求三角函數值域的變換技巧

■范夢媛

求三角函數的值域，一般是將三角函數式化為f(x)=Asin(ω x+φ)+B的形式，然后利用三角函數的有界性求出值域。下面舉例分析，供大家學習與參考。

一、函數f(x)=asinx+bcosx+c型用輔助角公式

例1定義行列式運算a1a4-a2a3，求函數為一個三角形的最小內角)的值域。

解：由行列式的定義可得因為α是三角形的最小內角，所以，所以+所以。故函數f(x)的值域為

二、函數f(x)=asin2x+bsinx+c型用換元法

例2當0＜x＜π時，求函數f(x)=4的值域。

解：函數1)，則。因為0＜u＜1，所以，所以f(u)≥4，即函數f(x)的值域為[4，+∞)。

三、函數f(x)=asin2x+bcos2x+csinxcosx型用降冪公式

例3求函數y=2sin(π-x)·的值域。

解：由題意可得y=2sinxcosx+2 cos2x+4sin2x=sin2x+(1+cos2x)+2(1-即此函數的值域為

例4當a＞4時，求函數f(x)=的最小值。

解。因為0＜x＜π，所以0＜sinx≤1。所以2＜sinx+2≤3。所以，所以，所以故函數f(x)的最小值為

例5求函數的值域。

解，則表示過點P(cosx，sinx)與Q(2，-2)的直線的斜率，其中點P(cosx，sinx)在單位圓x2+y2=1上。令則直線P Q的方程為y+2=k(x-2)，即k x-y-2k-2=0。易知當直線P Q與單位圓x2+y2=1相切時，k取得最值。易得所以函數