有限長柱形藥包土中爆腔特征尺寸的計算方法*

李鵬毅，王仲琦，徐 謙，梁形形

（北京理工大學爆炸科學與技術國家重點實驗室，北京 100081）

土中爆炸成腔在地下工程、軍事爆破、地震勘探等方面有重要的應用前景。一般地震勘探中使用的炸藥震源因為藥量大、埋藏深的原因，球形藥包不易裝藥，工程上往往使用柱形裝藥的方式，其長徑比為10～20，不同的裝藥方式會產生不同的爆腔，進而影響遠場地震波的頻譜特征。

但是由于土介質參數及土壤結構的復雜性，其爆腔范圍不易準確計算。謝多夫[1]提出了理想介質爆腔半徑的計算方法，但該方法由理想空氣介質中的爆炸過程推導而來，在土介質中使用誤差較大。王海亮等[2]、張奇[3]對柱形裝藥爆腔膨脹過程進行了研究，給出了爆腔與裝藥半徑之間的近似倍數關系。王仲琦等[4]對爆炸擠壓黏土產生的密度變化過程進行了數值模擬。目前，針對土中爆炸成腔半徑的理論計算方法有基于爆炸相似理論的半經驗公式[5]、準靜定理論爆炸成腔計算方法[5]、條形裝藥爆破成腔半徑的彈塑性估算[6]、球形裝藥爆腔準靜態模型[7]、柱形裝藥爆腔準靜態預測模型[8]等。但是，半經驗公式和彈塑性估算計算誤差較大；準靜定理論所需參數較多、計算復雜；柱形裝藥爆腔準靜態模型只能計算徑向尺寸，不能計算軸向尺寸。能夠快速給出柱形藥包爆腔特征尺寸的計算方法較少。

在球形裝藥爆腔預測準靜態模型提出之前，柱形藥包爆腔理論計算參數復雜、適用范圍有限，而且利用球形藥包代替作近似計算也較困難[9]。本文中，以球形裝藥爆腔預測準靜態模型為基礎，對長徑比較大的柱形藥包進行近似替代，并給出柱形藥包爆腔和塑性區的特征尺寸，和數值模擬結果進行比較分析，以期研究結果對解決地震勘探工程中柱形藥包的成腔問題起到參考作用。

1 柱形爆腔近似計算方法的建立

1.1 柱形和球形裝藥爆腔預測準靜態模型

土介質相對松軟，在強荷載作用下發生劇烈變形，由于炸藥爆炸產生爆生氣體發生膨脹，當爆炸沖擊波波陣面壓力遠高于土體強度時，土介質顆粒與沖擊波同向位移，水和氣體被擠出形成爆腔。在爆轟過程中，炸藥產生高溫高壓氣體產物并對周圍土介質作用，初始階段爆生氣體產物壓力較高，產生的應力波波陣面壓力遠高于土的屈服極限，土體呈流體性質發生劇烈壓縮變形形成空腔（空腔區），當應力波進入空腔外的土介質中，土體受擠壓吸收能量，應力低于土體破壞極限但高于彈性極限，發生塑性變形（塑性區），隨著應力波在塑性區的吸收、擴散，衰減，應力低于土體彈性極限，土體發生彈性變形（彈性區），應力波變為彈性波。

Drukovanyi 等[8]對土中爆炸特征進行了豐富的研究，并給出了一維柱形藥包爆腔準靜態理論模型。假設柱形藥包和周圍土介質在軸向和徑向都無限延伸，空腔膨脹過程是軸對稱的，切向應力為零，剪切應變和軸向應變也為零，引入黏聚力顆粒狀不可壓縮介質模型[9]，得出爆腔半徑和塑性區半徑。

爆腔半徑為：

塑性區半徑為：

式中：a0為球形藥包半徑，p0為炸藥初始爆壓，γ 為炸藥膨脹指數，f為土介質內摩擦角，c為土介質黏聚力，σ*為土介質抗壓強度，σ0為土介質抗拉強度，μ為拉梅系數(在彈性介質中為剪切模量)。

