淺談與專業相結合的概率統計教學改革

管崇虎

（嘉應學院數學學院 廣東·梅州 514015）

概率統計是大學本科階段理工科專業和管理專業的公共基礎必修課程，其在工程、經濟、生產生活中具有廣泛的應用。概率統計課程可分為概率論和數理統計兩部分，其顯著特點是研究對象為隨機現象。通過該課程的學習，可使學生初步掌握處理隨機現象的基本思想和方法，為后繼專業課程的學習奠定堅實的基礎。盡管概率統計課程的教學內容和教學模式已經較為成熟，但該課程仍有許多值得改進的地方，例如，彭江濤，孫芳認為如何加強數學基礎課與專業之間的聯系，是目前概率論與數理統計等數學基礎課面臨的一大問題。王庚認為，由于近些年計算機技術的發展以及現代數學和統計新元素的涌入，使得有必要對概率統計課程的基礎知識作恰當的選擇、組合和補充等。本文主要以筆者多年的教學經驗，結合各專業特點以及當下學生的特點，來談談對這門課程教學改革的一些看法。

1 與學生專業相結合的教學改革

概率統計作為一個強有力的數學工具，應起到輔助專業知識學習的作用。因此教師應結合學生所在專業的學生特點以及培養目標，因材施教，尋找適應該專業的教學方式，使學生更容易接受課程的知識的同時能夠將其更好地融入到本專業之中。

1.1 結合學生的思維方式進行教學

由于不同專業的學生本身的思維的特點以及所處專業的氛圍的熏陶，他們理解事物的方式必然存在一定的差別。例如，數學專業的學生更注重理清事物的邏輯關系，工科專業的學生更注重如何計算出結果，文科專業的學生偏重記憶。教師需要根據學生的特點，盡量從他們的思維方式來制定對應的教學方案以便他們更好地理解知識點。筆者以概率空間的公理化定義這一知識點為例。對于數學專業的學生，可以以幾何概型作切入點，討論可算面積或者是體積的圖形應具有的性質，引出關于事件域的三條公理和關于概率的三條公理。而對于工科專業的學生，他們習慣從某一實際問題出發來認知事物，故可以從貝特朗悖論引入公理化的定義，說明對同一隨機事件，用不同的角度去計算概率會得到不一樣的結果，原因是人們對等可能性沒有統一的看法，從而允許在同一樣本空間上定義不同的概率測度，因此，人們需要對所謂的“合理”的概率作出規定，即概率的三條公理。而對于非理工科專業的學生，應談化公理化的概念，引導學生著重于理解概率的每一條公理和性質的直觀含義和在現實中的應用。

1.2 結合學生的專業知識和需求進行教學

概率統計作為公共基礎課，許多專業的專業課程都需要用到概率統計的知識，然而，學生在剛開始學這門課的時候，往往會產生困惑：我為什么要學這門課？和我的專業有什么關系？這會造成他們對這門課的學習不重視。所以教師在上概率統計的課程中，應當關注學生所在專業的需求，盡量能結合該專業的案例進行教學，例如在經濟管理專業的學生上這門課的時候，可以舉一些經濟學的案例或者是模型，例如在投資決策，市場營銷，保險精算等領域的應用。在給生物學專業授課的時候可以探討生物的種群模型、傳染病模型等。也可以簡要介紹一些專業課如何用到概率統計，例如許多工科的實驗課需要用到統計方法來處理數據，計算機的人工智能、數挖掘離不開概率統計等。這樣學生就會明白概率統計在自己專業學習中的重要作用。從而對這門課更有興趣。

2 結合當下學生的特點的教學改革

2.1 以問題為導向的教學方式

“基于問題式的教學”是目前較為主流的一種學習模式，在這一過程中，學生是學習的主體，老師扮演引導者的角色。這一方式尤其適合于現在正在本科學習階段的九五后和零零后。因為他們出生于信息爆炸的時代，習慣于遇到問題再去找資料獲得知識。在上課之前先提出學生關心的話題讓學生思考，可以使學生更加積極主動，例如，在講假設檢驗這一章節的時候，筆者不會采用傳統的講授方式，一開始就介紹什么是假設檢驗，要解決什么問題，可以分為哪些類型等，而是首先提出學生比較有興趣的實際問題，例如：某手游公布其抽中S卡的概率為0.05，一玩家抽了1000次，抽中S卡的次數有30次，問能否相信該手游的官方數據？學生一看到這么個問題，可能他平時也有過思考但沒有得出有說服力的答案，所以自然會對其產生興趣。然后教師可發起討論話題：可否因為這1000次抽卡中了30次，抽中的頻率為千分之三，比官方數據千分之五要小，來斷定官方數據作假？這時候可能會有同學提出可以，也有同學提出有可能只是因為運氣的原因導致了抽中次數偏少。教師便可以引導，如何判斷到底官方數據正不正確，需要提出一系統的檢驗法則，從而引出原假設、備擇假設、拒絕域、兩類錯誤等相關概念。

