利用導(dǎo)數(shù),如何解決函數(shù)與不等式大題

■山東省棗莊二中

在高考題的大題中,每年都要設(shè)計(jì)一道函數(shù)大題。在函數(shù)的解答題中有一類是研究不等式或是研究方程根的情況,基本的題目類型是研究在一個(gè)區(qū)間上恒成立的不等式(實(shí)際上就是證明這個(gè)不等式),研究不等式在一個(gè)區(qū)間上成立時(shí)某個(gè)參數(shù)的取值范圍,研究含有指數(shù)式、對(duì)數(shù)式、三角函數(shù)式等超越式的方程在某個(gè)區(qū)間上根的個(gè)數(shù)等,這些問(wèn)題依據(jù)基礎(chǔ)初等函數(shù)的知識(shí)已經(jīng)無(wú)能為力,就需要根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法進(jìn)行解決。使用導(dǎo)數(shù)的方法研究不等式和方程的基本思路是構(gòu)造函數(shù),通過(guò)導(dǎo)數(shù)的方法研究這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性、極值和特殊點(diǎn)的函數(shù)值,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)推斷不等式成立的情況以及方程實(shí)根的個(gè)數(shù)。導(dǎo)數(shù)的引入,為函數(shù)問(wèn)題的解決提供了操作工具,因此大家入手比較快,但是深入解決函數(shù)與不等式相結(jié)合的題目時(shí),往往一籌莫展,原因是找不到兩者的結(jié)合點(diǎn),不清楚解決技巧。

解這類題技巧如下：

1.樹(shù)立服務(wù)意識(shí)：所謂“服務(wù)意識(shí)”是指利用給定函數(shù)的某些性質(zhì)(一般第一問(wèn)先讓解決出來(lái)),如函數(shù)的單調(diào)性、最值等,服務(wù)于第二問(wèn)要證明的不等式。

2.強(qiáng)化變形技巧：所謂“強(qiáng)化變形技巧”是指對(duì)給出的不等式直接證明無(wú)法下手時(shí),可考慮對(duì)不等式進(jìn)行必要的等價(jià)變形,再去證明。例如采用兩邊取對(duì)數(shù)(指數(shù)),移項(xiàng)通分等等,要注意變形的方向。因?yàn)橐煤瘮?shù)的性質(zhì),所求變形后不等式的一邊需要出現(xiàn)函數(shù)關(guān)系式。

3.巧妙構(gòu)造函數(shù)：所謂“巧妙構(gòu)造函數(shù)”是指根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征,構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的最值進(jìn)行解決。在構(gòu)造函數(shù)的時(shí)候靈活多樣,注意積累經(jīng)驗(yàn),體現(xiàn)一個(gè)“巧妙”。

例1(遼寧省鞍山市2019 屆高三下學(xué)期第一次質(zhì)量檢測(cè))已知函數(shù)f(x)=lnx-ax+b(a,b∈R)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2。

(1)求f(x)的最值;

g'(t)＞0,g(t)在(0,1)上單調(diào)增,g(t)＜g(1)=0,故在(0,1)上恒成立,原不等式得證。

點(diǎn)睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及不等式的證明,屬于難題。不等式證明問(wèn)題是近年高考命題的熱點(diǎn),命題主要是和導(dǎo)數(shù)、絕對(duì)值不等式及柯西不等式相結(jié)合,導(dǎo)數(shù)部分一旦出該類型題往往難度較大,要準(zhǔn)確解答首先觀察不等式特點(diǎn),結(jié)合已解答的問(wèn)題把要證的不等式變形,并運(yùn)用已證結(jié)論先行放縮,然后再化簡(jiǎn)或者進(jìn)一步構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明。

例2(2018 年高考理數(shù)全國(guó)Ⅱ卷)已知函數(shù)f(x)=ex-ax2。

(1)若a=1,證明：當(dāng)x≥0 時(shí),f(x)≥1;

(2)若f(x)在(0,+∞)上只有一個(gè)零點(diǎn),求a的值。

解析：(1)當(dāng)a=1 時(shí),f(x)≥1 等價(jià)于(x2+1)e-x-1≤0。

設(shè)函數(shù)g(x)= (x2+1)e-x-1,則g'(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x。

當(dāng)x≠1時(shí),g'(x)＜0,g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減。

