巧用二次函數圖像解決一元二次方程、不等式問題

文周 艷

（作者單位：江蘇省南京市江寧區淳化初級中學）

在八年級時，我們學習過“一次函數、一元一次方程與一元一次不等式”，同學們知道這三者雖然形式上有所差異，但卻存在一定的關系。尤其是借助一次函數的圖像來解決一元一次方程和一元一次不等式的某些問題時，我們會感嘆借助“形”來解決“數”的問題是那么直觀便捷。沿襲類似的研究思路，我們自然想到是不是借助二次函數的圖像也可以為解決一元二次方程和不等式的問題同樣提供直觀便捷的解決方法。下面通過同一個二次函數圖像的不同例子，給大家展示它有哪些妙用。

例1已知二次函數y=-x2+2x+m的部分圖像如圖1所示，則關于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的另一解為x=_______。

圖1

【分析】同學們看到求方程的解的第一反應往往都是解方程，但是這個方程中有一個字母m，下面就會集中“火力”去利用函數的圖像去求二次函數的解析式，想把m求出來。費了九牛二虎之力后發現m求不出來，思維就此中斷。

咱不妨換個思路，只看圖像，看圖像能告訴我們什么？通過觀察我們發現，這個二次函數圖像的對稱軸是過點（1，0）且與y軸平行的一條直線，函數圖像與x軸的一個交點坐標為（3，0）。因此根據圖像的軸對稱性可推斷出圖像與x軸的另一個交點坐標必為（-1，0）。這兩個交點的橫坐標對應的就是一元二次方程-x2+2x+m=0的兩個根，因此另一解為x=-1。

變式1二次函數y=-x2+2x+m的圖像如圖2所示，那么關于x的一元二次方程-x2+2x+m+2=0的根的情況是（ ）。

圖2

A.有兩個同號的實數根

B.有兩個異號的實數根

C.有兩個相等的實數根

D.沒有實數根

【分析】同學們看到題目中要對一元二次方程的根的情況進行判斷，總會條件反射地去請根的判別式“b2-4ac”來幫忙，照著此路一路向前，最后一定會發現這是一條死胡同。

換個思路，咱們從圖像入手。我們可以利用例1中的結論將二次函數y=-x2+2x+m的圖像補全，并且在同一個平面直角坐標系中作出整個圖像沿著y軸向上平移2個單位后的圖像（圖3中最上方的圖像即為y=-x2+2x+m+2的圖像）。通過觀察，我們得到圖像此時與x軸有兩個交點，并且這兩個交點的橫坐標是異號。因此對應著一元二次方程-x2+2x+m+2=0也有兩個異號的實數根。

圖3

變式2函數y=-x2+2x+m的部分圖像如圖4所示，則關于x的不等式-x2+2x+m＜0的解集為 ________。

圖4

【分析】這個關于x的且含有字母m的不等式，我們沒有學過它的解法，因此欲解此題就需另辟蹊徑——觀察圖像。

首先還是由例1中的圖像對稱性出發，先把函數的圖像補全（圖5-2），然后將這個不等式y＜0求解集問題轉化為二次函數圖像中當點的縱坐標小于0時，直接寫出此時點的橫坐標x的范圍問題。下面請同學們觀察圖5-2，可得當點的縱坐標小于0時，符合條件的函數圖像在x軸的下方，即如圖5-3中的兩段實線部分，這兩段實線部分的所有點的縱坐標都滿足小于0，而這些點的橫坐標滿足的條件是x＜-1或x＞3。

圖5-1

圖5-2

圖5-3

變式3求關于x的不等式-x2+2x+3＞0的解集。

【分析】同學們不能被此題的提問形式嚇倒，它的本質就是一只“紙老虎”。戳破這層紙，你會發現其實就是上面的變式2擯棄了圖像的另一種問法而已。此題仍然借助二次函數圖像來解決，將求y＞0時對應的x的取值范圍轉化為：圖像上所有點的縱坐標都大于0時，此時點的橫坐標滿足什么條件。我們可以發現符合條件的所有點在圖5-3中間虛線部分的圖像上，這些點的橫坐標滿足的條件為-1＜x＜3。

變式4已知直線y=mx+n（m≠0）與拋物線y=-x2+2x+m交于A（-0.5，p），B（2，q）兩點，則關于x的不等式mx+n＞-x2+2x+m的解集為 ______ 。

圖6

【分析】這種不等式直接去求解集肯定是沒辦法解的。因此我們仍然要借助函數圖像，將mx+n＞-x2+2x+m的問題轉化為一次函數在二次函數上方時所有點的橫坐標需滿足什么條件。我們結合圖像，通過A、B兩點向x軸作垂線，將圖像劃分為3個區域，如圖7，可見3個區域中只有①和③區域中的圖像滿足一次函數在二次函數上方的要求。下面只要寫出①和③兩個區域中所有點的橫坐標滿足的條件即可，橫坐標滿足的條件對應著不等式中x的取值范圍。

圖7

二次函數圖像與一元二次方程

二次函數的表達式為y=ax2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0），因此當y=0時，得到ax2+bx+c=0（a，b，c為常數，a≠0），這正是一元二次方程的一般式。反映到函數圖像上，當y=0時，意味著點的縱坐標為0，這個點會落在x軸上。當二次函數的圖像與x軸有兩個交點（x1，0）、（x2，0）時，對應著ax2+bx+c=0（a，b，c為常數，a≠0）會有兩個不相等的實數根；當二次函數的圖像與x軸有一個交點時，對應著ax2+bx+c=0（a≠0）會有兩個相等的實數根；當二次函數的圖像與x軸沒有交點時，對應著 ax2+bx+c=0（a≠0）沒有實數根。

二次函數圖像與不等式

二次函數的表達式為y=ax2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0），其圖像的“形”為一條拋物線。通過變式2、變式3、變式4，我們可以看出：當y＞m（m為常數），求x的取值范圍，對應到函數圖像上可理解為：當一個點的縱坐標滿足一定的條件時，去求符合條件的所有的點的橫坐標需要滿足什么條件。因此橫坐標滿足的條件與x的取值范圍是相互對應的。

通過對二次函數的圖像與一元二次方程、不等式的點滴探索，我們可以發現二次函數的圖像是解決相關問題的有效手段，它直觀、便捷，可化繁為簡。通過例題的展示，我們對它們之間的關系有了更深入的了解，同時也為日后高中的學習打下堅實的基礎，提供了類似的研究方法。