2.2 既通俗易懂，又不失嚴謹

概率統計中的一些概念的理解，對于非理工科專業的學生來講是有一定困難的。例如大數定律，這是在我們生活中非常常見的規律，掌握好它不僅有利于我們正確理解客觀的隨機世界，還能幫助我們解決許多實際問題。但怎么樣讓學生理解好其思想，并不是一件容易的事情。有的老師選擇開門見山，上來就向學生展示大數定律的內容，這樣學生不容易理解，而且會使學生留下大數定律非常深奧的印象。而有的教師為了讓他們容易“理解”，將伯努力大數定律簡單概括為“頻率的極限是概率”或“頻率的極限等于概率是必然事件”等不嚴謹的觀點。我認為，教師首先必須堅持嚴謹的原則，在此基礎上追求盡量通俗易懂。對于伯努力大數定律，教師可以先回顧以前講過的頻率的統計學規律，即當實驗次數增加的時候，實驗表明頻率將逐漸趨于一穩定值，然后便可以提出疑問：這種現象是否是必然的？就是說無論你怎樣做獨立重復隨機實驗，頻率最終都會無限接近這一穩定值，有沒有可能不是這樣？如果可能，那它發生的概率有多大？等一系列問題。然后引導學生用概率和極限的思想來考慮這一問題，提出考慮頻率與這一穩定值的偏差不超過任意給定的一正數的概率的極限，從而引出伯努力大數定律的內容。

2.3 既注重應用、又不輕視理論

應用是學習的目的，理論應服務于應用。概率統計本身是一門應用性很強的課程，教師在傳授理論知識的同時，應培養學生應用這些理論于實際的能力。例如如何利用貝葉斯公式來進行保護個人隱私的抽樣調查，如何用中心極限定理來估計保險公司破產的概率，如何用假設檢驗的思想和方法來辨別日常生活中某些判斷的真假等等。要培養學生數學建模的意識，學會如何將實際問題轉化成數學問題，然后通過數學方法得到問題的答案，從而解決實際問題。另外、可以根據學生的專業來開設概率統計實驗課，通過介紹使用一些相關的應用軟件，例如利用Excel軟件進行簡單數據的處理、利用Matlab軟件進行數值計算和作圖，用SPSS和SAS等統計軟件進行大量數據的處理，用Python軟件從網上獲得取數據等，來培養學生使用數學軟件和統計軟件解決實際問題的能力。

另一方面，我們在強調應用的同時，不應忽視對理論知識的理解。目前許多概率統計教學改革中提倡“重應用、輕理論”，筆者個人認為不可取，因為必須要對理論有著充分的理解的前提下，才能合理地將之運用與實際。有學者為了突出這門課的應用性，建議把概率論的內容在這門課中的占比由原來60%改為40%。筆者并不贊成這個建議，因為概率論是基礎，相當于是高樓大廈的底層，如果沒有掌握好概率論的知識，便很難領悟數理統計的思想，可能最后所掌握的“技能”只是如何套書本上公式或者是如何將數據代入統計軟件來解決問題，這種“技能”往往根基不深，容易遺忘。所以這是一種急功近利的想法。更何況，概率論本身也具有很強的應用性。相反如果概率論方面理論基礎扎實，并且掌握了數理統計的基本思想原理，那么哪怕遇到沒學過的統計方法，也可以很容易通過網上資源進行自學。

2.4 改進考核手段

一次成功的教學離不開合理的考核方式，目前高校普遍存在的問題是考核方式過于單一。期末考試成績是考核學生的一個主要的方式，學生為了取得高分往往采取急功近利的方式，到考試前一兩周才開始通宵學習，對于概率統計這類需要平時積累的課程，學習效果自然不理想，學生可能最終只是死記硬背了公式而不懂得靈活應用。而平時成績往往只通過統計平時作業的完成情況來評價，雖然一定程度上能督促學生按照課堂進度學習，但在如今這個互聯網發達的時代，作業抄襲作業變得更加便利，作業不僅可以通過微信群互相抄襲，還可以借助網上諸如“作業幫”等軟件平臺找人代做。所以教師收上來的作業往往不能反映學生的真實學習效果，對評價沒有多少參考價值。筆者建議，可以用課堂小測分數+課堂活躍度評價+期末考試的評價模式來來代替作業評價+考勤情況+期末考試的評價模式。可以在每一章節講完后利用課堂半節課時間進行小測，題目可以由作業題稍加修改，學生為了能通過測試，必然會在課后自覺完成作業。此外，在課堂發起討論話題，答對加分答錯不扣分，以回答問題的情況和次數來作為一項考核指標。這樣在提升學生學習效果的同時，又可使考核更加的公正公平。

2.5 增進師生交流

大學教師往往給人上課匆匆來，下課匆匆走，具有深厚的學識，卻讓人高不可攀的印象，這種與學生的距離感，往往并不利于開展教學。所以大學教師應增加與學生的交流和互動，尤其是對于概率統計這類在不同專業中開設的數學基礎課，不同學生學習的感受可能千差萬別，特別是對于九五后零零后的大學生，在萬千寵愛中長大，往往個性比較獨立，自尊心比較強。所以教師應多通過各種途徑及時了解學生的學習動態和學習感受，來調整自己的教學計劃。課堂上應多給予學生發表自己觀點的機會，充分尊重學生的想法，對錯誤的觀點不在課堂上立即否定，應加以引導，分析學生產生這一想法的原因，對有創造性的觀點應多表揚鼓勵，樹立學生的自信，利用課間時間與學生聊天，建立課程微信群來了解學生的學習感受。

3 小結

概率統計作為一既具有豐富的理論，又具有廣泛的應用的課程，在大學的教學中具有重要的地位，其不僅能培養學生解決日常生產生活中許多實際問題的能力，還能培養學生的理性思維，學會用概率的眼光去看待問題，用統計的觀點來評價事物。作為教育工作者，除了應具有豐富的教學技能外，還要能與時代接軌，隨時了解學科和專業發展的動向，不斷擴充自己的知識面，為該門課的教學補充新鮮的血液，為各行各業輸送符合社會發展的人才而服務。