而g(0)=0,故當(dāng)x≥0時(shí),g(x)≤0,即f(x)≥1。

(2)由f(x)=ex-ax2=0,得1-ax2e-x=0。設(shè)函數(shù)h(x)=1-ax2e-x,f(x)在(0,+∞)上只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)h(x)在(0,+∞)上只有一個(gè)零點(diǎn)。

(i)當(dāng)a≤0 時(shí),h(x)＞0,h(x)沒(méi)有零點(diǎn)。

(ii)當(dāng)a＞0時(shí),h'(x)=ax(x-2)e-x。

當(dāng)x∈(0,2)時(shí),h'(x)＜0;當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí),h'(x)＞0。

所以h(x)在(0,2)上單調(diào)遞減,在(2,+∞)上單調(diào)遞增。

①若h(2)＞0,即在(0,+∞)上沒(méi)有零點(diǎn);

②若h(2)=0,即在(0,+∞)上只有一個(gè)零點(diǎn);

③若h(2)＜0,即,由于h(0)=1,所以h(x)在(0,2)上有一個(gè)零點(diǎn)。

故h(x)在(2,4a)上有一個(gè)零點(diǎn),因此h(x)在(0,+∞)有兩個(gè)零點(diǎn)。

綜上,f(x)在(0,+∞)上只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)

點(diǎn)睛：此題是已知區(qū)間上有零點(diǎn),求參數(shù)的范圍問(wèn)題。往往因?yàn)楹谐胶瘮?shù)式的函數(shù)圖像較為復(fù)雜,也沒(méi)有固定的形狀特點(diǎn),所以解題時(shí)比較困難。

可以從兩個(gè)方面去思考：

(1)根據(jù)區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)情況,估計(jì)出函數(shù)圖像的大致形狀,從而推導(dǎo)出導(dǎo)數(shù)需要滿足的條件,進(jìn)而求出參數(shù)滿足的條件;

(2)也可以先求導(dǎo),通過(guò)求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)情況,再依據(jù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)情況,推導(dǎo)出函數(shù)本身需要滿足的條件,此時(shí),由于函數(shù)比較復(fù)雜,常常需要構(gòu)造新函數(shù),借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等,層層推理得解。

例3(2017全國(guó)Ⅲ卷文科第21題)已知函數(shù)f x（）=lnx+ax2+（ 2a+1）x。

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)a＜0時(shí),證明

點(diǎn)睛：求解導(dǎo)數(shù)中的不等式證明問(wèn)題可考慮：(1)首先通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,再利用單調(diào)性進(jìn)行證明;(2)根據(jù)不等式結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù),通過(guò)求導(dǎo)研究新函數(shù)的單調(diào)性或最值來(lái)證明。

例4(2017年高考新課標(biāo)Ⅰ卷文數(shù)第21題)

已知函數(shù)f(x)=ex(ex-a)-a2x。

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若f(x)≥0,求a的取值范圍。

解析：(1)分a=0,a＞0,a＜0分別討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)分a=0,a＞0,a＜0分別解f(x)≥0,從而確定a的取值范圍。

(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞,+∞),f'(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a)。

①若a=0,則f(x)=e2x,在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增。

②若a＞0,則由f'(x)=0,得x=lna。

當(dāng)x∈(-∞,lna)時(shí),f'(x)＜0;當(dāng)x∈(lna,+∞)時(shí),f'(x)＞0。所以f(x)在(-∞,lna)上單調(diào)遞減,在(lna,+∞)上單調(diào)遞增。

③若a＜0,則由f'(x)=0,得x=

(2)①若a=0,則f(x)=e2x≥0。

②若a＞ 0 ,則由(1)得,當(dāng)x=lna時(shí),f(x)取得最小值,最小值為f(lna)=-a2lna。從而當(dāng)且僅當(dāng)-a2lna≥0,即a≤1時(shí),f(x)≥0。

③當(dāng)a＜0 ,則由(1)得,當(dāng)x=時(shí),f(x)取得最小值,最小值為從而當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),f(x)≥0。

綜上,a的取值范圍為

點(diǎn)睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的兩大方面的應(yīng)用：(1)函數(shù)單調(diào)性的討論,運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來(lái)討論函數(shù)單調(diào)性時(shí),首先考慮函數(shù)的定義域,再求出f'(x),由f'(x)的正負(fù),得出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)函數(shù)的最值(極值)的求法,由確認(rèn)的單調(diào)區(qū)間,結(jié)合極值點(diǎn)的定義及自變量的取值范圍,得出函數(shù)f(x)極值或最值。