二次函數中的最值問題

文陳 卓

（作者單位：南京師范大學附屬中學江寧分校）

最值問題的研究，有著悠久的歷史。早在古希臘時，就研究了“等周問題”。在歐幾里得的著作《幾何原本》中，實際上已證明了如下的最值問題：具有相同周長的矩形中，正方形的面積最大。研究函數的最值，是學習數學與其他學科的基礎，是生活生產的必備工具。二次函數的最值問題也是中考的熱點內容之一，今天我們就一起來認識一下吧。

初中階段確定二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）最值的方法：

方法1：將二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）配方化為y=a（x-h）2+k的形式，頂點坐標為（h，k），對稱軸為直線x=h。若a＞0，y有最小值，當x=h時，y最小值=k；若a＜0，y有最大值，當x=h時，y最大值=k。

1.自變量x沒有范圍限制，可以取到整個實數。這時拋物線的頂點對應的y值是這個函數的最值，也就是說，當x取拋物線的對稱軸的值時，即時，所得的y值是這個函數的最值。

2.自變量x有范圍限制，它只能取到拋物線的一部分，這時需要判斷x能夠取到的范圍是否包括拋物線的對稱軸x=如果包括，那它的一個最值一定在對稱軸處得到（最大值還是最小值要由a的正負判斷，a正就是最小值，a負就是最大值）。另外一個最值出現在所給范圍的端點，此時可以把兩個端點值都代入函數，分別計算y值，比較一下就可以。如果

二次函數的圖像是一條拋物線，根據實際情況它的最值又分為以下幾種情況：

給的是代數形式，也可以用與對稱軸距離的大小來判斷，與對稱軸距離大的那個端點能夠取到最值。如果x的取值范圍不包括對稱軸，則它的最值一定出現在范圍的端點處。當a＞0時，離對稱軸最遠的端點取得最大值，最近的端點取得最小值；當a＜0時，離對稱軸最遠的端點取得最小值，最近的端點取得最大值。

例1 （2018·黃岡）當 a≤x≤a+1時，函數y=x2-2x+1的最小值為1，則a的值為（ ）。

A.-1 B.2 C.0或2 D.-1或2

【分析】利用二次函數圖像上點的坐標特征找出當y=1時x的值，結合當a≤x≤a+1時函數有最小值1，即可得出關于a的一元一次方程，解之即可得出結論。

解：當y=1時，有x2-2x+1=1，

解得：x1=0，x2=2。

∵當a≤x≤a+1時，函數有最小值1，

∴a=2或a+1=0，

∴a=2或a=-1，

故選：D。

【點評】本題考查了二次函數圖像上點的坐標特征以及二次函數的最值，利用二次函數圖像上點的坐標特征找出相應的值是解題的關鍵。

例2 （2018·濰坊）已知二次函數y=-（x-h）2（h為常數），當自變量x的值滿足2≤x≤5時，與其對應的函數值y的最大值為-1，則h的值為（ ）。

A.3或6 B.1或6

C.1或3 D.4或6

【分析】分h＜2、2≤h≤5和h＞5三種情況考慮：當h＜2時，根據二次函數的性質可得出關于h的一元二次方程，解之即可得出結論；當2≤h≤5時，由此時函數的最大值為0與題意不符，可得出該情況不存在；當h＞5時，根據二次函數的性質可得出關于h的一元二次方程，解之即可得出結論。

解：當h＜2時，-（2-h）2=-1，

解得：h1=1，h2=3（舍去）；

當2≤x≤5時，y=-（2-h）2的最大值為0，不符合題意；

當h＞5時，-（5-h）2=-1，

解得：h3=4（舍去），h4=6。

綜上所述：h的值為1或6。

故選：B。

【點評】本題考查了二次函數的最值以及二次函數的性質，分h＜2、2≤h≤5和h＞5三種情況求出h值是解題的關鍵。

例3 （2017·樂山）已知二次函數y=x2-2mx（m 為常數），當-1≤x≤2時，函數值y的最小值為-2，則m的值是（ ）。

【分析】將二次函數配方成頂點式，分m＜-1、m＞2和-1≤m≤2三種情況，根據y的最小值為-2，結合二次函數的性質求解。

解：y=x2-2mx=（x-m）2-m2，

①若m＜-1，當x=-1時，y=1+2m=-2，

②若m＞2，當x=2時，y=4-4m=-2，

③若-1≤m≤2，當x=m時，y=-m2=-2，

故選：D。

【點評】本題主要考查二次函數的最值，根據二次函數的增減性分類討論是解題的關鍵。

例4 （2019·鐵嶺）小李在景區銷售一種旅游紀念品，已知每件進價為6元，當銷售單價定為8元時，每天可以銷售200件。市場調查反映：銷售單價每提高1元，日銷量將會減少10件。物價部門規定：銷售單價不能超過12元。設該紀念品的銷售單價為x（元），日銷量為y（件），日銷售利潤為w（元）。

（1）求y與x的函數關系式。

（2）要使日銷售利潤為720元，銷售單價應定為多少元？

（3）求日銷售利潤w（元）與銷售單價x（元）的函數關系式，當x為何值時，日銷售利潤最大，并求出最大利潤。

【分析】（1）根據題意得到函數解析式；

（2）根據題意列方程，解方程即可得到結論；

（3）根據題意得到w=（x-6）（-10x+280）=-10（x-17）2+1210，根據二次函數的性質即可得到結論。

解：（1）根據題意得，

y=200-10（x-8）=-10x+280。

（2）根據題意得，（x-6）（-10x+280）=720，解得：x1=10，x2=24（不合題意舍去）。

答：要使日銷售利潤為720元，銷售單價應定為10元。

（3）根據題意得，w=（x-6）（-10x+280）=-10（x-17）2+1210，

∵-10＜0，

∴當x＜17時，w隨x的增大而增大，當x=12時，w最大=960。

答：當x為12元時，日銷售利潤最大，最大利潤960元。

【點評】此題考查了一元二次方程和二次函數的運用，利用“總利潤=單個利潤×銷售數量”建立函數關系式，進一步利用二次函數的性質解決問題，解答時求出二次函數的解析式是關鍵。

總之，二次函數的最值問題是一個在充分理解題意的基礎上，綜合運用各種方法進行解答的過程。通過這方面的學習，同學們能感受到數學的嚴謹、最值的合理。