KKM相關(guān)定理的證明

楊春艷

(四川大學(xué)錦江學(xué)院數(shù)學(xué)教學(xué)部 四川彭山 620860）

一、引言

KKM理論，起源于KKM映射的研究及其應(yīng)用，發(fā)展至今，從Fan把著名的KKM定理從有限維空間推廣到無限維空間，有很多學(xué)者對KKM定理又進行了很多形式的推廣，已形成一研究各種形式的KKM原理及應(yīng)用的完整理論。比如，Horvath引入H-空間的概念，Park在凸空間中證明了一類KKM定理等，在此基礎(chǔ)上得到了一些廣義的KKM定理，如具有KKM性質(zhì)的KKM（X，Y）映射簇。

在不動點理論、極大極小不等式、鞍點定理、變分不等式和相補問題及非線性分析方面，如運籌、優(yōu)化與控制、對策論、數(shù)學(xué)規(guī)劃等，KKM定理有十分廣泛的應(yīng)用，包括相關(guān)定理的證明，都用到了KKM定理。所以，KKM理論已成為當今應(yīng)用研究和非線性分析的關(guān)鍵理論，交叉性很強，特別是在處理數(shù)學(xué)中非線性問題的求解問題方面，更需要理清該定理及相關(guān)引理的推導(dǎo)。因此，本文給出了這個定理的相關(guān)定義和引理的證明。

本文給出了KKM映象定義、KKM、FKKM的定理，借用半連續(xù)和單調(diào)性，對其相關(guān)引理進行了嚴謹?shù)淖C明，對KKM定理的認識和推廣有很重要的意義。

二、相關(guān)的定義和定理

定義1[1]：KKM映象——設(shè)X為向量空間Rn的一個非空子集，則稱該集值映象G∶X—2Rn（即Rn為2的次數(shù)）KKM映象。如果對每一個｛x0，……，xn｝屬于X的一切非空有限子集，有Co（｛x0，……，xn｝）包含于∪G（xi）（其中i=0，1…n）。

定理1[2]：KKM定理——設(shè)△n是Rn+1中具有頂點{e0，……，en}的n維標準單純形，且M0，……，Mn為Rn+1中的n＋1個閉子集，使得對任意｛ei0，……，eik｝包含于∪Mij（i=0，……，n且j=0，……，k），則有∩Mi≠空集。

定理2[3]：FKKM定理——設(shè)Rn是Hausdorff拓撲線性空間，X為Rn中的非空子集，設(shè)G：X→2Rn為KKM映象，且每一個G（x）是弱緊的，則G（x）交集不為空集（x∈X）。

定義2[4]：半連續(xù)——設(shè)X為Banach空間，X*為其對偶空間，設(shè)T∶X—X*，若對每一個y∈X和一切tn≥0，x0+tny∈X。當tn→0時，x0+tny→x0；有T（x0+tny）弱收斂于T（x0），則稱x0點處T是半連續(xù)的。若在X的每一點都是半連續(xù)的則稱T在X上是半連續(xù)的。

定義3：單調(diào)性——設(shè)X為Banach空間，X*為其對偶空間，稱T∶X→2X*是單調(diào)的，若＜u-v，x-y＞ ≥0且任意的x，y∈X，u∈T（x），v∈T（y）。

三、重要結(jié)果及其證明

定理1：設(shè)M為Hilbert空間的有界閉凸子集，且令L∶M→H為單調(diào)半連續(xù)映象，若x0屬于M，滿足：

＜L（x0），y-x0＞ ≥0，任意的y∈M，當且僅當：

＜L（y），y-x0＞ ≥0，任意的y∈M。

證明：設(shè)x0屬于M，滿足＜L（x0），x0-y＞ ≤0，任意的y∈M，由L的單調(diào)性有＜L（y）-L（x0），y-x0＞ ≥0，即＜L（y），y-x0＞ - ＜L（x0），y-x0＞ ≥0，任意的y∈M，則有：

＜L（y），y-x0＞ ≥ ＜L（x0），y-x0＞ ≥0，任意的y∈M.

另一方面，x0屬于M，＜L（y），y-x0＞ ≥0成立，任意的y∈M。

若令y=h（u）+（1-h）x0=x0+h（u-x0），任意的h屬于（0，1]，任意的u∈M，又由M為凸集，則y∈M，從而有：

＜L（y），y-x0＞ = ＜L（x0+h（u-x0）），h（u-x0）＞ ≥0（h＞0），

此時，令h→0，則x0+h（u-x0）→x0，由L為半連續(xù)的，可推知：

＜L（x0），（u-x0）＞ ≥0，任意的u∈M，證畢。

定理2：設(shè)M為Hilbert空間H的有界閉凸子集，L∶M→H，而P：M→2M

且P（y）={x∈M，＜L（x），x－y＞ ≤0}，任意的y∈M.則映射P為一KKM映象。

證明：設(shè)P不是KKM映象，由KKM映象的定義可知，存在｛x0，……，xn｝＝W，W∈M，令x－＝∑hixi∈Co（W），（∑hi＝1，hi≥0）。使得x－不屬于∪p（xi）（i＝0，……，n），即＜L（x－），x－－y＞ ＞0。由y的任意性可令y＝xi，即＜L（x－），x－－xi＞ ＞0，并推出＜L（x－），hi（x－－xi）＞ ＞0（存在hi＞0），從而有：

＜L（x－），∑hi（x－－xi）＞ ＝ ＜L（x－），∑hix－－∑hixi＞ ＝0

這與＜L（x－），x－－y＞ ＞0矛盾，任意y∈M。所以P為一KKM映象。

證畢。