初中數(shù)學(xué)分類討論思想在解題中的有效應(yīng)用探討

黃美芬

（廣州市第一一三中學(xué) 廣東·廣州 510000）

初中階段，數(shù)學(xué)一直是一個(gè)大的學(xué)科，涵蓋知識(shí)面廣泛，且與生活密切相關(guān)。然而數(shù)學(xué)的解題思維也非常多而靈活，甚至每一題都可以有不同的解題思路，這種靈活既帶給學(xué)生更多的解題機(jī)會(huì)，也讓他們?cè)诓坏梅ǖ那闆r下充滿困惑。一旦學(xué)生對(duì)解題思想應(yīng)用不靈，就會(huì)受到阻礙難以將題解下去。這也是筆者將分類討論思想從眾多解題法中挑選出來(lái)分析的部分原因。分類討論的思想能夠幫助學(xué)生更好地捋順復(fù)雜問(wèn)題的邏輯，因而分析該解題思想，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維提升意義非凡。

1 為樹(shù)立分類討論的思想創(chuàng)設(shè)環(huán)境

分類討論思想本身是對(duì)解題思維的策略變換，需要有更和諧、活躍的氣氛來(lái)帶動(dòng)，因而，教師要想辦法為該思想的樹(shù)立創(chuàng)設(shè)環(huán)境。

1.1 學(xué)生主體地位彰顯

想讓課堂變得活躍，就要讓活躍的主體性因素，即學(xué)生充分發(fā)揮主觀能動(dòng)性。只有讓學(xué)生成為課堂的主動(dòng)參與者，不再被動(dòng)接受，才能把他們的情緒調(diào)動(dòng)起來(lái)，思維調(diào)動(dòng)起來(lái)。教師可以在充分尊重學(xué)生潛力的前提下，將自身角色隱退為“幕后指使者”，轉(zhuǎn)變授課模式和思路，幫助學(xué)生“放下心來(lái)”，從而讓環(huán)境更有利于學(xué)生的思考。

1.2 學(xué)生思考氛圍保障

學(xué)生的思考需要有效的情境引導(dǎo)。教師應(yīng)該充分發(fā)揮自身的導(dǎo)向作用，把好思考方向。同時(shí)，環(huán)境的有利于思考并不意味著絕對(duì)的自由化，導(dǎo)致學(xué)生與教師地位的翻轉(zhuǎn)過(guò)分被夸大。教師應(yīng)該給予學(xué)生適度的自由，讓他們發(fā)揮主觀作用的同時(shí)，保持學(xué)習(xí)時(shí)間和探究的不偏題，不離題，并維護(hù)好課堂秩序。

2 分類討論思想的深化策略

2.1 思想在日常中樹(shù)立

分類討論思想其實(shí)不僅可以針對(duì)具體習(xí)題來(lái)解題，還是學(xué)生看待和探究其他許多問(wèn)題的基本思路。它是幫助人們對(duì)復(fù)雜事物進(jìn)行多角度剖析的辯證性思想，具有普遍的指導(dǎo)意義。因此，教師完全可在日常教學(xué)中看好時(shí)機(jī)進(jìn)行滲透，以幫助學(xué)生順利樹(shù)立起分類討論的思想。如，在學(xué)習(xí)有關(guān)角的問(wèn)題時(shí)，學(xué)生就常常遇到判斷不明的問(wèn)題。這類問(wèn)題通常會(huì)給出一個(gè)角的度數(shù)，以及與它有鄰邊的角的度數(shù)，但是不相鄰的一邊卻充滿不確定性。另一邊究竟在角度內(nèi)，還是在角度外，就成了值得探究，值得討論的問(wèn)題。

2.2 思想在設(shè)問(wèn)中錨點(diǎn)

分類討論思想雖然是未解決復(fù)雜問(wèn)題而生的，但它本身卻并不復(fù)雜，而且具有規(guī)律可循。尤其是對(duì)于一些需要用到分類討論法進(jìn)行解題的數(shù)學(xué)題，在其設(shè)問(wèn)中就可窺見(jiàn)一些引導(dǎo)性信號(hào)。這些問(wèn)題雖然不一定明說(shuō)解題情況的多角度性，但是只要學(xué)生肯細(xì)心發(fā)現(xiàn)、稍加分析，就能夠掌握一二。如，下面這個(gè)例題就是方法“提示”較為明顯的典型題。

在甲乙兩個(gè)城市當(dāng)中，電信公司分別成立了移動(dòng)通信業(yè)務(wù)。在甲城市當(dāng)中，用戶月租費(fèi)為15元，每分鐘通話0.3元，在乙城市當(dāng)中，用戶在辦理移動(dòng)通信業(yè)務(wù)時(shí)，不需要繳納月租費(fèi)，但是每分鐘通話費(fèi)用比甲城市貴0.3元，為0.6元每分鐘。在此條件下，我國(guó)設(shè)用戶一個(gè)月需要通話X分鐘，甲乙兩個(gè)城市需要繳納的通信業(yè)務(wù)費(fèi)用為y1、y2。

