張旭輝, 左 萌, 譚厚志, 樊紅衛

(1.西安科技大學 機械工程學院,陜西 西安 710054；2.陜西省煤礦機電設備智能檢測與健康維護重點實驗室,陜西 西安 710054)

0 引 言

隨著微電子制造技術和無線傳感技術的發展，微電子設備、無線傳感器及各種新型電子產品的應用范圍不斷擴大，電子設備能量供應問題日益突出[1,2]。傳統電池對于微型電子設備而言體積較大，供能時間短，能量有限[3]。環境中的機械振動最為常見且受環境因素影響較小[4]，通過振動能量轉換供能替代傳統電池具有廣闊應用前景。近年來，振動能量收集技術發展迅速，成為了當前熱門的研究領域之一[5]。壓電式振動能量采集器具有結構簡單、能量轉換密度大、與微機電系統(micro-electro-mechanical system,MEMS)集成容易等優點，是目前應用最廣泛的振動能量收集方式[6,7]。

振動能量收集系統諧振頻率與外界振動頻率相同時系統產生共振，此時能量的收集轉換效率最高[8]。典型的壓電梁式能量收集器屬于線性諧振系統，難以與實際振源頻率相匹配，能量轉換效率低，因此拓寬振動能量收集系統的諧振頻帶范圍，提高能量轉換效率成為主要研究目標之一[9,10]。朱莉婭等人[11]提出一種自調諧寬頻帶壓電振動發電機，利用同步開關控制電路實現結構頻率與實際振源頻率相匹配，頻率調節相對變化率達到5.1 %。本課題組前期提出一種線形—拱形組合梁結構俘能器[12]實現了多方向與自調諧俘能，提高了俘能效率。吳義鵬等人[13]提出共振頻率可調式非線性俘能器，通過調節磁間距能夠實現系統諧振頻率與實際振源頻率的匹配。王光慶等人[14]提出一種帶有彈性放大器的懸臂梁式俘能器，通過分析俘能器性能表明彈性放大器諧振頻率與壓電梁諧振頻率相近時，能夠拓寬俘能頻帶。岳喜海等人[15]設計了一種多向寬頻磁電式俘能器，借助磁場耦合實現多向寬頻振動俘能。Mann B P等人[16]設計了一種具有雙穩態特性的非線性俘能器，利用磁體間相互作用來拓寬能量采集器的頻率帶寬。周生喜等人[17]提出一種磁耦合式雙穩態壓電振動能量收集器，研究結果表明，該雙穩態結構拓寬了有效頻帶，增大了輸出電壓。Andò B等人[18]提出了一種雙穩態非線性振動俘能器,利用梁在兩種穩態之間的轉換沖擊壓電元件實現能量轉換。研究表明，利用雙穩態特性能夠提高俘能器性能。姚丙盟等人[19]對雙穩態能量收集系統進行研究，結果表明系統在合適的磁鐵距離下具有雙穩態特性，這種特性拓寬了系統的頻率響應范圍，使系統的能量轉換效率提高。

本文以雙梁—永磁體結構的壓電振動俘能器為研究對象，基于磁偶極子理論建立磁力表達式，構建系統動力學模型并進行數值仿真，實驗研究耦合磁場條件下懸臂梁響應特性以及水平磁間距對系統輸出的影響規律。

1 系統結構建模及數值求解

1.1 模型建立

如圖1所示為雙懸臂梁結構的壓電振動俘能裝置。

圖1 雙梁壓電振動俘能裝置

懸臂梁1與懸臂梁2分別固定在基座上，永磁體質量塊位于懸臂梁自由端，壓電材料分別粘附于兩個懸臂梁上表面距離自由端10 mm位置。雙梁長度不等，因此諧振頻率不同，當其中任一個梁諧振頻率與外界激勵頻率相匹配時將產生大幅值運動，系統中的磁斥力進一步增大運動幅值，拓寬大幅運動頻帶范圍，另一個梁受耦合磁場影響也將產生大幅運動，從而實現系統俘能頻帶范圍的拓寬。

