厘清二次函數的數形關系

文陳小鋒 費 菲

（作者單位：江蘇省南京江寧開發區學校）

同學們對知識的掌握和運用能力取決于理解程度。二次函數是初中數學學習的重點，也是難點，厘清二次函數中的數形關系對學好二次函數尤為重要。

一、以形論數，厘清二次函數圖像與系數之間的關系

例1 （2019·隨州）如圖所示，已知二次函數y=ax2+bx+c的圖像與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，OA=OC，對稱軸為直線x=1，則下列結論：①abc＜0；c=0；③ac+b+1=0；④2+c是關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一個根。其中正確的有（ ）。

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

【分析】二次函數圖像與系數之間的直接關系有以下幾個方面：我們可以根據圖像的開口方向得到a的取值范圍，再根據對稱軸得到a與b的關系，從而得到b的取值范圍，還可以根據圖像與y軸的交點，得到c的取值范圍，結論①可由此判斷。將以上條件綜合梳理或者進行代數分析可以呈現其他類似結論，結論②即可由等式的變換進行判斷。二次函數圖像與系數之間還暗存特殊關系，如a、b、c結合的等式，需要考慮圖像中的特殊點，本題由OA=OC可得A的坐標，代入解析式可判斷③，由點A坐標結合對稱軸可得點B坐標，據此可判斷④，結論②也可以運用特殊點的位置求解。

【解析】∵拋物線開口向下，∴a＜0，∵拋物線的對稱軸為直線1，∴b=-2a＞0，∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正確。

∵C（0，c），OA=OC，∴A（-c，0），把A（-c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2-bc+c=0，∵c＞0，∴ac-b+1=0，所以③錯誤。

∵A（-c，0），對稱軸為直線x=1，∴B（2+c，0），即2+c是關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一個根，所以④正確。

綜上，正確的有2個，故選B。

【點評】本題考查了二次函數圖像與系數的關系，解決此類問題需要明確以下幾點。

1.當a＞0時，拋物線開口向上；當a＜0時，拋物線開口向下；a的絕對值決定了拋物線的開口大小，即拋物線的形狀。

2.當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸的左側；當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸的右側（簡稱：左同右異）。

3.常數項c決定拋物線與y軸的交點，拋物線與y軸交于（0，c）。

二、以數定形，把脈關鍵信息，速解中考小題

例2 （2019·河南）已知拋物線y=-x2+bx+4經過（-2，n）和（4，n）兩點，則n的值為（ ）。

A.-2 B.-4 C.2 D.4

【分析】根據拋物線y=-x2+bx+4經過（-2，n）和（4，n）兩點可知，這兩點縱坐標相同，以數定形，兩點既在直線y=n上，也在拋物線y=-x2+bx+4上，則兩點的坐標也可以看作是二元二次方程組， 的兩個解；又知這兩點是關于拋物線的對稱軸對稱的，從而可以根據兩點橫坐標的關系確定拋物線的對稱軸為x=1，再由對稱軸與系數的關系即可確定b的值，解出n。

【解析】二次函數y=-x2+bx+4中，a=-1，b待定，c=4，對稱軸可表示為x=，拋物線 y=-x2+bx+4經過（-2，n）和（4，n）兩點，可知函數的對稱軸x=1，1，∴b=2，∴y=-x2+2x+4，將點（-2，

n）代入函數解析式，可得n=-4。答案選B。

【點評】例題中以數定形，從拋物線y=-x2+bx+4經過兩點（-2，n）和（4，n），看透坐標的本質特性，抓住軸對稱這一關鍵性的信息，可迅速打開思路。本題還可以抓住點在線上，將兩點代入拋物線，得到二元一次方程組解決問題。

三、雙向思考，把握數形結合思想精髓

例3 （2019·維坊）拋物線y=x2+bx+3的對稱軸為直線x=1。若關于x的一元二次方程x2+bx+3-t=0（t為實數）在-1＜x＜4的范圍內有實數根，則t的取值范圍是（ ）。

A.2≤t＜11 B.t＞2

C.6＜t＜11 D.2≤t＜6

【分析】由拋物線的對稱軸是直線x=1可以快速得到拋物線的解析式為：y=x2-2x+3，對于一元二次方程x2+bx+3-t=0，即x2-2x+3-t=0，可將其變形為x2-2x+3=t，結合以數識形、以形識數的雙向思考，把問題轉變為：在-1＜x＜4的范圍內，t的取值范圍為多少時，函數y=x2-2x+3與函數y=t有交點。

【解析】∵拋物線y=x2+bx+3的對稱軸為直線x=1，∴拋物線的解析式為：y=x2-2x+3。∵一元二次方程x2+bx+3-t=0有實數根，可以看作函數y=x2-2x+3與函數y=t有交點，又∵方程在-1＜x＜4的范圍內有實數根，而當x=-1時，y=6，當x=4時，y=11，∴函數y=x2-2x+3在當x=1時有最小值y=2，在x=4時有最大值y=11，∴2≤t＜11。故本題正確答案為選項A。

【點評】將一元二次方程的問題轉化成兩個函數的交點問題，并結合圖像解決問題是答題的關鍵。理解題目的意思，以數識形、以形識數的雙向思考并進行轉化是本題的難點。當我們真正厘清二次函數中的數形關系，看透數中蘊含的幾何特征，巧用數形結合，將為我們正確解題錦上添花。

圖1

圖2

例題中我們畫出二次函數的圖像（如圖1），并截取-1＜x＜4的部分（紅色部分）。根據t的取值范圍為多少時函數y=x2-2x+3與函數y=t有交點，可以在圖中嘗試畫幾條y=t的直線，如圖2。由此可以直觀得到兩函數只有在2≤t＜11時才有交點，解法可謂絕妙。

同學們，厘清二次函數中的數形關系，只是學好二次函數的基礎，二次函數與方程、不等式、其他函數、幾何圖形及生活實際都能整合聯系，因此也成為中考壓軸考點之一。更深入的理解還需同學們在具體實踐中繼續磨礪。