（1）試問(wèn) y1、y2與 x 之間的函數(shù)關(guān)系；（2）該用戶辦理哪種通信業(yè)務(wù)較為合適。

這道題中，第一問(wèn)比較簡(jiǎn)單明了，可列出 y1=0.3x+15,y2=0.6x。但第二問(wèn)就相對(duì)復(fù)雜了，雖然問(wèn)題沒(méi)有直接說(shuō)要使用分類討論的思想解決問(wèn)題，但是根據(jù)問(wèn)題中的“你認(rèn)為哪種”幾個(gè)字已經(jīng)可以判斷出情況不止一種，屬于復(fù)雜情況，所以該題適合用分類討論的方法解題。我們首先假設(shè)甲乙兩城的通信費(fèi)用相同，y1=y2，得出x=50。因此改題目有兩種情況：（1）當(dāng)用戶通話時(shí)長(zhǎng)小于50分鐘，選擇乙城通信業(yè)務(wù)更為劃算；（2）如果用戶的通話時(shí)長(zhǎng)大于50分鐘，那么選擇甲城通信業(yè)務(wù)較為劃算。

2.3 思想在解題中滲透

分類討論也是一種數(shù)學(xué)題型，教師應(yīng)該適當(dāng)對(duì)其中的規(guī)律進(jìn)行匯總。這樣能使學(xué)生更全面地掌握出題方向，從而站在俯視的角度、主動(dòng)的位置上解題。因此，教師在具體的解題中，要注意幫助學(xué)生分析該思想的出題點(diǎn)，讓他們將分類討論思想摸清、吃透。例：現(xiàn)有兩個(gè)等腰三角形，已知第一個(gè)等腰三角形兩個(gè)邊分別長(zhǎng)為10厘米與8厘米，第二個(gè)等腰三角形的兩個(gè)邊分別長(zhǎng)為7厘米與3厘米，分別求出兩個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)。

教師在引導(dǎo)學(xué)生對(duì)該例題進(jìn)行解答時(shí)，首先要引導(dǎo)學(xué)生掌握等腰三角形的性質(zhì)，對(duì)題目當(dāng)中給出的三角形的邊長(zhǎng)進(jìn)行探索，明確邊的性質(zhì)。題目當(dāng)中雖然給出了邊的長(zhǎng)度，但是對(duì)于那個(gè)長(zhǎng)度是腰，哪個(gè)長(zhǎng)度是底邊并沒(méi)有明確，因此在解答過(guò)程中，首先要考慮哪三天線段可以構(gòu)成等腰三角形。基于此，要對(duì)該題目進(jìn)行分類討論。

解析：

（1）因?yàn)?+8＞10，10+10＞8，則在這兩種情況下都能構(gòu)成三角形；

當(dāng)腰長(zhǎng)為8時(shí)，周長(zhǎng)為8+8+10=26；

當(dāng)腰長(zhǎng)為10時(shí)，周長(zhǎng)為10+10+8=28；

故這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為26cm或28cm。

（2）當(dāng)腰長(zhǎng)為3時(shí)，因?yàn)?+3＜7，所以此時(shí)不能構(gòu)成三角形；

當(dāng)腰長(zhǎng)為7時(shí)，因?yàn)?+7＞3，所以此時(shí)能構(gòu)成三角形，因此三角形的周長(zhǎng)為：7+7+3=17；

故這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為17cm。

由上可知，當(dāng)三角形腰長(zhǎng)或底邊長(zhǎng)不能確定時(shí)，必須進(jìn)行分類討論。同時(shí)，教師要在引導(dǎo)學(xué)生解題的過(guò)程中注意，分類討論各種情況時(shí)，一定要明確題目當(dāng)中給出的限定條件，驗(yàn)證構(gòu)成等腰三角形的三邊關(guān)系，這也是一個(gè)前提條件。

2.4 思想在實(shí)踐中強(qiáng)化

任何沒(méi)有實(shí)踐指導(dǎo)的理論都將是空談，因此，對(duì)于分類討論思想的教學(xué)應(yīng)用，教師必須引導(dǎo)和帶領(lǐng)學(xué)生多訓(xùn)練，在實(shí)踐中去強(qiáng)化它，最終實(shí)現(xiàn)對(duì)它的應(yīng)用自如。尤其是數(shù)學(xué)中的許多題型都是千變?nèi)f化的，就不同的角度，可以拓展出無(wú)限新題。這也是數(shù)學(xué)的魅力所在。所以強(qiáng)化分類討論思想，教師要能夠帶領(lǐng)學(xué)生適應(yīng)數(shù)學(xué)題的這種千變?nèi)f化。以下的舉例，就是由上一點(diǎn)分析中的例題變化而來(lái)。