于成龍等[7]基于一維柱形裝藥準靜態模型建立了球形裝藥爆腔預測準靜態模型，并作出3 種假設條件：(1)巖土介質不可壓縮；(2)炸藥爆炸對巖土介質的改變忽略不計；(3)炸藥爆轟過程和空腔的形成都是瞬時。同時推出球形裝藥爆腔半徑和塑性區半徑。

爆腔半徑為：

塑性區半徑為：

1.2 計算方法

根據上述球形裝藥準靜態模型，利用球形疊加的方式，提出一種計算柱形裝藥爆腔近似方法(假設條件一致)，當柱形裝藥長徑比足夠大時(本文中取長徑比大于等于10)，可近似認為該柱形藥包由n個合適的球形藥包疊加組成。在炸藥性質和質量不變的情況下，應滿足：

（1）柱形藥包和球形藥包總體積相等；

（2）爆轟過程的連續性，球形藥包間距為零；

（3）藥包形狀相近，球形藥包直徑應盡量與柱形藥包直徑相近或相等，球形藥包直徑之和應盡量與柱形藥包長度相近或相等。那么可分為3 種近似替代情況，如圖1 所示。

為便于求解，優先考慮球形藥包直徑之和與柱形藥包長度相等的情況，即圖1(a)的情況：

式中：r1、r2分別為柱形藥包半徑和球形藥包半徑，且2r1＞r2＞r1。

同理，圖1(b)的解為：

圖1(c)的解為：

則柱形藥包爆腔的特征尺寸可用以下公式表示。

爆腔長半軸為：

爆腔短半軸仍為b*。

塑性區長半軸為：

塑性區短半軸仍為b0，其中N代表球形藥包個數n、n+1、n+2 等3 種情況中的某一值。

為比較3 種近似替代情況的合理性，對6 kg TNT 在土中爆炸形成的爆腔進行計算分析。土介質參數[10]為：抗壓強度σ*=13 MPa，抗拉強度σ0=2 MPa，拉梅系數μ=0.147 GPa，內摩擦角f=0.115，黏聚力c=11.8 kPa，密度ρsoil=1 840 kg/m3，體積模量K=245 MPa，剪切模量G=147 MPa，屈服強度σs=22 MPa。

圖1 劃分方式Fig.1 Division methods

根據式(6)～(12)計算得出圖1(a)、(b)、(c)分別對應的球形藥包個數N值為8、9、10，對應的球形藥包半徑分別為47.89、46.05、44.46 mm。根據式(1)、(13)球形藥包近似替代柱形藥包與柱形藥包形成的爆腔[8]計算結果如圖2 所示。

從圖2 的爆腔包絡圖中可以看出，柱形藥包轉球形藥包劃分的球形藥包個數越多，球形藥包的直徑之和越大，形成的爆腔軸向越長，包絡圖越扁長，與一維柱形裝藥準靜態模型半徑相差越大。而N=8 時，兩者爆腔半徑最接近，即按照式(13)計算當N=n時，圖1(a)的近似替代方法較合理，此時b?=189.5 mm，b?n=524.73mm。

圖2 不同N 值的爆腔包絡圖(單位：mm)Fig.2 Burst envelope diagrams at different N values (unit： mm)

2 數值模擬驗證分析

為比較3 種近似替代方法的合理性，使用顯式有限元分析程序AUTODYN 進行二維數值模擬。AUTODYN 可用來解決固體、流體、氣體及其相互作用的高度非線性動力學問題，廣泛應用于沖擊、爆炸等問題的分析研究。本文中，用該軟件模擬土介質材料在不同形狀藥包作用下的成腔過程。

2.1 炸藥爆轟產物狀態方程及參數

炸藥選擇TNT，采用標準JWL 理想爆轟產物狀態方程，其表達式如下：

式中：e為CJ 爆轟能量，C1、C2、R1、R2、ω 為試驗確定常數，V為相對體積。試驗確定常數C1=373.7 GPa，C2=3.747 GPa，R1=4.15，R2=0.90，ω=0.35；炸藥密度ρ=1 650 kg/m3，爆轟速度D=6 930 m/s，CJ 爆轟能量e=6.0 GJ/m3，CJ 壓力pCJ=21 GPa，初始爆壓p0=9.82 GPa。

