淺談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的建模思想

張 鴻

（新疆烏魯木齊市第88中學(xué) 新疆烏魯木齊 830000）

數(shù)學(xué)是歷史最悠久而又始終充滿活力的人類知識(shí)領(lǐng)域，也是每個(gè)受教育的人一生中需要學(xué)習(xí)時(shí)間最長的學(xué)科之一。隨著時(shí)代的發(fā)展，人們對數(shù)學(xué)教育，數(shù)學(xué)課程以及數(shù)學(xué)的改革實(shí)踐有了一些新的認(rèn)識(shí)。現(xiàn)在提得比較多的是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)。筆者多年來從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作，有一些這方面的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，今日分享出來，供大家參考。

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)，關(guān)鍵能力以及情感，態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的。數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理，數(shù)學(xué)建模，直觀想象，數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析。這些數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)既相對獨(dú)立，又相互交融，是一個(gè)有機(jī)的整體。

在這些核心素養(yǎng)包括的內(nèi)容中，筆者具體說說數(shù)學(xué)的建模。數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題，用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型，從而解決問題的素養(yǎng)。數(shù)學(xué)建模的過程包括：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，分析問題，建立模型，確定參數(shù)，計(jì)算求解，檢驗(yàn)結(jié)果，改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問題。

因此，在“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)中，我結(jié)合具體的內(nèi)容讓學(xué)生經(jīng)歷“問題情境-建立模型-解釋應(yīng)用于拓展”的過程。在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生投入到解決問題的實(shí)踐活動(dòng)之中，經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的全過程，從而體會(huì)到方程、不等式、函數(shù)等是現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)學(xué)模型。

在建立實(shí)際問題的數(shù)與代數(shù)模型時(shí)，字母（表示數(shù)）或符號是基本的數(shù)學(xué)語言。我們用X表示實(shí)際問題中的未知量，通過分析問題中已知量與未知量的相等（或大小）關(guān)系，建立起來的反映未知數(shù)X與已知數(shù)之間相等（或大小）關(guān)系的方程（或不等式），即為刻畫實(shí)際問題中相等（大小）關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。同樣，在研究一個(gè)過程的變化規(guī)律時(shí)，為了用數(shù)學(xué)模型來刻畫它，我們用字母X、Y分別表示實(shí)際問題中的自變量與因變量，通過分析兩個(gè)變量之間的關(guān)系，建立變量X、Y之間的關(guān)系式，即得到刻畫實(shí)際問題中變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。

新人教版九年級數(shù)學(xué)上冊第二十二章二次函數(shù)第三節(jié)內(nèi)容“實(shí)際問題與二次函數(shù)”中的探究3，圖形是拋物線形拱橋。當(dāng)拱頂離水面2米時(shí)，水面寬4米，水面下降1米，水面寬度增加多少呢？這道探究題就是通過把這個(gè)拋物線形狀的拱橋問題，放在恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系下，從而轉(zhuǎn)化為了數(shù)學(xué)問題。這個(gè)平面直角坐標(biāo)系就是實(shí)際問題轉(zhuǎn)變成數(shù)學(xué)問題的橋梁，是此題數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵。學(xué)生對于解決拋物線的解析式和一些點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)問題，在這個(gè)階段已是輕車熟路，而教師需要引導(dǎo)的是理解實(shí)際問題中的“當(dāng)拱頂離水面2米時(shí)，水面寬4米，水面下降1米”這些數(shù)據(jù)。如何標(biāo)注在已經(jīng)建立的平面直角坐標(biāo)系上？以及當(dāng)解決了拋物線的解析式后，“水面寬度增加多少”。這是在要求解決平面直角坐標(biāo)系中的什么點(diǎn)的什么坐標(biāo)問題，即橫坐標(biāo)還是縱坐標(biāo)。當(dāng)學(xué)生清楚地解決了以上的數(shù)學(xué)問題后，教師還要引導(dǎo)學(xué)生從解決數(shù)學(xué)問題回歸到是否解決了實(shí)際問題上來。這道題目能培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理，數(shù)學(xué)建模，數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。同時(shí)，此題目的二次函數(shù)也成為了刻畫現(xiàn)實(shí)世界的模型。

在新人教版數(shù)學(xué)的六本教材中，我們循序漸進(jìn)地帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)了一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，二元一次方程（組）的實(shí)際應(yīng)用，分式方程的實(shí)際應(yīng)用，一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用。教師要引導(dǎo)學(xué)生去找出實(shí)際問題中需要解決什么問題。在解答問題的過程中，題中已經(jīng)知道了什么信息，對于不知道的數(shù)量或需要解決的數(shù)量，我們可以采用設(shè)未知數(shù)X的方法讓我們的題目信息豐富起來。這個(gè)X會(huì)讓我們把與X相關(guān)的一些數(shù)量用含有X的式子表示出來。這樣的開始就使生活問題轉(zhuǎn)化成了數(shù)學(xué)問題。在這個(gè)數(shù)學(xué)問題中，我們要知道什么是不變的，那些數(shù)量之間存在什么樣的等量關(guān)系或不等量的關(guān)系，從而建立相應(yīng)的方程或不等式去解決數(shù)學(xué)問題，從而解決實(shí)際問題。可見，設(shè)未知數(shù)X就是建模的開始，尋找到等量關(guān)系或不等量的關(guān)系，列出方程或不等式就是建模的過程。因此，我們說方程和不等式也是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效模型。

通過以上的舉例，我們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模搭建了數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的橋梁，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式。數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的基本手段，也是數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力。

綜上所述，數(shù)學(xué)建模主要表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出問題，建立和求解模型，檢驗(yàn)和完善模型，分析和解決問題。對于“檢驗(yàn)和完善模型”，像前面的拱橋問題，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生把這個(gè)拱橋放在不同的平面直角坐標(biāo)系下，讓學(xué)生思考把“當(dāng)拱頂離水面2米時(shí)，水面寬4米，水面下降1米”這些數(shù)據(jù)放在哪個(gè)點(diǎn)上，讀成怎樣的橫縱坐標(biāo)？最終，學(xué)生可比較一下，哪種建立平面直角坐標(biāo)系的方法最簡單？

我們可以看到：在數(shù)與代數(shù)的教學(xué)中，數(shù)學(xué)建模是它的一條主線。當(dāng)然，在數(shù)學(xué)的教學(xué)中，我們不要用過多的“數(shù)學(xué)建模”術(shù)語，主要還是通過提出具體問題及其解決過程來讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)建模的思想。學(xué)習(xí)“數(shù)與代數(shù)”的過程不只是讓學(xué)生記住數(shù)學(xué)事實(shí)，還應(yīng)讓學(xué)生在數(shù)學(xué)建模的過程中逐步形成數(shù)感、符號感以及應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，突出規(guī)律、公式、法則等的探索過程，促使學(xué)生在知識(shí)與技能、思考數(shù)學(xué)問題、問題解決和情感態(tài)度方面得到全面發(fā)展。教師在教學(xué)中應(yīng)發(fā)揮自己的創(chuàng)造力和想象力，設(shè)計(jì)出更好的教學(xué)方式，以提高教學(xué)效率和質(zhì)量。