1.2 永磁體非線性磁力建模

雙梁壓電振動俘能裝置由兩個長度不等的懸臂梁組成，由于引入磁場因素，首先對磁場部分建立非線性磁力模型，如圖2所示。在懸臂梁上下擺動的過程中，永磁體的實際運動會以懸臂梁固定端為中心與水平面偏轉一定的角度，由于偏轉角度較小，在建模過程中忽略永磁體實際偏轉角度，視為上下平行運動。

圖2 磁力分析模型

為便于非線性磁力計算，將結構中的永磁體近似看作是磁矩分別為m1,m2的磁偶極子[20]，其相對靜止時的平衡位置的位移分別為x1,x2。磁矩m1,m2與j方向的夾角為θ,永磁體間距為d。經過推導可以得到永磁體的相互作用力Fm的計算公式

(m1·m2)·r-(5(m1·r)(m2·r)/r2)·r]

(1)

式中m1=M1V1(isinθ+jcosθ),m2=M2V2(isinθ+jcosθ),M1,M2分別為永磁體1和永磁體2的磁化強度,V1,V2分別為永磁體1、永磁體2的體積，μ0=4π×10-7H/m為真空磁導率，r=-di+(x1-x2)j為永磁體2到永磁體1的方向向量，r為向量r的模。

由于在懸臂梁振動過程中j方向上的磁斥力為主要影響因素，因此在計算中考慮j方向上的磁斥力，式(1)經簡化得到j方向上的磁斥力大小為

(2)

將式(2)在(x1-x2)=0處泰勒展開，得到三階磁斥力

(3)

永磁體間距d足夠大時，磁體之間作用力近似為零，此時系統為線性系統；間距d減小到一定程度時,兩個永磁體之間產生磁力，此時系統為非線性系統；間距d過小，則磁斥力過大，雙懸臂梁的響應將受到抑制。

1.3 動力學建模

雙梁壓電振動俘能器在外界激勵作用下，系統受迫振動，設懸臂梁1和懸臂梁2末端永磁體的振動位移分別為X1,X2，當懸臂梁以一階模態運動時，可將系統簡化為彈簧—阻尼的集中參數模型，如圖3所示。

圖3 集中參數的壓電懸臂梁等效模型

壓電式懸臂梁振動俘能器的控制方程可以由兩個相關的物理量來描述成一個簡單的數學模型。這兩個物理量分別是懸臂梁末端永磁體位移X1,X2和輸出電壓V1,V2。這些物理量都是隨時間變化的函數，并且遵循運動方程。根據牛頓第二定律和基爾霍夫定律，可以得到圖3所示系統的動力學模型[21]

(4)

(5)

1.4 模型參數

模型的實際尺寸和材料參數如表1、表2所示。

表1 結構尺寸參數 mm

表2 結構材料參數

2 仿真分析

通過四五階龍格庫塔算法對無量綱動力學方程組(5)進行數值模擬，分別獲得系統線性和非線性條件下的響應頻譜特性。

如圖4所示為懸臂梁1的數值解析結果，圖4(a)為歸一化位移頻譜特性曲線，圖4(b)為歸一化電壓頻譜曲線，歸一化后1號懸臂梁對應諧振頻率為1。由圖可看出，系統中不存在耦合磁場時，系統為線性諧振系統，其響應頻譜圖只有單一峰值。當系統中加入永磁體后，由于非線性影響系統響應出現雙峰值現象，1號懸臂梁有效俘能頻帶數增加。

圖4 懸臂梁1響應頻譜特性對比

圖5為懸臂梁2仿真結果，圖5(a)為梁的歸一化位移頻譜特性曲線，圖5(b)為歸一化電壓頻譜曲線，歸一化條件下懸臂梁2的諧振頻率為1.45。由圖中可以看出，與梁1響應情況相同，線性梁的響應頻譜圖只有單獨的峰值，引入永磁體后，響應特性曲線呈現兩個不同頻率對應的峰值，懸臂梁2的有效俘能頻帶數增加，達到了拓寬俘能頻帶的目的。

