思維可視化，助力學(xué)生數(shù)學(xué)思維的生長

宋雪珠 唐詩穎 王彬

重慶市融匯沙坪壩小學(xué)? 400038? ? 重慶市鳳鳴山中學(xué)? 400037

[摘? 要] 數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力的核心部分，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維是發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵。通過對教材的二次開發(fā)、精準(zhǔn)問題的設(shè)置、深度對話的發(fā)生和多元表征的運(yùn)用，找到思考的切入點(diǎn)，讓思維落到關(guān)鍵處. 在教學(xué)過程中，充分調(diào)動學(xué)生的多重感官、動手畫圖和操作、動口表達(dá)和對話等，讓思維直觀化、形象化、外顯化，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

[關(guān)鍵詞] 思維可視化;畫圖;操作;表達(dá);對話

數(shù)學(xué)思維是以數(shù)量關(guān)系和空間形式為思維對象，以數(shù)學(xué)的語言和符號為思維的載體，并以認(rèn)識和發(fā)展數(shù)學(xué)規(guī)律為目的的一種思維 [1]。這樣的數(shù)學(xué)思維具有高度的抽象性、內(nèi)隱性，不利于教師培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。如何在教學(xué)過程中讓學(xué)生的思維外顯，讓教師把握學(xué)生思維路徑、學(xué)習(xí)同伴之間相互理解多樣化的數(shù)學(xué)思維進(jìn)而掌握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)？在教學(xué)中我們首先要思考如何讓學(xué)生真正發(fā)生思維，再思考用什么手段讓思維可視化。

■一、思維可視化的前提——思維真正發(fā)生

要想思維可視化，必須要發(fā)生真正的思維活動。數(shù)學(xué)是對數(shù)量關(guān)系和空間形式進(jìn)行研究的一門科學(xué)，其概念、定理等都是基于現(xiàn)象的研究，通過歸納、概括、抽象出其本質(zhì)，形成結(jié)論，具有高度的抽象化和理想化?？菰锏臄?shù)學(xué)文本并不能很好地激發(fā)學(xué)生的思維，在教學(xué)中根據(jù)學(xué)生已有的生活和知識經(jīng)驗(yàn)，教師通過創(chuàng)設(shè)情境、問題驅(qū)動、平等對話、引發(fā)深度對話的方式，為學(xué)生思維真正的發(fā)生創(chuàng)造條件。

1. 二次開發(fā)教材，讓思維找到切入點(diǎn)

數(shù)學(xué)教材由于篇幅有限，只能將數(shù)學(xué)概念、知識等“干貨”較為簡潔地呈現(xiàn)，具有較高的概括性和抽象性，不利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。教師要根據(jù)學(xué)情對文本進(jìn)行二次開發(fā)，創(chuàng)設(shè)貼近學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)、能激發(fā)學(xué)習(xí)興趣的問題情境，調(diào)動學(xué)生的積極性和主觀能動性，敲開思維的大門，主動參與思考和學(xué)習(xí)。

例如，西師版二年級上冊“用米做單位”一課，如果教師只是根據(jù)教材按部就班地介紹米尺，然后教授米和分米的單位換算，這無疑限制了學(xué)生的思維空間。學(xué)生在前面兩節(jié)課已經(jīng)認(rèn)識了厘米和分米，知道測量需要統(tǒng)一長度單位，并學(xué)會了用尺測量物體。教師不妨充分利用學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，設(shè)置“測量黑板等較長物體的長度”的操作活動，讓學(xué)生感受用厘米和分米做單位測量的不便，進(jìn)而引發(fā)思考有沒有比厘米、分米“更大”的長度單位。這就讓學(xué)生找到了思維的切入點(diǎn)，帶著問題去學(xué)習(xí)米尺更有意義。經(jīng)歷這樣的思維活動，學(xué)生還能進(jìn)一步遷移：會不會有比米“更大”的長度單位？激發(fā)學(xué)生探索的欲望。

2. 設(shè)計(jì)精準(zhǔn)問題，讓思維落到關(guān)鍵處

問題是啟發(fā)思考的動力，它可以引發(fā)學(xué)習(xí)主體一系列的思維活動。問題驅(qū)動的課堂教學(xué)并不是指課堂上的碎問碎答，問題的設(shè)計(jì)要有啟發(fā)性、針對性和層次性，數(shù)學(xué)思維才能落到關(guān)鍵處。教師要根據(jù)教學(xué)目標(biāo)和重難點(diǎn)，設(shè)計(jì)針對性強(qiáng)的核心問題，并時(shí)刻關(guān)注課堂生成，把握學(xué)生思維的生長點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新性思維。

