例說二次函數解題策略

文楊紹平

（作者單位：江蘇省溧水高級中學附屬初級中學）

二次函數知識是每年中考的重點知識，是每卷必考的內容，主要考查二次函數的概念、圖像、性質及應用，主要是為了考查同學們的綜合運用能力及解決實際問題的能力。其中，函數的實際應用以及其與幾何、方程所組成的綜合題是中考的熱點問題。

下面結合具體例題談談二次函數的解題策略。

一、確定函數解析式

例1已知二次函數的圖像經過點（2，0）、（-4，0）、（-1，9），求此函數的解析式。

【解析】方法一：待定系數法。設函數解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），將點（2，0）、（-4，0）、（-1，9）代入可求得y=-x2-2x+8。

方法二：交點式法。設函數解析式為 y=a（x-x1）（x-x2）（a≠ 0），將點（2，0）、（-4，0）代入得 y=a（x-2）（x+4），再將點（-1，9）代入可求得y=-（x-2）（x+4）。

方法三：頂點式法。由函數圖像經過點（2，0）、（-4，0）可得函數圖像的對稱軸為直線x=-1，從而得到點（-1，9）就是函數圖像的頂點，于是設y=a（x+1）2+9，再將點（2，0）或（-4，0）代入得：y=-（x+1）2+9。

【點評】二次函數解析式可以通過待定系數法、交點式法、頂點式法等多種方法來解決，解題時選擇適當的方法會達到事半功倍的效果。

二、函數圖像與性質

例2已知二次函數y=2（x-1）（xm-3）（m為常數）。

（1）求證：不論m為何值，該函數的圖像與x軸總有公共點；

（2）當m取什么值時，該函數的圖像與y軸的交點在x軸的上方？

【解析】（1）方法一：根的判別式法。看到“二次函數的圖像與x軸總有公共點”的個數問題自然聯想到計算“b2-4ac=4m2+16m+16=4（m+2）2”，所以不論m為何值，關于x的一元二次方程2（x-1）（x-m-3）=0總有實數根，進而判斷二次函數的圖像與x軸總有公共點。

方法二：交點式法。要求二次函數y=2（x-1）（x-m-3）（m為常數）的圖像與x軸的公共點個數問題，即求關于x的一元二次方程2（x-1）（x-m-3）=0（m為常數）的實數根的問題，此題很顯然得到方程的解x1=1，x2=m+3。當m+3=1，即m=-2時，方程有兩個相等的實數根；當m+3≠1，即m≠-2時，方程有兩個不相等的實數根。故不論m為何值，該函數的圖像與x軸總有公共點。

而有些問題需要通過變形才能得到交點式，如：

已知二次函數y=a（x-m）2-a（x-m）（a、m為常數，且a≠0）。

求證：不論a與m為何值，該函數的圖像與x軸總有兩個公共點。

此時若用根的判別式的方法進行證明就顯得比較麻煩，而若想得到二次函數的交點式，此題計算就比較簡單：y=a（x-m）2-a（x-m）=a（x-m）（x-m-1）。

（2）由題意得：只需求出圖像與y軸的交點的縱坐標即可。即當x=0時，y=2（x-1）（x-m-3）=2m+6，所以該函數的圖像與y軸交點的縱坐標為2m+6，故當2m+6＞0，即m＞-3時，該函數的圖像與y軸的交點在x軸的上方。

【點評】二次函數圖像與x軸交點個數問題可以轉化為一元二次方程的根的個數問題，從而可以用“根的判別式”這一通性通法加以解決，而有些題目也可從“形”的角度（函數的圖像）來解決。如：

