淺談向量在求角問題中的應用

■重慶市鐵路中學校

立體幾何中涉及的角很多,線線角、線面角、面面角等,它是立體幾何中的一個難點。若用向量的方法解決此類問題,則解題思路簡捷。本文就向量在求角問題中常用的一些方法舉例說明,供同學們參考。

一、求異面直線所成角(0°＜θ≤90°)

設a,b分別為異面直線a,b的方向向量,利用兩向量夾角的余弦公式：

例1如圖1,在五面體ABCDEF中,FA⊥平面ABCD,AD∥BC∥FE,AB⊥AD,M為EC的中點,AF=AB=BC=,求異面直線BF與DE所成的角的大小。

圖1

解析：如圖2 所示,建立空間直角坐標系,點A為坐標原點。

圖2

所以異面直線BF與DE所成的角的大小為60°。

點評：如果用傳統的立體幾何方法求BF與DE所成角的余弦值,需用平移的方法來找線線角,解三角形則是非常復雜的,而像這樣采用向量的方法求解則顯得比較新穎直觀。

練習：在四棱錐P-ABCD中,底面AB-CD為矩形,側棱PA⊥底面ABCD,AB=,E為PD的中點,求直線AC與PB所成角的余弦值。

所以AC與PB所成角的余弦值為

圖3

二、求直線與平面所成角(0°≤θ≤90°)

設a是直線l的方向向量,n是平面α的法向量,直線l與平面α所成的角為θ,則

例2如圖4,在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=60°,∠BCA=90°,點D、E分別在棱PB、PC上,且DE∥BC。

圖4

(1)求證：BC⊥平面PAC;

(2)當D為PB的中點時,求AD與平面PAC所成角的余弦值。

解析：如圖5,以A為原點建立空間直角坐標系A-xyz。

圖5

(1)因為,所以

又因為∠BCA=90°,所以BC⊥AC。

因此,BC⊥平面PAC。

(2)因為D為PB的中點,DE∥BC,所以E為PC的中點。

又由(1)知,BC⊥平面PAC,則DE⊥平面PAC,垂足為點E。

∠DAE是AD與平面PAC所成的角。

故AD與平面PAC所成角的余弦值為

點評：建立空間坐標系研究空間圖形,宜從實際圖形出發,合理選好坐標軸,可使點、線的表示簡化,運算簡明快捷。選坐標軸可充分利用所討論的空間圖形的已有直線的關系和性質,如垂直關系或對稱性質等等。

練習：已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是CC1的中點,求BE與平面BB1D所成的角的余弦值。

解析：如圖6,建立空間直角坐標系,并設正方體的棱長為2, 則D(0,0,0),B(2,2,0,),B1(2,2,2),E(0,2,1)。

圖6

設y=1,則n=(―1,1,0)。

故BE與平面BB1D所成的角的余弦值為

練習：正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長是a,側棱長是, 求AC1與側面ABB1A1所成的角。

圖7

三、求兩個平面的二面角(0°≤θ≤180°)

在平面角為θ的二面角α-a-β中,m,n分別為α,β的法向量,則θ與相等或互補,

例3如圖8,在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD中,底面ABCD為等腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E、E1、F分別是棱AD、AA1、AB的中點。

圖8

(1)證明：直線EE1∥平面FCC1;

(2)求二面角B-FC1-C的余弦值。

解析：(1)因為AB=4,BC=CD=2,F是棱AB的中點,所以BF=BC=CF,△BCF為正三角形。 因為ABCD為等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°。取AF的中點M,連接DM,則DM⊥AB,所以DM⊥CD。

圖9

點評：用向量法求二面角的大小,首先求出兩個半平面所在平面的法向量,然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小,但要注意結合實際圖形判斷所求角的大小。

練習：如圖10,在四棱錐V-ABCD中,底面ABCD是正方形,側面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD。

(1)證明：AB⊥平面VAD;

(2)求二面角V-AD-B的余弦值。

解析：(1)因為平面VAD⊥底面ABCD,平面VADB平面ABCD=AD,且AB⊥AD,ABC平面ABCD,所以AB⊥平面VAD。作AD的中點O,則VO⊥底面ABCD。建立如圖10 空間直角坐標系,并設正方形邊長為1,則

圖10

小結：通過用向量的方法處理立體幾何中有關角的問題,我們可以看出它確實比用傳統的幾何方法解決問題有許多優越性。因此,我們應該熟練靈活地應用向量這一工具,快而準地解決立體幾何中有關角的問題。