例如，西師版五年級上冊“小數(shù)乘小數(shù)”一課，學(xué)生已有整數(shù)乘小數(shù)計(jì)算的經(jīng)驗(yàn)，并且觀察能力、計(jì)算能力、歸納能力、抽象能力都有所提高，不妨創(chuàng)設(shè)一個問題情境：今年暑假，學(xué)校打算整改校門口和操場的兩個長方形草坪，大草坪長5.8米、寬2.3米，小草坪長1.2米、寬0.8米，一共需要多少平方米的草埔？根據(jù)本節(jié)課的目標(biāo)——理解小數(shù)乘小數(shù)的算理算法——通過設(shè)計(jì)精準(zhǔn)的“問題串”，放手讓學(xué)生自主探究、合作學(xué)習(xí)?！坝^察你的算式，和以前學(xué)過的算式比較，它有什么特點(diǎn)？”“嘗試計(jì)算，說說你的計(jì)算過程？”“在計(jì)算算式時(shí)，你遇到了什么困難，你是怎么解決的？”“觀察兩個因數(shù)的小數(shù)位數(shù)和積的位數(shù)，它們之間有什么關(guān)系？根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)，總結(jié)小數(shù)乘小數(shù)的計(jì)算方法?！痹谡麄€探究過程中，學(xué)生緊緊地圍繞“問題串”，借助小數(shù)乘整數(shù)的計(jì)算經(jīng)驗(yàn)，通過獨(dú)立思考和小組合作交流，自主習(xí)得小數(shù)乘小數(shù)的計(jì)算方法，理解小數(shù)乘法與整數(shù)乘法之間的區(qū)別與聯(lián)系，理解小數(shù)乘法的算理，全面、準(zhǔn)確地總結(jié)出小數(shù)乘法的計(jì)算法則。

3. 創(chuàng)造和諧學(xué)習(xí)環(huán)境，讓思維碰撞成為可能

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實(shí)際上是教師與學(xué)生、學(xué)生與學(xué)生、學(xué)生與文本、學(xué)生與自己之間的對話交流活動。學(xué)習(xí)活動應(yīng)該在交互性和動態(tài)性的和諧環(huán)境中開展，充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性，讓思維自由發(fā)聲，把教學(xué)過程變成師生、生生的思維碰撞，情感、方法、思想交流和學(xué)習(xí)的過程。和諧的學(xué)習(xí)環(huán)境的核心是親和性、融洽性、創(chuàng)造性、自主性、生態(tài)有機(jī)性受到最大限度的重視和得到最大限度的強(qiáng)化 [2]。其次要互動多樣化，包括師生、生生、生本之間的對話和學(xué)生跟自己的對話（內(nèi)省）。最后教師要處理好數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“動態(tài)”過程，即學(xué)生的生成。如果學(xué)生的生成并不在本節(jié)課計(jì)劃之內(nèi)，要根據(jù)學(xué)情恰當(dāng)處理，不能扼殺學(xué)生的思維和興趣。

4. 引導(dǎo)深度對話，讓思維走到更深處

思維的碰撞讓思維多樣化，思維的深度對話讓思維深刻化，讓思維更接近事物的本質(zhì)，讓思維更具深刻性。通過師生、生生之間的分享、質(zhì)疑、辨析，由表及里，去偽存真，找到多樣化思維之間的共性，發(fā)展思維的深度。

例如，西師版六年級上冊“比的認(rèn)識”一課，通過兌蜂蜜水的情境引入，學(xué)生認(rèn)識了比及其各部分名稱，教師直接通過兩個情境追問比的含義。

情境一：兌蜂蜜水。

師：比表示水和蜂蜜兩個量什么關(guān)系？

生：表示水和蜂蜜兩個量的倍數(shù)關(guān)系。

情境二：給出兩種動物的路程和時(shí)間數(shù)據(jù)，算比值。

師：水和蜂蜜的單位一樣，路程和時(shí)間的單位不一樣，它們的比值是什么？

生：路程除以時(shí)間等于速度，這個比值就是速度。

師：通過這兩個問題，比不僅可以表示兩個量之間的倍數(shù)關(guān)系，還可以產(chǎn)生新的量，如速度（單位：m/s）。你還可以舉一些例子嗎？

生：工作總量∶工作時(shí)間=工作效率。

生：總價(jià)∶數(shù)量=單價(jià)。

……

比的概念雖然只有短短一句話，但是其內(nèi)涵大有乾坤。只有通過這樣刨根問底式的深度對話，才能讓學(xué)生的思維得以發(fā)散，再聚焦，理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

