例析頻率分布直方圖中的問題

■張 鋼 張啟兆

頻率分布直方圖中的相關(guān)問題是高考的熱點問題,那么,頻率分布直方圖中到底涉及哪些問題,又如何求解呢?下面舉例分析,供同學們學習與提高。

例1(2018年高考全國卷)某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)(單位：m3)和使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù),得到了頻數(shù)分布表分別如表1,2所示。

表1

表2

(1)作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖。

(2)估計該家庭使用了節(jié)水龍頭后,日用水量小于0.35m3的概率。

(3)估計該家庭使用節(jié)水龍頭后,一年能節(jié)省多少水?(一年按365天計算,同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間的中點值作代表)

解：(1)由題意畫出頻率分布直方圖,如圖1所示。

圖1

(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù),該家庭使用了節(jié)水龍頭后50天日用水量小于0.35m3的頻率為0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48,因此該家庭使用了節(jié)水龍頭后日用水量小于0.35m3的概率的估計值為0.48(頻率的近似值可視為概率)。

估計使用節(jié)水龍頭后,一年可節(jié)省水(0.48-0.35)×365=47.45(m3)。

評注：本題主要考查頻率分布直方圖的繪制,考查利用樣本估計總體以及對數(shù)據(jù)的處理能力。通過本題的解析,可以得到頻率分布直方圖中所涉及的3個注意點：①在畫頻率分布直方圖時,一定要注意縱軸表示的②求某一范圍內(nèi)的頻數(shù)或頻率(概率),只需將這一范圍內(nèi)的頻數(shù)或頻率相加即可。③眾數(shù)是最高矩形底邊中點橫坐標所對應(yīng)的數(shù)據(jù),它表示樣本數(shù)據(jù)的中心值;中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)按從小到大(或從大到小)的順序依次排列,處在中間位置的一個數(shù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)),在頻率分布直方圖中,中位數(shù)左邊和右邊的直方圖面積相等,由此可估計中位數(shù)的值,但有偏差;樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)等于每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和。

例2某市組織高一全體學生參加計算機操作比賽,比賽成績等級分為1至10分,隨機調(diào)閱了A,B兩所學校各60名學生的成績,得到樣本數(shù)據(jù)A校的條形圖(如圖2)和樣本數(shù)據(jù)B校的統(tǒng)計表(如表3)。

圖2

表3

(1)計算兩校樣本數(shù)據(jù)的均值和方差,并根據(jù)所得數(shù)據(jù)進行比較。

(2)從A校樣本數(shù)據(jù)成績分別為7分,8分和9分的學生中按分層抽樣方法抽取6人,若從抽取的6人中任選2人,求這2人成績之和大于或等于15的概率。

解：(1)由A校樣本數(shù)據(jù)的條形圖可知,成績分別為4分,5分,6分,7分,8分,9分的學生分別有6人,15人,21人,12人,3人,3人。

所有基本事件為ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef,共15種情況,其中滿足條件的基本事件為ae,af,be,bf,ce,cf,de,df,ef,共9種情況,所以從抽取的6人中任選2人,這2人成績之和大于或等于15的概率為

評注：本題主要考查平均數(shù)、方差的求法。理解頻率分布直方圖中常用的幾個等量關(guān)系是解決這類問題的關(guān)鍵,頻率分布直方圖中常用的7個等量關(guān)系：①頻率=