平面向量的妙用賞析

■王雯茜

作者單位：湘潭大學數學與計算科學學院數學類韶峰班

向量作為聯系代數與幾何的紐帶，具有幾何形式與代數形式的“雙重身份”，是高中數學的一個重要知識點。下面讓我們來一睹平面向量在解題中的風采吧。

一、利用平面向量妙解平面幾何問題

例1 在平行四邊形A B C D中，已知A D=1，A B=2，對角線B D=2，求對角線A C的長。

解：設。由已知可得|a|=1，|b|=2，|a-b|=2，則(a-b)2=|a-b|2=4，即a2-2a·b+b2=4，1-2a·b+4=4，所以a·。因為|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·，所以即對角線A C的長為

評析：本題依據向量加法運算的平行四邊形法則和減法運算的三角形法則，把平行四邊形的對角線的長轉化為向量的模，再利用向量的運算法則求模長。

二、利用平面向量妙求函數的值域

例2 求函數的值域。則 函 數，其中

解：令向量a=(1，-1)，向量b=

向量b所對應的點位于第一象限或兩坐標軸的正半軸上，且

評析：本題巧妙地將函數解析式轉化為兩個向量的數量積形式，進而再轉化為關于向量夾角的三角函數的值域問題，值得注意的是這類問題中所構造的向量的的模必須是定值。

三、利用平面向量妙求函數的最值

例3 當x為何值時，函數y=有最小值，并求出這個最小值。

解：將原函數變形為，設向量m=(x-2，3)，n=(x-5，-1)，則，當且僅當m與n反向，即時取等號，所以當x=時，所求函數的最小值為5。

評析：本題先構造向量，再利用向量不等式求出函數的最值。向量不等式主要有以下四種：，當且僅當m與n同向時取等號；②，當且僅當m與n反向時取等號；，當且僅當m與n反向時取等號；④當且僅當m與n同向時取等號。

四、利用平面向量妙證不等式

例4 若正數a，b滿足a+b=1，求證：

證明：構造向量m=(a，b)，n=(b，a)，則由，容易得到所以a2+，當a=b時取等號。故原命題成立。

評析：利用向量證明不等式的關鍵是構造適合題意的向量。