全國名校導(dǎo)數(shù)測試卷（A卷）答案與提示

一、選擇題

1.B 2.B 3.B 4.D 5.A 6.B 7.B 8.B 9.C 10.D 11.D 12.C 13.C 14.B 15.A 16.D 17.A 18.C 19.B 20.C 21.B 22.B 23.D 24.B 25.B 26.D 27.C 28.A 29.A 30.A 31.A 32.D 33.B 34.B 35.B 36.D

二、填空題

三、解答題

57.(1)g(x)的定義域為,且令h(x)=3+2xlnx,則h'(x)=2(1+lnx)。

(2)由題意知f'(x)=1+lnx-a+2a(x-1)=1+lnx+2ax-3a。

令k(x)=1+lnx+2ax-3a。

因為a＞0,所以k(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。

在(0,x0)上,f'(x)＜0,f(x)是減函數(shù);在(x0,+∞)上,f'(x)＞0,f(x)是增函數(shù)。

所以f(x)的最小值是f(x0),其中x0滿足f'(x0)=0,即1+lnx0+2ax0-3a=0。

因此,f(x0)=x0lnx0-ax0+1+a(x0-1)2=x0(3a-1-2ax0)-ax0+1+a(x0-1)2=(1-x0)(a+ax0+1)。

①當(dāng)x0=1,即a=1時,f(x)的最小值為0,此時f(x)有一個零點。

由g(x)的單調(diào)性,可得0＜a＜1。

③當(dāng)1＜x0＜e時,f(x0)＜0,f(x)有兩個零點。

又a＞0,所以

由g(x)的單調(diào)性,可得a＞1。

綜上所述,當(dāng)0＜a＜1 時,f(x)沒有零點;當(dāng)a=1時,f(x)只有一個零點;當(dāng)a＞1時,f(x)有兩個零點。

58.(1)當(dāng)f(x)≤0 時,由ax-1-xlnx≤0,得

當(dāng)h'(x)＞0時,x＞1;當(dāng)h'(x)＜0時,0＜x＜1。

故h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,h(x)min=h(1)=1。

故a≤1。59.(1)由題得f(x)的定義域為(0,+∞)。

當(dāng)x∈(0,2)時g'(x)＞0,g(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)x∈(2,+∞)時,g'(x)＜0,g(x)單調(diào)遞減。

令f'(x)＞0,即1-lnx＞0,解得0＜x＜e;

令f'(x)＜0,即1-lnx＜0,解得x＞e。

故f(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,+∞)單調(diào)遞減。

則2 0182019＞2 0192018。

(2)不妨設(shè)x2＞x1＞0,由條件知g(x2)=g(x1)=0?lnx2-kx2=lnx1-kx1=0。

整理得lnx1+lnx2=k(x1+x2),lnx1-lnx2=k(x1-x2)。

要證x1·x2＞e2,只需要證lnx1+lnx2＞2,也即證k(x1+x2)＞2。

當(dāng)x∈(-1,0)時,h'(x)＞0,h(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(0,+∞)時,h'(x)＜0,h(x)單調(diào)遞減。所以h(x)max=h(0)=0。

故h(x)≤h(x)max=0,即f(x)≤g(x)。

(2)由(1)可知ln(x+1)≤x對任意的x∈(-1,+∞)恒成立。

62.(1)由題知f'(x)=-e1-x(-a+cosx)-e1-xsinx=-e1-x(sinx+cosx-a)。

因為函數(shù)y=f(x)在[0,π]內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間,所以在區(qū)間[0,π]內(nèi)存在區(qū)間使得f'(x)=-e1-x(sinx+cosx-a)＞0成立。

也即sinx+cosx-a＜0能成立。

要證原不等式成立,只要證ex+2-2e1-x·(sinx+cosx)＞0,也即證：

ex+2＞2e1-x(sinx+cosx)。

63.(1)由f(x)=x2(6lnx-4x+6a-3),x∈(0,+∞),得f'(x)=12x(lnx-x+a)。

函數(shù)f(x)有兩個極值點等價于f'(x)=0在(0,+∞)上有兩個不同零點,等價于lnx-x+a=0在(0,+∞)上有兩個不同根。

令g(x)=lnx-x+a,則

當(dāng)x∈(0,1)時,g'(x)＞0,g(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)x∈(1,+∞)時,g'(x)＜0,g(x)單調(diào)遞減。

所以g(x)max=g(1)=a-1。

當(dāng)a≤1 時,g(x)≤0 恒成立,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,不可能有兩個極值點,應(yīng)舍去。

當(dāng)a＞1時,e-a∈(0,1),ea∈(1,+∞),g(e-a)=-e-a＜0,g(ea)=2a-ea＜0,g(1)＞0。

由零點存在性定理得g(x)在(0,1)和(1,+∞)內(nèi)分別存在一個變號零點,此時f(x)有兩個極值點。

綜上,所求a的取值范圍為(1,+∞)。

(2)因為x1,x2(x1＜x2)是f(x)的兩個極值點,所以a＞1,且g(x1)=g(x2)。

由x2-2x-2＜0 在0＜x＜1 恒成立,得0＜x＜1時,h'(x)＜0,h(x)單調(diào)遞減。

又h(1)=0,所以0＜x＜1 時,h(x)＞0,即