穩態法測量導熱系數面積修正誤差分析

程德勝，張 輝，馬書炳，王申浩, 鮑莉娜

(陸軍炮兵防空兵學院 物理教研室,安徽 合肥 230031)

導熱系數是表征物質熱傳導性質的物理量. 材料結構的變化與所含雜質的不同對材料導熱系數都有明顯的影響，因此材料的導熱系數常需實驗具體測定. 測量導熱系數的實驗方法一般分為穩態法與動態法. 在穩態法中，利用熱源對樣品加熱，適當控制實驗條件和實驗參量使加熱和傳熱過程達到平衡狀態，通過測量同等條件下散熱盤的散熱率并進行面積修正計算出物體的導熱系數，而面積修正系數的取舍對導熱系數的測量有很大影響，本文從數值模擬的角度分析面積修正系數對導熱系數測量的影響，為實驗教學提供參考依據.

1 穩態法測量不良導體導熱系數原理

1.1 傅里葉熱傳導方程

傅里葉熱傳導方程正確地反映了材料內部的熱傳導的基本規律. 該方程式指出：在物體內部，垂直于熱傳導方向彼此相距h，溫度分別是T1和T2(T1>T2)的2個平行平面之間，當平面的面積為S時，單位時間δt內通過該面積的熱量δQ為

(1)

式(1)中δQ/δt為熱流量與傳熱面積S、溫度差T1-T2成正比，與距離h成反比，其比例系數即為導熱系數λ，它只與材料性質有關，其單位是W/(m-1·K-1).

1.2 實驗中用穩態平板法測不良導體的導熱系數的原理

實驗裝置的原理如圖1所示,發熱盤A連接電爐提供加熱熱流，散熱盤P對外自由散熱，散熱盤P和發熱盤A之間夾著圓形待測樣品B，其上、下表面溫度分別由安插在A和P盤側面深孔中的溫度傳感器測量.

圖1 穩態法測量導熱系數實驗原理示意圖

由式(1)可知，當樣品的厚度足夠薄，樣品側面散熱量相對截面的熱傳導可忽略不計，單位時間內通過待測試樣B的任一圓截面的熱流量為

(2)

式中：hB為樣品厚度，rB為圓盤樣品的半徑. 當傳熱達到穩定狀態時(穩態)，T1和T2值不變，此時樣品內有穩定的溫度梯度，對于樣品內的任一圓截面及銅盤A和P來說，單位時間內流入的熱量等于流出的熱量. 對銅盤P，單位時間內流出的熱量即為向周圍環境散熱的速率，單位時間內流入的熱量即為熱流量δQ/δt. 因此可通過P盤在穩定溫度T2時的散熱速率求熱流量.

(3)

式(3)中a為溫度為T2的銅盤P在環境溫度為T0條件下的表面換熱系數. 為此，穩態時銅盤P的散熱速率的表達式應作面積修正：

(4)

將式(4)代入式(2)即得

(5)

2 穩態法散熱面積修正誤差分析

實驗測量中，穩態時散熱P盤的側面和下表面在散熱，上表面與樣品接觸處于穩態溫度沒有散熱；而在移去樣品測量散熱盤相同條件下冷卻速率時，P盤的散熱面為上、下表面和側面共3個面. 散熱面積修正的假定條件是散熱P盤的3個面的冷卻速率相同，直接進行面積修正得到物體的導熱系數. 然而實際情況是由于風扇的鼓風，散熱盤的3個面周圍空氣的擾動不同，因此3個側面與空氣的熱傳遞有差異，直接假定各個面的冷卻速率相同進行面積修正有一定的誤差，本文利用計算流體軟件CFD數值模擬的方法計算冷卻盤3個側面的冷卻速率的差異.

2.1 數值模型和邊界條件

根據導熱系數測定儀的散熱盤以及樣品的結構尺寸，建立如圖2所示的三維計算模型，模型對實驗裝置進行了簡化建模. 其中風扇作為空氣的速度入口邊界，入口直徑為10 cm，入口通道高度為2.5 cm，散熱銅盤距離風扇入口9 cm，銅盤的直徑為13 cm，厚度為0.7 cm，外圍的空氣建立以風扇出口中心為圓形的半球體，直徑為10倍的銅盤直徑130 cm，出口邊界使用無窮遠邊界，環境溫度為20 ℃，壓強為101 325 Pa，空氣為理想氣體，銅盤的密度為8 978 kg/m3，比熱為381 J/(kg·K)，導熱系數為387.6 W/(m·K),輻射系數為0.70，在實驗溫度范圍內假定銅盤的材料屬性不發生變化.

