一元三次多項式函數極值點的極值
——拉氏乘數法和Mathematica 的全面實現

徐瀝泉，史立新，周公賢

（1.無錫市教科院，無錫214001；2.無錫華羅庚研究會，無錫2140003）

0 引言

本文系2009 年一道高考全國卷數學試題壓軸題所引發的思考。先看題目的表述：

文獻[1-3]，都涉及到對2009 年全國卷I（理）22 題（下稱考題）的研究與評論。題目是這樣的：

設函數f(x)=x3+3bx2+3cx 有兩個極值點x1和x2，且x1∈[- 1，0]，x2∈[1 ，2]。

（I）求b、c 滿足的約束條件，并在坐標平面內，畫出滿足這些條件的點( b， c )的區域；

（II）證明：-10 ≤f( x2)≤-1/2。

略解（I）由題意推出b、c 的約束條件為：

滿足這些條件的點( b， c )的區域為圖1 中陰影部分并含其邊界。

由于命題者對（II）的標準答案所給出的證明（此處從略）是“消去了系數b”而推出的。

結果；于是就有文獻[1]的質疑：“為什么不消去c”？進而又有文獻[2]和文獻[3]等爭鳴與評論。其實，“消b”正是運用了關系式f( x2，b ( c， x2))；而“消c”是運用了關系式f( x2，c ( b， x2))。由題設，點( b， c )雖約束在區域φ( b，c )中，但它們卻可以是其中的任意一個點。實際上，這個看似關于要求f( x2)的一元三次多項函數的極值，卻是一個關于二元函數在平面區域φ( b，c )下的條件極值問題。因為，x2是f'( x2)=3x22+6bx2+3c 的根，且x2∈[1 ，2]，故

圖1

一般說來，對諸如此類條件極值問題的處理，中學生只能運用一些特殊的解法，而大學生則會自然而然地運用一般的方法，即拉氏乘數法去求解[4]。但作為一個中學數學教師，不僅應該通曉初等數學，而且也應該了解其高等數學背景。尤其是高考試題中的那些把關題和壓軸題，都具有明顯的高等數學背景，它們對以后進一步深造來說是非常必須的，具有較好的選拔功能，同時也具有導學和導教功能。對這些問題，教師本身在思想上沒有個底，要在平時引導學生獲得較高的數學素養是困難的，而要在高考時轉化為學生在考場上的能力更是不可能的。

F.克萊因（Felix Christian Klein，1849～1925）強調要用近代數學的觀點來改造傳統的中學數學內容，倡導“高觀點下的初等數學”意識。在克萊因看來，基礎數學的教師應該站在更高的視角（高等數學）來審視、理解初等數學問題，只有觀點高了，事物才能顯得明了而簡單；有許多初等數學的現象只有在非初等的理論結構內才能深刻地理解。他的名著《高觀點下的初等數學》，對我國從事數學學習和數學教育的廣大讀者具有較好的啟示作用[5]。用拉氏乘數法并借助數學軟件Mathematica 來審視這道高考壓軸題，不僅不會有上述的質疑和爭鳴，而且還能深刻地理解命題人是如何給出這道考題的題設條件的。

盡管多元函數求極值計算量較大，很多情況下手動計算難以實現。但應用數學軟件不僅極大地降低了多元函數極值問題的求解難度，提高了教學效率，而且還能激發學生的學習興趣，進而提高學生利用數學知識解決實際問題的能力。

以下介紹使用拉氏乘數法和Mathematica 對此問題的實現[6-8]。

1 預備定理（一元三次多項式函數的極值點公式）

先引入一元三次多項式函數的極值點公式。如所知，關于x 的一元三次多項式的一般形式為f(x)=ax3+bx2+cx+d，其中a、b、c、d ∈R，是多項式f(x )的系數，確保f(x )是3 次多項式。

證明：我們先考慮形如f(x)=x3+cx 的較為簡單情形。顯然，當c ≥0 時，恒有：

f'(x)=3x2+c ≥0，故f(x )在( -∞ ， +∞ )上是增函數，無極值點；而當c<0，且x ∈( 0， +∞)時，

下面，我們考慮一般情形，不妨設：

a=1，f(x)=x3+bx2+cx+d。

否則只要改變項的系數而已?？紤]等價式：

右邊的導函數為：

2 極值點的極值

對于常系數的一元三次多項式，它的極大值點和極小值點是確定的、固定的，其本身并無極值可言；然而，對變系數的一元三次多項式，隨著它們的系數在某一個范圍內變化，它的極值點也隨之改變，相對前者而言的常數已成為變量，因而就有所謂的極值存在。