■二、思維可視化策略——鼓勵多元表征

美國NCTM在2000年的《學(xué)校數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)與原則》中指出：不同的表征將導(dǎo)致不同的思維方式，建議學(xué)生不僅應(yīng)該學(xué)會在問題解決過程中選擇、使用與轉(zhuǎn)化各種數(shù)學(xué)表征，而且能夠在不同的表征之間建立廣泛的聯(lián)系 [3]。多元表征不僅能夠讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，而且能完善學(xué)生的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，鼓勵學(xué)生運(yùn)用圖形、操作、語言等多元表征來表達(dá)自己的數(shù)學(xué)思維，實(shí)現(xiàn)不同表征之間的相互轉(zhuǎn)換，從橫向（不同表征之間的溝通）和縱向（新表征在表征系統(tǒng)所處的地位）理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

1. 動手畫圖——讓思維直觀形象

圖形既是數(shù)學(xué)研究對象，又是研究數(shù)學(xué)的手段。圖形的直觀性，使復(fù)雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，促進(jìn)學(xué)生觀察能力和思維能力的發(fā)展。

例如，西師版三年級上冊“分?jǐn)?shù)的大小比較”一課，根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義，分母相同也就是分的份數(shù)一樣，分子不同就是取得的份數(shù)不同，份數(shù)越多，分子越大，這個分?jǐn)?shù)就越大。在拓展練習(xí)時(shí)，比較■和■，部分學(xué)生想到分比薩，人數(shù)越多，每個人分到的那一份就越少;還有部分學(xué)生畫圖表示，思維過程直觀形象（圖1），通過涂色部分直接判斷出■大于■。在比較■和■時(shí)，有的學(xué)生用逆向思維：一個比薩，吃了它的■，還剩它的■;同樣的比薩，吃了它的■，還剩它的■?！霰取龆?，說明■小于■。這部分學(xué)生的思維具有高度的抽象性和邏輯性。有部分學(xué)生采用畫圖的形式（圖2），直觀地判斷涂色部分的多少來比較異分母分?jǐn)?shù)的大小，即■小于■。通過作圖，教師既了解了學(xué)生元認(rèn)知策略的使用——把圖形作為分析問題的策略——又了解學(xué)生的思維過程和知識的理解程度。

2. 動手操作——讓思維生動清晰

美國著名的教育學(xué)家杜威主張“做”中學(xué)，強(qiáng)調(diào)經(jīng)驗(yàn)源于活動，學(xué)生在做的過程中發(fā)生思考，習(xí)得經(jīng)驗(yàn)。我國著名的教育學(xué)家陶行知在他的生活教育理論中也提倡在“做”中獲得知識?？梢姡僮骰顒邮菍W(xué)習(xí)的重要形式，能使學(xué)生思維活動的過程外顯化。通過可視化的操作路徑，學(xué)生更容易理解，教師更好把握學(xué)生的思維過程，調(diào)整教學(xué)策略。

低段的學(xué)生處于具體運(yùn)算階段，抽象思維較弱，尤其是對認(rèn)數(shù)、概念、常見量等知識的理解時(shí)，需要調(diào)動學(xué)生的多重感知器官和借助學(xué)具等各種具體事物的支持。通過比一比、剪一剪、折一折、分一分、掂一掂等形式的操作，使抽象知識直觀化、具體化。如在學(xué)習(xí)“認(rèn)識厘米”時(shí)，讓學(xué)生用手指比畫1厘米的長度，引導(dǎo)學(xué)生找到自己身體上接近1厘米的部位（拇指的寬度），將抽象的長度單位形象化，感受1厘米的“短”，建立量感。

高年級的學(xué)生已經(jīng)具備一定的知識、方法，抽象能力得到發(fā)展，可以設(shè)計(jì)探究性操作型活動。通過觀察、實(shí)驗(yàn)、計(jì)算、測量、作圖以及列表等操作手段，獨(dú)立思考，合作探究，歸納概括，得出結(jié)論。在操作過程中，可以滲透數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、歸納、類比、極限等數(shù)學(xué)思想，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。如“長方形的體積”一課，可以設(shè)計(jì)如下探究操作：