已知二次函數y=x2-2mx+m2+3（m是常數）。

求證：不論m為何值，該函數的圖像與x軸沒有公共點。

由于y=x2-2mx+m2+3=（x-m）2+3，

又a=1＞0，函數圖像開口向上，當x=m時，y最小值=3。

所以不論m為何值，該函數的圖像與x軸沒有公共點。

三、函數的實際應用

例3某商品的進價是每件40元，原售價每件60元。在進行不同程度的漲價后，統計了商品調價當天的售價和利潤情況，以下是部分數據：

售價（元／件）利潤（元）60 6000 61 6090 62 6160 63 6210… …

（1）當售價為每件60元時，當天可售出_______件；

當售價為每件61元時，當天可售出_______件。

（2）若對該商品原售價每件漲價x元（x為正整數）時，當天售出該商品的利潤為y元。

①用所學過的函數知識直接寫出y與x滿足的函數表達式：______。

②如何定價才能使當天的銷售利潤不低于6200元？

【解析】（1）根據“銷售量=總利潤÷每件利潤”可得：當售價為每件60元時，當天可售出300件；當售價為每件61元時，當天可售出290件。

（2）①根據“總利潤=每件利潤×銷售量”可得：

y=（60-40+x）（300-10x）=-10x2+100x+6000=-10（x-5）2+6250。

②題目要求使當天的銷售利潤不低于6200元，即y≥6200，當y=6200時，

-10（x-5）2+6250=6200。

解得x1=5- 5，x2=5+ 5。

由-10＜0，得該二次函數的圖像開口向下。

即當y≥6200時，3≤x≤7（x為正整數）。

故定價為：63，64，65，66，67。

【點評】該題利用了二次函數模型進行解決。函數是解決實際問題的有效模型，利用二次函數解決實際問題往往經歷：找到題目中的兩個變量；尋找變量之間的等量關系；依據變量之間的等量關系列出函數關系式；利用配方等方法求出頂點進而求出最值；回到實際問題進行檢驗。

四、函數的幾何應用

例4如圖1，已知矩形ABCD中，A（3，2），B（3，-4），C（5，-4），點E是直線AB與x軸的交點，拋物線y=ax2+bx-3過點E，且頂點F的橫坐標為1，點M是直線CD與x軸的交點。

圖1

（1）求a，b的值。

（2）請你探索在矩形ABCD的四條邊上，是否存在點P，使得三角形AFP是等腰三角形？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由。

（3）拋物線上是否存在點Q在∠EMC的平分線上？如果存在，求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由。

【解 析】（1）由 題 意 得 E（3，0），

（2）要使三角形AFP是等腰三角形，只要兩條邊相等，故分為PA=PF，AF=AP，AF=FP三種情況：

①當PA=PF時（如圖2），點P在線段AF的垂直平分線上。

（i）方法一：設P1是線段AF的垂直平分線與AB的交點，

設BP1=x，由FP12=AP12可得x2+22=（6-

得點P1的坐標為

圖2

方法二：設H是線段AF的垂直平分線與AF的交點，

（ii）方法一：設P2是線段AF的垂直平分線與CD的交點，

設CP2=y，由FP22=AP22可得y2+42=（6-y）2+22，得y=2，

得點P2的坐標為（5，-2）。

方法二：設K是線段AF的垂直平分線與FC的延長線的交點，

由△KBP1∽ △ABF可得KB=8，KC=6，CP2=2，可得點P2的坐標為（5，-2）。

②當AF=AP時（如圖3），點P與點C重合，此時，點P的坐標為（5，-4）。

③當AF=FP時（如圖3），

設 CP=m，可得 m2+42=62+22，得 m=2 6，得點P的坐標為（5，2 6-4）。

圖3

（3）存在。

由（1）得y=x2-2x-3。

由于點Q在∠EMC的平分線上，即點Q到x軸和直線CD的距離相等。

令-（x2-2x-3）=5-x（x≥5時，不合題意），即x2-3x+2=0。

解得x=1或x=2。

所以點Q的坐標分別為（1，-4），（2，-3）。

【點評】本題是二次函數的綜合題型，其中涉及的知識點有運用待定系數法求拋物線的解析式、等腰三角形的性質、相似三角形、勾股定理、角平分線的判定等，綜合性較強。運用數形結合、分類討論及方程思想是解題的關鍵。

總之，二次函數知識點較多，解題策略錯綜復雜，我們必須在平時解題中總結方法，真正達到“做一題，通一片”的效果。