變式1：現(xiàn)已知等腰三角形頂角與底角不能確定，一個(gè)角為另一個(gè)角的四倍，對(duì)該等腰三角形進(jìn)行分類討論，求出該三角形的內(nèi)角度數(shù)。

解析：

（1）當(dāng)?shù)捉鞘琼斀堑?倍時(shí)，設(shè)頂角為x，則底角為4x，

∴4x+4x+x=180°，∴x=20°，∴4x=80°，

于是三角形的各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為：20°，80°，80°。

（2）當(dāng)頂角是底角的4倍時(shí)，設(shè)底角為x，則頂角為4x，

∴x+x+4x=180°，∴x=30°，∴4x=120°，

于是三角形的各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為：30°，30°，120°。

因此三角形各內(nèi)角的度數(shù)為：20°，80°，80°或 30°，30°，120°。

變式2：如果該三角形的高不能明確，那么需要對(duì)等腰三角形的高與另一邊夾角為25°進(jìn)行分類討論，求這個(gè)三角形的各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)。

解析：

設(shè)AB=AC，BD⊥AC；

（1）高與底邊的夾角為25°時(shí)，高一定在△ABC的內(nèi)部，

∵∠DBC=25°，∴∠C=90°-∠DBC=90°-25°=65°，

∴∠ABC=∠C=65°，∠A=180°-2×65°=50°。

（2）當(dāng)高與另一腰的夾角為25°時(shí)，高在△ABC內(nèi)部時(shí)，

當(dāng)∠ABD=25°時(shí)，∠A=90°-∠ABD=65°，

∴∠C=∠ABC=（180°-∠A）÷2=57.5°；

高在△ABC外部時(shí)，∠ABD=25°，

∴∠BAD=90°-∠ABD=90°-25°=65°，

∴∠BAC=180°-65°=115°，

∴∠ABC=∠C=（180°-115°）÷2=32.5°

故三角形各內(nèi)角為：65°，65°，50°或

65°，57.5°，57.5°或 115°，32.5°，32.5°。

變式3：由腰的垂直平分線所引起的分類討論在△ABC中，AB=AC，AB邊上的垂直平分線與AC所在的直線相交所得的銳角為40°，求底角B的度數(shù)。

分析：題目中AB邊上的垂直平分線與直線AC相交有兩種情形；

解：（1）AB邊的垂直平分線與AC邊交于點(diǎn)D，∠ADE=40°，則∠A=90°-∠ADE=50°，

∵AB=AC，∴∠B=（180°-50°）÷2=65°。

（2）AB邊的垂直平分線與直線AC的反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，∠ADE=40°，則∠DAE=50°

∴∠BAC=130°，∵AB=AC，∴∠B=（180°-130°）÷2=25°

故∠B的大小為65°或25°。

變式4：由腰上的中線引起的分類討論等腰三角形底邊長(zhǎng)為5cm，一腰上的中線把其周長(zhǎng)分成差為3cm的兩部分，求腰長(zhǎng)。

解析：

∵BD為AC邊上的中線，∴AD=CD，

（1）當(dāng)（AB+AD）-（BC+CD）=3時(shí)，則AB-BC=3，

∵BC=5∴AB=BC+3=8；

（2）當(dāng)（BC+CD）-（AB+AD）=3時(shí)，則BC-AB=3，

∵BC=5∴AB=BC-3=2；

但是當(dāng) AB=2 時(shí)，三邊長(zhǎng)為 2，2，5；

而2+2＜5，不合題意，舍去；

故腰長(zhǎng)為8。

以上幾個(gè)變式抓住了三角形的不同側(cè)面屬性，進(jìn)行了合理的問(wèn)題拓展，也讓我們看到分類討論思想運(yùn)用的普遍性。教師如能在學(xué)生深刻記憶基礎(chǔ)上，再引導(dǎo)他們自創(chuàng)習(xí)題，則為教學(xué)效果最佳。

3 結(jié)束語(yǔ)

對(duì)于一種思想從陌生到熟悉，再到熟練應(yīng)用，是需要漫長(zhǎng)的滲透過(guò)程的。教師要以春風(fēng)化雨的耐心，在實(shí)際教學(xué)中幫助學(xué)生在日常中樹(shù)立、在設(shè)問(wèn)中錨點(diǎn)、在解題中滲透、在實(shí)踐中強(qiáng)化該思想，讓一切教學(xué)開(kāi)展有章法可循，不能急于見(jiàn)到成效。筆者在文中提及的策略具有一定實(shí)踐意義，希望能對(duì)初中數(shù)學(xué)的相關(guān)教學(xué)起到借鑒作用，也希望隨著人們對(duì)數(shù)學(xué)思維的縱深研究，能有更多、更好的教學(xué)方法涌現(xiàn)。