（1）猜想：長方體的體積與什么有關(guān)？

（2）驗(yàn)證：小組合作探究。

1）操作探索：用組內(nèi)的12個體積為1立方厘米的小正方體拼成形狀不同的長方體，每拼成一種就記錄下長方體的長、寬、高和體積各是多少，填寫在表格中。

2）觀察發(fā)現(xiàn)：

①這些長方體有什么共同點(diǎn)？有什么不同點(diǎn)？

②為什么這些長方體的形狀不同而體積相同？

③觀察表格并討論：長方體的體積與長方體的長、寬、高之間有什么關(guān)系。

④歸納長方體的體積計(jì)算公式：長方體的體積=______。

3. 動口表達(dá)——讓思維深刻嚴(yán)謹(jǐn)

蘇聯(lián)心理學(xué)家維果茨基在其著作《思維與語言》 [4]中討論了語言和思維間的關(guān)系，他認(rèn)為語言是思維的外殼。史寧中教授說過“數(shù)學(xué)是思維的體操”?？梢姡瑪?shù)學(xué)、思維與語言是緊密結(jié)合的。通過語言表達(dá)，教師可以清晰把握學(xué)生的思維漏洞和思維深度。同時(shí)，學(xué)生的自由表達(dá)，生生之間的質(zhì)疑辨析，也是思維不斷走向嚴(yán)謹(jǐn)、深刻和批判的過程。

例如，西師版三年級下冊“軸對稱”一課，學(xué)生在說明長方形是軸對稱圖形這一環(huán)節(jié)時(shí)，出現(xiàn)了這樣的對話：

生1：我把長方形對折，發(fā)現(xiàn)兩條長完全重合，所以長方形是軸對稱圖形。同學(xué)們同意嗎？（學(xué)生鼓掌表示同意）

生2：我還有一種驗(yàn)證方法，我把長方形對折，發(fā)現(xiàn)兩條寬完全重合，所以長方形是軸對稱圖形。（學(xué)生鼓掌表示同意）

生3：我還有一種驗(yàn)證方法，我用剪刀把長方形沿著斜邊剪開（對角線），變成兩個完全重合的三角形，所以長方形是軸對稱圖形。

師：同學(xué)們同意嗎？

生4：為什么要剪開？剪開就不能說明它是對折重合了。

師：誰聽明白了？還有想說的嗎？

生5：就是一個圖形先要對折，然后觀察它們對折后是否重合。他（生3）沒有對折，不能因?yàn)橹睾暇驼f是軸對稱圖形。（學(xué)生鼓掌）

師：你（生3）同意嗎？（還是有點(diǎn)疑惑）

師：有哪位同學(xué)能更直觀地用圖向他解釋？

生6：你把長方形沿著你減的那條斜邊對折，它們不是完全重合的。所以長方形不是軸對稱圖形。（學(xué)生有異議）

生7：但是它橫著和豎著對折都能重合，所以長方形是軸對稱圖形。

師：這個同學(xué)說得真好，確實(shí)，一個圖形，只要對折出現(xiàn)完全重合，就是軸對稱圖形。還有想說的嗎？

生8：其實(shí)他（生3）把長方形剪下兩個三角形，把一個三角形反過來后才是完全重合的，根本不是對折，這樣的判斷是錯的。

師：你的思考真細(xì)致。確實(shí)，他（生3）不是把剪下的三角形沿著對角線對折，而是將三角形旋轉(zhuǎn)后使它們重合?，F(xiàn)在你（生3）明白了嗎？

……

從學(xué)生的表達(dá)、質(zhì)疑和辨析中，學(xué)生的思維呈現(xiàn)在教師面前，教師可以及時(shí)把握學(xué)生的思維，及時(shí)地進(jìn)行引導(dǎo)和糾正。自由的師生、生生的深度對話，有助于培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、深刻性、批判性、創(chuàng)造性和靈活性，讓數(shù)學(xué)思維真正發(fā)生，讓教學(xué)更具思維的廣度與深度。

圖形、操作、語言表達(dá)等外顯表征形式能促進(jìn)數(shù)學(xué)知識的意義建構(gòu)，增強(qiáng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)與提出問題、分析與解決問題、歸納概括與對比分析的能力，發(fā)展思維的深刻性、嚴(yán)謹(jǐn)性、批判性和創(chuàng)造性，促進(jìn)綜合性思維的發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]? 陳云中. 數(shù)學(xué)思維教學(xué)的研究與實(shí)踐[D]. 江西師范大學(xué)，2004.

[2]? 胡春燕. 新課程理論下的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境研究[D]. 重慶師范大學(xué)，2004.

[3]? 鄭毓信. 課改背景下的數(shù)學(xué)教育研究：回顧與展望[M]. 上海：上海教育出版社，2012.

[4]? 列維·謝苗諾維奇·維果斯基. 李維譯. 思維與語言[M]. 浙江：浙江教育出版社，2010.