2.2 土介質物理模型

土介質采用理想彈塑性模型，狀態方程為：

式中：K為土介質的體積模量。

為體現土介質在爆炸作用下的彈塑性變化過程，土介質的強度模型則采用von Mises 強度模型：

式中：σs為土介質的屈服強度，G為介質的剪切模量。

土介質使用1.2 節中所給出的參數。

2.3 幾何模型

取6 kg TNT 炸藥，柱形藥包長徑比為10，按照表1 的2 種方式劃分成柱形和球形藥包進行模擬。對于炸藥及炸藥近區，因網格變形過大，使用Euler 單元網格描述；遠區沖擊波應力低于介質強度極限，變形較小，則使用Lagrange 單元描述；接觸部分使用Euler/Lagrange 耦合算法；土介質遠區使用transmit 完全投射邊界條件，左右對稱軸處使用velocity 條件，x方向速度為零。因爆腔最終結果與藥包起爆點位置無關[11]，爆腔形狀存在對稱性，因此使用四分之一網格進行計算，減少計算量。Euler 單元網格介質尺寸為1 100 mm×500 mm，網格劃分為110×50，Lagrange 單元網格介質尺寸為4 000 mm×4 000 mm，網格劃分為200×200。

根據參考文獻[8]，柱形藥包爆腔近似為橢球型，在二維條件下，用離心率表征比較兩種劃分方式的近似程度，計算得出爆腔特征尺寸。計算結果如表1 和圖3 所示。

表1 兩種藥包形成的爆腔特征尺寸Table 1 Characteristic dimensions of blasting zones formed by two kinds of charge

圖3 兩種藥包形成的爆腔特征尺寸圖(深藍色為爆腔區、淺藍色為塑性區)Fig.3 Characteristic dimensions of blasting zone formed by two kinds of charge(dark blue is the blasting zone and light blue is the plastic zone)

根據爆腔形狀的模擬結果可以看出，柱形藥包形成的爆腔表面較平滑，而等體積分成球形藥包后形成的爆腔帶有輕微的鋸齒結構。該結果主要是因為，球形藥包之間有弧形間隙，導致初始爆炸沖擊波方向不同，并相互疊加不均勻，作用在土介質上形成鋸齒結構。從爆腔尺寸上看，兩種劃分方式形成的爆腔形狀基本一致，均近似為橢圓形，6 kg 柱形藥包等體積劃分為8 個球時，形成的爆腔和塑性區特征尺寸與柱形藥包形成的爆腔和塑性區特征尺寸接近，離心率相差較小，離心率分別為0.380 0、0.708 9，所以按照圖1(a)進行劃分較合理，此時式(14)～(15)中，N=n。球形藥包爆腔的長半軸和短半軸分別約為球形藥包半徑的10.4 倍和5.1 倍，這在實驗得到的空腔半徑約為裝藥半徑的11 倍[11]結果范圍之內；而塑性區長半軸約為爆腔長半軸的1.6 倍，塑性區短半軸約為爆腔短半軸的2.85 倍。

根據一維球形理論計算模型的疊加結果形成的爆腔包絡線和一維柱形理論計算模型的爆腔半徑進行對比如表1 和圖3 所示。N=8 時，一維柱形藥包爆腔理論計算半徑為215.7 mm，一維球形藥包爆腔理論計算半徑為189.5 mm。

由圖3 可以看出，8 個球形藥包近似替代形成的爆腔兩側為鋸齒結構，數值模擬結果與圖2(a)的結果基本一致，其爆腔短半軸比一維柱形爆腔理論半徑略小，相差11.9%。這是因為一維柱形爆腔理論計算為無限長柱，軸向無沖擊波能量傳播，不考慮軸向能量損失，只考慮徑向能量變化，所以對于有限長柱形藥包存在軸向端頭效應使能量向軸向傳輸，實際結果應該更接近球形疊加爆腔尺寸。

