)行否定，以此確定原命題的結(jié)論是正確的，然后得到最終的答案，完成反證。

三、反證法在初中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用

（一）確定否定結(jié)論，掌握推理方法

在數(shù)學(xué)問(wèn)題教學(xué)中，若想提高學(xué)生反證法解決問(wèn)題能力，需要讓學(xué)生掌握正確否定結(jié)論，并利用此學(xué)會(huì)反推理方法。若是在解題過(guò)程中，學(xué)生無(wú)法確定正確的否定結(jié)論，那么將會(huì)影響整個(gè)推理過(guò)程，無(wú)法掌握學(xué)習(xí)方法。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以將正確否定結(jié)論確定方式滲透給學(xué)生，讓學(xué)生了解在正確的結(jié)論基礎(chǔ)上進(jìn)行反證，獲得正確的答案，以此提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。這樣一來(lái)，不僅可以拓展學(xué)生思維意識(shí)，同時(shí)可以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)發(fā)展有很重要意義。

如，在一個(gè)三角形的內(nèi)角中，最多有一個(gè)直角。分析這一命題時(shí)，可以利用否地結(jié)論的方式可以將這一命題表達(dá)為：“一個(gè)三角形的內(nèi)角中都是直角”、“一個(gè)三角形的內(nèi)角中有兩個(gè)直角”。然后利用三角形內(nèi)角和的基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行反證，確定這一命題的準(zhǔn)確性。

（二）掌握推理特點(diǎn)，提高解決問(wèn)題效率

反證法解決問(wèn)題的重點(diǎn)是否定題目的結(jié)論，并通過(guò)推理找出與結(jié)論相反的觀點(diǎn)，然后進(jìn)行證明。在數(shù)學(xué)解題中，應(yīng)用這一方法進(jìn)行教學(xué)時(shí)，教師可以將推理的特點(diǎn)告知學(xué)生，讓學(xué)生掌握如何否定結(jié)論[3]。如何利用否定結(jié)論證明問(wèn)題的真?zhèn)危瑥亩_定答案。通過(guò)對(duì)反證法推理特點(diǎn)的分析，可以使學(xué)生真正掌握這一方法，并在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用。

如，求證：圓的兩條非直徑的弦，不能互相平分。當(dāng)教師設(shè)計(jì)問(wèn)題后，則讓學(xué)生進(jìn)行解題，利用反證法推動(dòng)其中的矛盾，并利用數(shù)學(xué)知識(shí)驗(yàn)證這一命題。學(xué)生通過(guò)討論后得到以下解題過(guò)程：假設(shè)非直徑兩條弦互相平分，那么這兩條弦一定過(guò)圓心。因?yàn)檫^(guò)圓心的弦一定是直徑，與假設(shè)結(jié)論矛盾，所以假設(shè)不正確。

（三）了解矛盾種類，提高解題能力

學(xué)生若想在數(shù)學(xué)問(wèn)題中能夠靈活應(yīng)用反證法解決問(wèn)題，需要了解矛盾出現(xiàn)原因與矛盾的種類，并根據(jù)問(wèn)題要求、條件找出解決問(wèn)題的方法。這樣一來(lái)，可以達(dá)到事半功倍的效果。問(wèn)題矛盾的種類有很多種，有可能是可題設(shè)之間的矛盾，也有可能是問(wèn)題條件與真命題之間的矛盾，同時(shí)也可能是已知條件中定義、結(jié)論的矛盾。反證法中的解題矛盾不僅僅只有否定命題與真命題之間的矛盾。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，學(xué)生需要掌握矛盾的種類與矛盾制造方法，利用此進(jìn)行知識(shí)推理，得到正確的答案。通過(guò)矛盾種類的了解，可以提高解決問(wèn)題的效率，促使學(xué)生數(shù)學(xué)能力與知識(shí)應(yīng)用能力提高。

四、結(jié)束語(yǔ)

總而言之，反證法在初中數(shù)學(xué)問(wèn)題中應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維能力與解決問(wèn)題能力培養(yǎng)。實(shí)際應(yīng)用中，使學(xué)生掌握反證法解題步驟，并根據(jù)相關(guān)的要求進(jìn)行解題，以此提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，提升數(shù)學(xué)素質(zhì)。