下面，我們利用數學軟件Mathematica 給出那道考題的動態圖像，指令為：

Manipulate[Plot[x^3+3*b*x^2+3*c*x，{x，-2，2}，Plot Range→All]，{{b，-1}，-1，0}，{{c，-2}，-2，0}]

它表示f(x )的系數b、c 可以在區間b ∈[- 1， 0] 和c ∈[- 2， 0] 上變動，只需滑動圖2 左上方b、c 軸上的小方塊，就可以得到你所需的狀態圖，圖2 和3 給出的是當b、c 都在初始時刻和取中時刻的圖像。

圖2 b，c在初始時刻

圖3 b，c在取中時刻

圖4

圖5 f(x)min=-10

從上面圖像也可以看出，當b、c 在給定范圍內變化時，f(x )的2 個極值點落入區間[- 1， 0] 和[1 ， 2]。由此可見，那道高考壓軸題的題設條件可由此得來。

那么，一般說來，如何求出變系數一元三次多項式函數極值點的極值呢？仍以f(x)=x3+3bx2+3cx 為例，請看下文。

3 拉格朗日乘數法和Mathematica的實現

由上述定理知，函數：

現要求函數：

簡記為f(b，c)()1。

完全類似地，由二元函數：

簡記為f(b，c)(2)。

我們可以考慮另一個極值點x1的最值f( x1)，當然也是在區域Φ( b，c )上。這里在( b，c )∈[- 10 ，10] 時 我們給出它們的圖像，圖6 和圖7，姑且稱之為立方拋物面。

圖6

圖7

圖6 和圖7 的Mathematica 指令分別為：

則：

兩式相減并化簡，得：

兩邊可約去x2并代回它和式（1），得：

化簡后得：

不合題意，故f 在區域Φ 內部無駐點，亦即陰影區域內的任意一點都不可能是駐點。因此，它如果有駐點，應落在它的4 條邊界線上，現考慮邊界，應用多元函數求條件極值的拉格朗日乘數法，有形式：

人工計算工作量有點大，我們還是借助Mathematica[9]。通過有效嘗試，先考慮約束條件-4b-c-4 ≤0 和2b-c-1 ≤0，命：

求F 對b， c， δ1，δ2的偏導數，得：

求F 對b， c， δ1，δ2的偏導數指令：

解下面這個駐點方程組：

求解駐點方程組的指令：

再考慮約束條件2b+c+1 ≤0 和c ≤0，命

求F 對b， c， δ3，δ4的偏導數，得：

令其為零，解下面的方程組：

Mathematica 指令與上類同，此處從略。以上求得的2 個可能極值點，恰好就是f 在區域Φ 的2 個頂點和把它們代入f(b，c)(1) 所得的值，與 另2 個 頂 點A( -1， 0 )、C( 0， -1) 代 入 f(b，c)(1)的值：

比較可知其最小值和最大值為：

同理可求在區域φ( b，c )上另一個極值點x1的最值，這里只給出結果（可供讀者練習）：

圖8

圖9

其Mathematica 指令分別為：

注：關于上述高考試題的最新文獻“二維含參型一元三次函數極值點的最值”[10]，全面解剖了國家考試中心所給出的題設與標準答案，并在初等數學范疇中給出了漂亮的結果。

4 結語

綜上所述，我們把2009 年全國高考數學卷I（理）22 題第（II）小問的證明：轉化為求二元函數f(b，c)()1：

此外，還給出了它們的直觀圖像，如圖8 和9 所示，從中可以觀察到這2 個二元函數在區域φ上是怎么發展變化的。

上述第2 部分的內容與圖示，則是說明了這道高考題的出處，即命題者的依據所在。

本文從2009 年全國卷I（理）22 題的標準答案所引發的質疑與評論作為出發點，指出了其本質上是屬于二元函數的條件極值問題，把它納入到拉格朗日乘數法和數學軟件Mathematica 的知識結構中，全面實現了對它的求解與證明。這至少說明了以下兩點：

其一，正如F.克萊因所言，只有觀點高了，事物才能顯得明了而簡單，許多初等數學的現象只有在非初等的理論結構內才能深刻地理解。相對說來掌握了更高一級的一般解題方法之后，就不必耗費過多的時間和精力去追求那些特殊的解題技能與技巧了；其二，本來那些靠人工計算和操作難以解決或無法解決的數學問題，如今應用計算機編程和專用應用軟件就可以如愿以償地得以實現。