走出誤區 快速解題

文徐 艷

（作者單位：江蘇省南京市竹山中學）

在學習二次函數時，由于同學們對二次函數的定義、圖像與性質認識不夠深刻，對求二次函數的頂點坐標和對稱軸，二次函數解析式，二次函數的根與系數的關系，二次函數與方程（組）、不等式的關系等掌握不牢固，解題方法選擇不當，被題中的干擾項迷惑，常常會出現一些典型的錯誤。本文選取幾例典型錯解加以剖析，希望能幫助同學們走出思維誤區，快速準確地解決問題。

易錯點1：對二次函數概念的理解模糊不清

例1 若y=（m2+3m+2）xm2+m為二次函數，則m的值為（ ）。

A.-2或1 B.-2 C.-1 D.1

【錯選】A。

【錯因分析】由二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）的定義可知m2+m=2，且m2+3m+2≠0，解出符合題意的m的值即可。

【解答】由二次函數的定義可得m2+m=2，且 m2+3m+2≠0，解得 m1=1，m2=-2，且m≠-1或-2。∴m=1。

故答案為D。

易錯點2：對二次函數圖像與性質認識不深

例2 拋物線y=-x2+bx（b≠0）與坐標軸的交點個數為（ ）。

A.0 B.1 C.2 D.3

【錯選】D。

【錯因分析】先根據b2-4ac＞0判斷出拋物線與x軸必有兩交點，再根據拋物線必與y軸有一個交點（因為x可以取0），所以錯選D。而本題拋物線與y軸的交點是（0，0），與其中一個x軸交點重合。

【解答】當x=0時，y=-x2+bx=0，則拋物線與y軸的交點坐標為（0，0），

∵b2-4ac＞0，

∴拋物線與x軸有兩交點，

∴拋物線與坐標軸有兩個交點。

故選：C。

【點評】可先計算自變量為0時對應的函數值，得到拋物線與y軸的交點坐標，看是否為原點，再根據b2-4ac判斷拋物線與x軸的交點個數，從而更快更準確地得到結果。

易錯點3：二次函數系數a，b，c與圖像的關系理不清

例3拋物線y=ax2+bx+c的頂點為D（-1，2），與x軸的一個交點A在點（-3，0）和（-2，0）之間，其部分圖像如圖1，則有以下結論：①b2-4ac＜0；②當x＞-1時，y隨x增大而減小；③a+b+c＜0；④若方程ax2+bx+c-m=0沒有實數根，則m＞2；⑤3a+c＜0。其中正確結論的個數是（ ）。

圖1

A.2 B.3 C.4個 D.5個

【錯選】無法判斷每一個結論的正誤。

【錯因分析】①易由拋物線方程與x軸交點個數對應方程根的個數，得到有兩個交點對應b2-4ac＞0；②對于對稱軸為直線x=-1的情況大家很熟悉，這里只需對照圖像，根據二次函數的單調性以對稱軸為分界線，在右側遞減；③a+b+c即為x=1時的函數值，結合圖像易判斷；④容易只考慮用根的判別式b2-4ac＜0來求解m的取值范圍，列出不等式后含有太多字母無法求得結果；⑤對a，b，c與函數圖像的關系理解不夠熟練，找不到突破口，無法將3a與b聯系起來。

【解答】（1）∵拋物線頂點（-1，2）在x軸上方，開口向下，

∴拋物線與x軸有兩個交點，

∴b2-4ac＞0，故①錯誤；

（2）∵拋物線開口向下，對稱軸為直線x=-1，

∴當x＞-1時，y隨x的增大而減小，故②正確；

（3）∵拋物線的對稱軸為x=-1，

∴x=1時的函數值和x=-3時的函數值相等，

∴由圖可知，a+b+c＜0，故③正確；

（4）∵若方程ax2+bx+c-m=0沒有實數根，

∴拋物線y=ax2+bx+c與直線y=m沒有交點，

又∵拋物線y=ax2+bx+c開口向下，頂點坐標為（-1，2），

∴m＞2，故④正確；

∴b=2a，

又∵a+b+c＜0，

∴3a+c＜0，故⑤正確。

綜上所述，正確的結論有4個。故答案為：C。

易錯點4：綜合題中對探究性問題的答案考慮不全

例4 如圖2，已知二次函數y=x2+bx+c的圖像與x軸交于點A（1，0）、B（3，0），與y軸交于點C.

圖2

（1）求二次函數的解析式；

（2）若點P為拋物線上的一點，點F為對稱軸上的一點，且以點A、B、P、F為頂點的四邊形為平行四邊形，求點P的坐標。

【錯解】一些同學因分類考慮不全對第（2）問造成漏解。

【錯因分析】第（2）問在解答時對如何分類掌握得不好，我們只要抓住AB為平行四邊形的一條邊或平行四邊形的對角線兩種情況分別求解即可。

【解答】（1）用待定系數法易得二次函數表達式為：y=x2-4x+3。

（2）①當AB為平行四邊形一條邊時，如圖3，

則AB=PF=2，則點P坐標為（4，3），

當點P在對稱軸左側時，即點C的位置，以點A、B、P、F為頂點的四邊形為平行四邊形，故：點P為（4，3）或（0，3）；

圖3

②當AB是四邊形的對角線時，如圖4，AB中點坐標為（2，0）。

圖4

綜上所述，點P坐標為（4，3）或（0，3）或（2，-1）。