直擊樣本的數字特征的交匯問題

■王佩其

大家知道,樣本的數字特征主要包括樣本的眾數,中位數,平均數,方差(標準差),它是統計知識的一個核心考點。高考對樣本的數字特征的考查往往是與其他知識相結合,以交匯題的形式出現的。下面舉例說明,供同學們參考。

一、與頻率分布直方圖的交匯

例1某校初三年級有400名學生,隨機抽查了40名學生測試1min仰臥起坐的成績(單位：次),將數據整理后繪制成如圖1所示的頻率分布直方圖。用樣本估計總體,下列結論正確的是( )。

圖1

A.該校初三學生1min仰臥起坐的次數的中位數為25

B.該校初三學生1min仰臥起坐的次數的眾數為24

C.該校初三學生1min仰臥起坐的次數超過30的人數約有80

D.該校初三學生1min仰臥起坐的次數少于20的人數約為8

解：因為第一組數據的頻率為0.02×5=0.1,第二組數據的頻率為0.06×5=0.3,第三組數據的頻率為0.08×5=0.4,所以中位數在第三組內。設中位數為25+x,則x×0.08=0.5-0.1-0.3=0.1,故x=1.25,可得中位數為26.25,A錯誤。第三組數據所在的小矩形最高,第三組數據的中間值為27.5,所以眾數為27.5,B錯誤。1min仰臥起坐的次數超過30的頻率為0.04×5=0.2,所以超過30次的人數為400×0.2=80,C正確。1min仰臥起坐的次數少于20的頻率為0.02×5=0.1,所以1min仰臥起坐的次數少于20的人數為400×0.1=40,D錯誤。應選C。

頻率分布直方圖與眾數,中位數,平均數的關系：最高的小矩形底邊中點的橫坐標為眾數;中位數左邊和右邊的小矩形的面積之和是相等的;平均數是頻率分布直方圖的“重心”,它等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和。

二、與莖葉圖的交匯

例2已知某選手的9個得分,去掉1個最高分,去掉1個最低分,7個剩余分數的平均分為91。現場制作的9個分數的莖葉圖后來有1個數據模糊,無法辨認,在圖2中用x表示,則7個剩余分數的方差為

圖2

解：由莖葉圖可知,去掉的兩個數是87和99,所以87+90×2+91×2+94+90+x=91×7,解得x=4,可得這個模糊數據為94,故7個剩余分數的方差s2=[(87-91)2+(90-91)2×2+(91-91)2×2+(94-91)2×2]=

莖葉圖既可以表示兩組數據,也可以表示一組數據,用它表示的數據是完整的數據,因此可以從莖葉圖中看出數據的眾數(數據中出現次數最多的數)、中位數(中間位置的一個數,或中間兩個數的平均數)等。

三、與優化決策問題的交匯

例3甲、乙兩人在相同條件下各射擊10次,每次中靶環數情況如圖3所示。

圖3

(1)請填寫表1中的數據,并寫出計算過程。

表1

(2)從下列三個不同的角度對這次測試結果進行分析。

①從平均數和方差相結合看(分析誰的成績更穩定);②從平均數和命中9環及9環以上的次數相結合看(分析誰的成績好些);③從折線圖上兩人射擊命中環數的走勢看(分析誰更有潛力)。

解：(1)由圖3可知,甲射擊10次中靶環數分別為9,5,7,8,7,6,8,6,7,7,將它們由小到大排列為5,6,6,7,7,7,7,8,8,9。

乙射擊10次中靶環數分別為2,4,6,8,7,7,8,9,9,10,將它們由小到大排列為2,4,6,7,7,8,8,9,9,10。

由此可填表如表2所示。

表2

(2)①因為平均數相同,且s2甲＜s2乙,所以甲成績比乙穩定。

②因為平均數相同,命中9環及9環以上的次數甲比乙少,所以乙成績比甲好些。

③因為甲成績在平均數上下波動,而乙處于上升勢頭,從第三次以后的射擊環數就沒有比甲少的情況發生,所以乙更有潛力。

用樣本估計總體就是利用樣本的數字特征來描述總體的數字特征。平均數反映了數據取值的平均水平;方差(標準差)描述了一組數據圍繞平均數波動的大小。方差(標準差)越大,數據的離散程度越大,越不穩定;方差(標準差)越小,數據的離散程度越小,越穩定。

圖4是某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場比賽得分的莖葉圖,則甲、乙兩人比賽得分的中位數之和是

圖4

提示：由莖葉圖可知,甲比賽得分的中位數為28,乙比賽得分的中位數為36。

所以甲、乙兩人比賽得分的中位數之和為28+36=64。