圖5 懸臂梁2響應頻譜特性對比

3 實驗分析

3.1 實驗平臺

實驗平臺由振動控制臺、功率放大器、激振器、雙梁壓電振動俘能器、激光測振儀、加速度傳感器和PC組成。實驗中采用非接觸式測量方法，利用激光測振儀對俘能器響應位移幅值進行測試，避免加速度傳感器在實驗中因接觸對測試結果的影響。

本實驗通過改變永磁體間距，測試雙懸臂梁俘能系統中永磁體對俘能系統輸出的影響規律。實驗首先測試在無磁場環境即線性條件下，懸臂梁式俘能結構的輸出特性，分別確定兩梁的固有頻率，然后測試不同永磁體間距d=30，26，22 mm下的系統響應。

3.2 實驗結果

選擇激勵源振動幅值為2 m/s2，分別測得懸臂梁1與懸臂梁2在無磁鐵和不同磁間距下的響應位移頻譜特性和輸出電壓，如圖6所示。

圖6 不同磁距條件下響應位移和電壓幅頻特性

圖6(a)和圖6(b)分別為懸臂梁1的位移和電壓響應特性，圖6(c)和圖6(d)是懸臂梁2的位移和電壓響應特性。由圖6(a)和圖6(b)可看出，線性條件下,梁1諧振頻率為11.8 Hz，帶寬為1 Hz，對應位移峰值約為18 mm，輸出電壓約為14.6 V。系統加入耦合磁場后， 懸臂梁1的響應特性曲線出現2個峰，其主峰值對應諧振頻率降低1 Hz，諧振頻帶寬度隨磁間距的減小而增加，但由于磁間距d=22 mm距離太近，磁場勢能大抑制懸臂梁的振動，此時系統響應幅值減小。次峰值由于磁場耦合而產生，且隨磁間距縮小峰值增加。磁間距d=26 mm時系統響應效果最好，主峰值對應頻帶寬度較線性條件拓寬3 Hz，輸出電壓較線性條件提高約36 %。

由圖6(c)和圖6(d)可以看出，懸臂梁2的固有頻率為15.8 Hz，帶寬1 Hz，對應位移峰值約為15.6 mm，輸出電壓約為12.1 V。與懸臂梁1情況相同，加入耦合磁場后俘能器響應特性曲線產生兩個峰值，主峰值對應頻率降低，帶寬隨磁間距的減小而增加。次峰值產生在11.8 Hz，圖6(c)中峰值不明顯，但圖6(d)中該段電壓值明顯增加。磁間距d=26 mm時系統響應主峰值拓寬2 Hz，輸出電壓較線性條件提高約40 %。

實驗夾持裝置采用3D打印制作，在激勵頻率8 Hz時振動明顯，后續研究中將采用金屬夾持裝置。

3.3 誤差分析

對比發現，雙懸臂梁俘能器響應輸出實驗結果與理論結果存在誤差，但整體趨勢一致。通過分析，誤差來源于：1)本文中采用壓電陶瓷作為發電元件，材料不一致性及其與基底梁粘合產生誤差；2)實驗中夾持裝置采用3D打印而成，振動傳遞一致性對實驗結果有影響，后續考慮采用金屬結構裝置增大剛度。

4 結 論

1)建立集中參數的俘能系統模型，能夠表達出雙梁俘能器的振動響應特性，對加入耦合磁場后系統產生雙峰值的響應預測效果良好；

2)懸臂梁式俘能結構中加入耦合磁場能夠拓寬懸臂梁的諧振頻帶，頻帶范圍由原來的單頻帶增加為雙頻帶，有效俘能頻帶寬度最大拓寬為原來的3倍，電壓輸出明顯提高；

3)雙梁壓電振動俘能器在耦合磁場作用下各懸臂梁的響應峰值由單峰值增加為雙峰值，增加了俘能范圍，隨著磁間距的縮小，懸臂梁的主諧振頻率降低，頻帶寬度增加，輸出電壓增高 ，但磁間距過小將抑制懸臂梁的振動。