初中數學核心素養下的解題技巧分析

■江蘇省張家港市常青藤實驗學校 鄒婉清

一、解讀數學概念，強化數學抽象

數學抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數學研究對象的思維過程。初中生抽象思維能力存在一定局限，根據數學題目理性思考其中數量關系，從題目中提煉一般解題技巧的能力相對欠缺。因此，教師應結合數學題目，從數學概念入手，引導學生在解題中摒棄“物理屬性”，從一般屬性分析題目考查的本質，從而探尋解題技巧。

例如題目1：“五一”期間，某商場搞優惠促銷，由顧客抽獎決定折扣，某顧客購買甲、乙兩種商品，分別抽到七折（按售價的70%銷售）和九折（按售價的90%銷售），共付款386元，這兩種商品原售價之和為500元，問這兩種商品的原售價分別為多少元？

題目2：某市場購進甲、乙兩種商品共50件，甲種商品進價每件35元，利潤率是20%，乙種商品進價每件20元，利潤率是15%，共獲利278元，問甲、乙兩種商品各購進了多少件？

在上述兩個例題中，無論是商場的優惠促銷活動中的打折，還是商品銷售的利潤率，其特點都是與百分數相關，且題目中均出現了“和”的條件。因此，在指導學生解題技巧的過程中，教師可以將兩個題目進行對比，指導學生從題目條件中找出相同點與不同點，其中相同點就是數學本質，而不同點就是可以舍棄的“物理屬性”。

這樣就能夠結合數學概念，實現從具體到一般的數學抽象，并利用設未知數的方式，找到解題方案。題目1：設甲原售價x元，乙原售價500-x，則有0.7x+0.9(500-x)=386；題目2：設甲購進了x件，乙購進了50-x件，則有35x·20%+20(×50-x)·15%=278。這樣學生則能在對比分析中完成對同類題目的分析與抽象，理解在“已知和”的相關題目中，考查的問題、出現的條件以及主要的解題思路，進而通過未知數的解答，掌握解題技巧。

二、通過直觀想象，探索解題思路

直觀想象是通過感官體驗理解事物形態與變化的能力。在初中數學教學中，直觀想象能夠幫助學生獲得最直接的解題思路，并通過對知識的調用，以及對經驗的總結逐漸理順答案。當然，直觀想象并不是漫無目的的瞎猜，它是在一定知識與經驗基礎上的合理聯想，是學生邏輯思維的另一種表現。

例如題目1：直角△ABC中，M是直角邊BC的中點，AN是BAC的平分線，BN垂直于AN于N點，延長BN交斜邊AC于D，已知AB=10，BC=15，MN=3，求證（1）BN=DN；（2）△ABC的周長。

結合題目與直觀想象能力的培養密切相關。在題目解析中，教師首先要指導學生根據條件自主繪制草圖，并在觀察圖形的過程中，對BN=DN形成初步判斷，并通過將兩條邊置于△ABN和△ADN中，聯想到證明兩個三角形全等，這樣就能夠順利完成第一步的證明；

接下來，根據條件進行進一步觀察，發現△ABD看似是一個等腰三角形，而由于AN就是三角形ABD的中線、角平分線和高線，則可以對這一結論加以證明，由此配合AD=AB=10的條件，就可以得出MN=1/2CD,CD=6，因此，△ABC的周長為41。

在題目解析中，學生可以根據對答案的觀察，結合直觀想象，對ab整體作出分析。條件中則可以知道與為相反數，而兩個代數式均表示非負，因此只能分別為0，即因此，a=

通過上述題目可以看出，直觀想象對于迅速獲得解題思路具有重要意義。因此，在初中生解題技巧的指導中，教師應尊重學生的直觀想象，在學生拿到題目后預留出一定的聯想與思考的時間，進而促使學生在直觀想象中，形成合理、可行的解題思路，并通過對解題過程的總結，提煉出相關題目的解題技巧。

三、利用數學建模，提高解題效率

數學建模是通過實際問題抽象構建解題模型，并利用模型解決實際問題的過程。數學建模引導學生思維經歷了從具體到抽象再到具體的過程。數學核心素養對學生的建模能力提出了初步要求，而教師在教學設計中，可以將數學建模等同于解題技巧，指導學生掌握初中階段所涉及的主要模型，并在模型分析與運用中提高解題效率。

例如題目1：某人騎自行車比步行每小時快8公里，坐汽車比步行每小時快24公里，此人從甲地出發，先步行4公里，然后乘汽車10公里就到達了乙地，他又從乙地騎自行車返回甲地，往返所用的時間相同，求此人的步行速度。

該題目是典型的路程問題，教師可以指導學生把握路程=速度×時間這一基本模型，以及速度=路程/時間、時間=路程/速度這兩個變式進行剖析。從題意中可以知曉，甲乙兩地間的距離為14公里；“從往返所用的時間相等”這一條件可以判斷，此人從甲地到乙地所用時間＝從乙地到甲地所用時間；設此人的步行速度為x，在從甲地到乙地的過程中，此人分兩段完成，即步行4公里和乘汽車10公里，則有4/x+10/x+24；從乙地返回甲地，則騎自行車完成，則有14/x+8；最后根據時間的等量關系，計算4/x+10/x+24=14/x+8，求得未知數。

題目2：2017年8月某地遭遇干旱，為鼓勵市民節約用水，當地自來水公司按照分段收費標準調整生活用水價格，即0～10噸水費呈單調遞增，當用水達到10噸時，水費為22元，大于10噸水費有所調整，當用水量達到20噸時，水費為57元。請寫出水費的分段函數，并計算小明家5月份用水7噸應繳水費多少元。

綜上所述，在初中數學教學中，教師應根據核心素養發展要求，打破傳統教學中以探求答案為目的的解題指導，從提升學生的解題能力入手，幫助學生總結、歸納、運用解題技巧，在題目中尋找解題思路，總結知識運用規律，以實現數學核心素養的全面構建。