數形結合方法在初中數學教學中的滲透研究

■廣東省開平市第四中學 陸志能

所謂數形結合，就是將數與形實現轉化的過程，其中，“數”“形”兩者是互助的關系。在初中數學教學中，如果只有數而少了形，數學無法形象地表現出來，如果只有形沒有數，數學知識便難以深入。如果將數與形結合起來，不僅能實現舊知識的正遷移，幫助學生完成新知識的構建，還能使學生感受到數學學科的嚴謹美以及圖形美。因此，作為初中數學教師而言，應分析數形結合常見的形式，并根據學生的認知特點以及教學內容，將數形結合方法滲透到課堂中，進而幫助學生建立數形結合的意識，以此完善他們的認知。

一、數形結合常見的形式

（一）以數化形

“以數化形”是數形結合方式的一種。在解決初中數學代數問題時，學生常常不能快速、有效地找到數量之間的關系，這時，圖形便能直觀地將數量間的關系揭示出來，并且使數量關系更加清晰、明了。教師通過這樣的方式，既能豐富學生的解題技巧，也能增加學生領會知識的能力。

（二）以形變數

“以形變數”思想是數形結合的重要思想之一，主要是指通過觀察幾何圖形領會到圖形中所蘊含數學知識點的過程。當學生接觸到幾何圖形時，教師便需要引導學生深入挖掘圖形中所折射的數學規律，這樣能使學生在解決幾何問題時找到一定的數量關系，以此提高學生的解題速度。

（三）數形互變

“數形互變”是“以數化形”與“以形變數”的綜合運用。而在解決問題時，學生不僅需要由“形”的直觀想到“數”的嚴密，還要由“數”的嚴密聯系到“形”的直觀。這種方式常常在直角坐標系與函數之間轉化時起著重要的作用，由于直角坐標系中的每個點都有其一個實數與之相對應，因此，借助直角坐標系能使函數有一個更為直觀的表現形式，也能在引入直角坐標系時運用代數法進行解答。

二、數形結合方法在初中數學教學中的有效滲透

（一）在“幾何圖形”中的滲透

數形結合思想是解決幾何圖形問題的重要思想。在幾何圖形有關教學中，教師盡量避免純理論的教學方式，而是更多地采用“數形結合”的方式，這樣不僅能使學生的思維由抽象化轉化為具體化。例如：在“等腰三角形的軸對稱性”教學中，筆者首先引導學生回憶用直尺與圓規畫角的平分線和線段的中垂線等相關知識，讓他們感受到等腰三角形的形成過程。此外，為了使學生更好地理解并掌握等腰三角形的軸對稱性，筆者引導學生在自己所畫的等腰三角形中畫出角A的角平分線AD，隨后指導學生將三角形沿著線段AD對折，使他們直觀地看到兩邊的重合，進而幫助他們體會到兩個全等三角形的性質。可見，在“幾何圖形”中滲透數形結合思想，既能使形與數實現有機融合，還能使他們充分感受到數形結合方法的應用價值，以此提高其自身的數學素養。

（二）在“方程求解”中的滲透

方程是初中數學課程中的重點內容，尤其在列方程時，學生難以找出數量之間的關系，這樣便難以求出方程的解。因此，為了讓學生更好地理解教材內容，教師應將數形結合的方法滲透到教學中，增強學生對方程的認識。例如：在“一元一次方程”教學后，筆者出示這樣的問題，即：一個自行車隊進行訓練，訓練時所有隊員都以35千米每小時的速度前進，而一個隊員突然加速并以45千米每小時的速度前進，前進10千米后掉轉車頭，仍以45千米每小時的速度往回騎行與其他隊員匯集，這名隊員從離隊到與其他隊員匯集經過了多長時間？在分析這一問題時，部分學生表示出“無從下手、沒有思路”。這時，筆者引導學生將“車隊”與“這名隊員”的運動軌跡運用線段圖的方式表示出來，這樣相等關系便從圖中直觀地呈現出來。在此基礎上，學生也能從圖中觀察到“車隊”與“這名隊員”經過x小時共走了多少路程，這樣自然而然地列出方程式，進而找出問題的答案。

（三）在“三角函數”中的滲透

數形結合思想在探索三角函數概念形成的過程中起著重要的作用，它能運用圖形直接展示出有關線段之間的關系，以此得到正弦、余弦、正切的概念，還能運用代數的方式將銳角三角形所蘊含的數量關系表達出來，以此使學生深刻理解銳角三角形函數的形成。在“銳角三角形”教學中，為了使學生初步了解正弦、余弦以及正切的概念，并能逐步培養學生觀察、比較、分析的能力，同時，幫助學生提高他們對幾何圖形美的認識，筆者首先提出問題，即：某地打算從位于山腳下的機井房沿著山坡鋪設水管，在山坡上修建一個揚水站對坡面的綠地進行噴灌，現測得斜坡與水平面所成角的度數為30度，為了使出水口的高度為35米，則需要準備多長的水管？在解決這一問題時，學生需要將文字中的信息以圖形的方式呈現出來，進而能更加清晰地看到三角形邊、角之間的關系，以此認識正弦的概念。同時，通過數形結合的方式，也使他們對正弦的表示方法有了更加深刻的認識。

（四）在“統計調查”中的滲透

數形結合思想在初中數學“統計調查”模塊中起著十分重要的作用。在有關“統計調查”相關教學中，教師需要將數形結合思想滲透到課堂教學中，這樣能使學生獨立地應用圖形，讓他們感受到數形結合的精妙之處，還能使學生真正把圖形變為數學學習不可分割的一部分。例如：在“統計調查”教學后，教師給學生布置相應的題目，即：調查全校學生喜愛節目的情況。于是學生初步將調查結果分為“新聞、體育、動畫、娛樂、戲曲”等不同的維度。在學生調查結束后，如果直接統計人數的總量，便能運用統計表將其表示，這種統計方式雖然能看出喜歡哪項電視節目的人數最多，哪些人數最少，但無法直觀化地看到百分比。因此，筆者鼓勵學生運用扇形統計圖將數據進行統計、分析，這樣能使學生快速看到調查結果所呈現出的百分比，也能使學生建立定量分析的概念。

綜上所述，初中數學教學不僅僅需要教師引導學生掌握基礎知識，更重要的是讓學生掌握一定的數學方法。而在初中數學課程中，有很多抽象的基礎知識都需要數形結合方式去轉換。因此，教師需要將數形結合方式滲透到課堂教學中，逐步鍛煉學生的解題方法、創新思維，以此強化學生的數學邏輯思維能力。此外，學生在靈活掌握數形結合方法后，不僅能使這種思想發揮正遷移的作用，幫助自己解決數學問題，還能為今后數學知識的學習做好充分的鋪墊作用，進而促進數學素養得以提升。