圖2 散熱盤散熱的三維數值模型

模型使用CFD軟件劃分三維數值模擬網格，在散熱盤周圍的網格為加密網格，遠場網格相對稀疏，從而提高計算精度，節省計算時間，計算模型網格數量為573.2萬，模型采用SIMPLE算法，湍流模型為Realizable K-ε兩方程模型，計算采用瞬態求解方法，時間步長為0.001 s. 因為實驗穩態平衡時測得散熱盤的溫度為34.1 ℃，在數值模擬計算時散熱圓盤的初始溫度設為44 ℃，高于平衡態10 ℃，在風扇入口速度為1 m/s的風速下進行強迫對流冷卻，重點監控(34.1±2) ℃時散熱盤3個表面的熱流密度.

2.2 數值模擬的結果討論

圖3為計算模型垂直剖面的數值模擬云圖分布. 從圖3(a)可以看出散熱盤銅盤通過風扇鼓風強迫對流冷卻，周圍的空氣溫度比風扇入口的溫度有了明顯上升，大部分區域溫度約為20.40 ℃，但散熱盤周圍的空氣溫度各個方向分布是不均勻的，散熱盤下表面正對冷卻來流，溫度接近入口溫度，散熱盤上表面以及上方區域溫度相對低，大致為20.15 ℃. 從圖3(b)可以得到風扇入口的強迫對流冷卻風吹向散熱盤后，氣流向周圍對流擴散，在散熱的周圍的對流空氣中，散熱盤的下邊緣的對流空氣流速最大，達到1 m/s左右，散熱盤的下表面中心和上表面的空氣對流速度相對較小，只有0.01 m/s左右. 從數值模擬分布的云圖可以得到穩態法測量導熱系數時，散熱銅盤周圍的空氣流速和溫度分布都不同，對流換熱強弱的主要影響因素包括物體周圍的冷卻劑的流動狀態和溫度分布，因此需要考慮散熱盤不同方向上的散熱效率的各向異性.

(a)溫度分布云圖

(b)速度分布云圖圖3 數值模擬云圖

(a)隨時間變化曲線

(b)隨溫度度變化曲線圖4 散熱盤表面熱流密度變化曲線

圖4為散熱銅盤強迫對流冷卻時各個表面的平均熱流密度變化曲線圖. 從圖4(a)和(b)可以看出，散熱盤的表面熱流密度隨著散熱盤溫度的下降是減小的，但是3個表面的平均熱流密度的大小并不相同，特別是上表面的平均熱流密度還不到下表面熱流密度的一半. 因此在進行散熱速率等效時需要考慮各個表面散熱的熱流密度的差異.

2.3 導熱系數計算公式修正

從圖4散熱銅盤表面的散熱熱流密度的變化曲線可看出，雖然各個表面的散熱熱流密度的大小差異很大，但散熱盤的3個表面的平均熱流密度變化曲線幾乎是直線，因此，在實驗的測量時間間隔內各個表面的熱流密度變化可看成線性變化. 根據采樣的數據對3個表面的熱流密度隨溫度變化曲線進行擬合，得到曲線的擬合公式為

(6)

式(6)中T為散熱盤的溫度，從擬合得到散熱熱流密度的斜率可以看出3個表面的散熱速率不同，其中下表面的散熱速率最大，上表面散熱速率最小. 由于數值模擬的環境溫度為20 ℃，不同的環境溫度下冷卻的散熱熱流密度不同，因此對式(6)進行環境溫度修正，得到：

(7)

式(7)中Tf為實驗室環境溫度，利用式(7)對導熱系數的求解式(5)進行修正，得到：

(8)

3 結 論

物理實驗教學中利用穩態法測量不良導體的導熱系數假定散熱盤各個表面散熱效率相同，計算得到的導熱系數存在較大誤差，本文利用數值模擬的方式計算得到散熱盤在強迫對流換熱過程中，散熱盤不同表面的平均散熱熱流密度的差異：

1) 散熱盤各表面周圍空氣的溫度和空氣流速不相同，導致各表面的散熱的熱流密度并不相同，其中，下表面散熱熱流密度最大，其次是散熱盤四周表面，最小的是散熱盤上表面；

2) 散熱盤的散熱效率隨著散熱盤的溫度下降而降低，從擬合的曲線斜率來看，散熱效率隨溫度降低的速率最大的是上表面，最小的是上表面；

3) 根據數值模擬的結果，擬合得到不良導體導熱系數的修正公式，考慮到散熱盤各表面散熱效率的差異，減小了實驗測量誤差.