由計算結果可以看出，采用8 個球形藥包疊加的近似計算方式得到的結果與柱形藥包模擬計算結果較一致，爆腔長半軸相差1%，短半軸相差5.25%，離心率相差4.29%。結果表明，可以用一維球形藥包理論計算疊加的計算方式來計算二維柱形藥包爆腔特征尺寸，能滿足工程需要。

根據不同的計算方式得出爆腔特征尺寸計算結果見表2。

表2 不同計算方式爆腔特征尺寸計算結果Table 2 Characteristic sizes of blasting cavity calculated by different calculation methods

3 不同藥量、不同長徑比藥包的計算結果分析

按圖1(a)的柱形藥包轉球形藥包劃分方法，利用式(13)～(14)，分別對8、10、12 kg TNT 長徑比為10、12、15、17、20 的情況進行數值模擬和球形藥包疊加形成的爆腔、塑性區特征尺寸及誤差對比分析，結果如圖4～5 所示。

從圖4～5 可以看出，進行球形理論模型疊加后形成的爆腔與柱形藥包數值模擬結果較接近，且理論計算結果小于模擬結果，誤差趨勢隨長徑比的增大而減小，與模擬結果比較：

（1）爆腔長半軸誤差范圍為1.30%～8.75%，短半軸誤差范圍為3.9%～12.2%；

（2）塑性區長半軸誤差范圍為1.7%～6.4%，短半軸誤差范圍為2.6%～7.3%。可以看出，兩者長半軸誤差較小，短半軸誤差略大。

產生誤差的原因主要有兩方面：

（1）理論計算結果的爆腔尺寸未考慮其他藥包徑向和軸向的疊加效果，只考慮端頭藥包的爆腔及塑性區尺寸，且產生塑性區所需沖擊波壓力小于形成爆腔的沖擊波壓力，此時忽略藥包徑向疊加效果會使塑性區短半軸尺寸產生誤差；

（2）炸藥在土介質中爆炸后產生地震波，在自由界面進行反射，反射波對介質的拉伸會進一步擴大爆腔尺寸，而理論計算結果未考慮反射波的影響，結果較小。

同時，相同藥量長徑比越大，按照式(13)～(14)的球形藥包疊加近似計算方法形成的爆腔特征尺寸(爆腔長半軸和短半軸)越接近柱形藥包爆腔的模擬結果，當長徑比較大的時候，球形藥包劃分個數變多，與土介質接觸的側面趨向于一條直線，土介質受到的徑向應力分布的越均衡，更接近柱形藥包爆炸的應力荷載分布。

圖4 不同藥量、不同長徑比情況下，爆腔特征尺寸理論計算結果與數值模擬結果的對比和相對誤差分析Fig.4 Comparison between theoretical calculation results and numerical simulation ones for characteristic dimensions of blasting chambers with different charge mass and different length-to-diameter ratios,and relative error analysis

圖5 不同藥量、不同長徑比情況下，塑性區特征尺寸近似計算結果與數值模擬結果的對比以及相對誤差分析Fig.5 Comparisons between theoretical calculation results and numerical simulation ones for characteristic sizes of plastic zones at different charge mass and different length-to-diameter ratios,and relative error analysis (left)

4 結 論

（1）一維球形裝藥爆腔預測準靜態理論模型能夠利用疊加的方法，近似計算柱形裝藥爆腔的特征尺寸。當球形藥包數N=n、藥柱長徑比在10 及以上時，該計算方法較合理，其爆腔尺寸和塑性區尺寸的計算結果均小于數值模擬結果，誤差較小，在12.2%以內。因此，該方法可以用于爆腔的工程計算。

（2）隨著柱形藥包長徑比的增大，球形疊加模型近似計算結果的精度增高。球形疊加模型近似計算方法適用于長徑比較大的柱形藥包爆腔尺寸及塑性區尺寸的計算，且劃分方式簡單易算，表達式中參數獲取較方便，能夠快速給出工程結果。