工程教育認證中離散數學教學改革探討

梁銀　董永權　郭小薈

摘? 要： 離散數學是軟件工程專業的主干課程之一，為了滿足離散數學在軟件工程專業工程教育認證中的教學目標，針對離散數學課程教學中存在的問題，從教學內容、教學模式、教學方法、考核方式等方面進行了改革。教學實踐表明，學生的學習興趣，自學能力以及對知識點的理解和掌握程度都有很大的提高。

關鍵詞： 離散數學; 工程教育認證; 教學改革; 教學模式; 軟件工程

中圖分類號：G642? ? ? ? ? 文獻標志碼：A? ? ?文章編號：1006-8228（2019）12-91-04

Exploration on the teaching reform of discrete mathematics in engineering

education accreditation

Liang Yin， Dong Yongquan， Guo Xiaohui

（Department of Computer Science and Technology， Jiangsu Normal University， Xuzhou， Jiangsu 221116， China）

Abstract： Discrete mathematics is one of the main courses of software engineering specialty. In order to meet the teaching objectives of discrete mathematics in engineering education accreditation， the problems existing in the present discrete mathematics teaching are analyzed， and the teaching reform is carried out in four aspects， i.e. the design of teaching content， teaching mode， teaching method and assessment method. Teaching practice shows that students interest and self-learning ability have been greatly improved， and their understanding and grasp of knowledge points have been enhanced.

Key words： discrete mathematics; engineering education accreditation; teaching reform; teaching mode; software engineering

0 引言

在教育部高等學校教學指導委員會編寫的《普通高等學校本科專業類教學質量國家標準》、以及美國計算機協會ACM和電子電氣工程師學會計算機分會IEEE-CS聯合制定的計算教材CC2013中，都將離散數學列為計算機類專業的一門核心課程。離散數學是數據結構與算法、數據庫系統原理、人工智能、數字電路與邏輯設計、計算機網絡、編譯原理、算法設計與分析等計算機后續專業課程的重要基礎，在計算機專業課程體系中起著重要的理論支撐作用[1]。同時，基于《中國工程教育認證標準2015版》規定的畢業基本要求，對于軟件工程專業，離散數學是支撐畢業要求指標點的主干課程之一，在工程教育認證中，要達到以下兩個教學目標。

目標1：了解集合、命題和一階邏輯演算系統、關系、圖、樹，以及代數系統的基本概念，掌握從基本概念出發的計算和應用問題的求解方法。

目標2：掌握集合相關問題的證明與求解方法、命題和謂詞邏輯相關問題的證明與求解、關系性質的判斷及分析證明、某種特殊關系問題的求解、圖的矩陣表達的求解、特殊圖的判斷、基于樹的各種應用問題的求解、代數系統相關問題的求解。能夠針對一個問題進行抽象分析，選擇一種關系或形式邏輯模型進行抽象表達;通過嚴格數學證明的訓練，使學生逐步習慣基于離散數學角度的思維方式，并初步掌握嚴格數學證明的基本規范，熟練掌握與上述學習內容相關的應用問題的求解及證明方法。

由于離散數學課程具有概念多、理論性強、邏輯性強、內容抽象程度高等特點，導致學生學習興趣不高，教學效果不盡如人意，不能很好地滿足以上兩個教學目標。

1 存在問題

⑴ 內容多，課時少

我們采用的教材是屈婉玲等編著的離散數學（第三版）[2]，教學計劃54學時，離散數學講授課時安排如表1所示。

為了在較少的課時內完成較多的教學內容，通常有兩種做法：一種是刪減掉一些內容，但是這樣很難讓學生形成離散數學這門課完整的課程體系;另一種是像蜻蜓點水一樣，所有內容都提及一點，但不深入講解，這是不利于培養學生的抽象思維能力和邏輯推理能力。

⑵ 學習目標不明確，缺乏學習興趣

在以往的教學中，教師更注重知識點的講授，缺乏從專業課程的角度講授離散數學與后續專業課程之間的關系，致使學生不能體會到學習這門課程的重要性，誤認為這只是一門純粹的數學課，與計算機專業沒有什么關系，難以引起學生的學習興趣。

⑶ 作業完成質量不高，存在抄作業現象

布置課后作業是為了讓學生復習鞏固已講授的知識，但有的學生敷衍了事;有的學生遇到不會做的題要么不做，要么直接抄其他同學的答案;甚至有少數學生的作業是完全抄襲別人的。作業完成的質量不高，沒有達到布置作業的目的。

⑷ 課程考核難以滿足工程教育認證要求

以往期末試卷中考察學生對基本概念的記憶和理解的題目占試卷總分的70%左右，而考查應用分析能力的題目較少，課程考試不能很好地反映工程教育認證中課程教學目標的要求。

2 教學改革

2.1 采用“線上+線下”混合式教學模式

為了滿足離散數學在工程教育認證中的兩個教學目標，針對教學內容多與講授課時少的矛盾，采用“設計問題-觀看視頻-解決問題-抽查效果”教學方法，把每一章節的教學內容進行拆分，學生容易掌握的概念和知識點讓學生課下觀看視頻自學;上課的主要講解定理的推導證明、知識點之間的關系、本課程與后續課程之間的聯系，著重培養學生的抽象思維能力、邏輯推理能力和計算思維。各個章節內容分解如表2所示。

課程組的老師已經錄制了34個單元的微課視頻，這些視頻包含了學生自學的部分，以及重點、難點內容。根據教學大綱要求，教師提前一周布置自學任務，針對自學內容，設計幾個問題，同時把問題、視頻、課件在自主開發的教學網站上向學生發布;學生在規定的期限內完成自學任務，并提交問題答案。在學習過程中，學生如果遇到問題，可以在線與教師互動。每次完成自學任務后，教師隨機抽查幾個學生，把他們集中在一起進行測試，檢查自學效果，確保每個學生至少被抽到兩次。實際教學表明，采用這種方法不僅很好地應對了內容多、課時少的問題，而且提高了學生的自學能力。

2.2 改革課堂教學方法

基于離散數學在工程教育認證中的兩個教學目標，為了培養學生分析問題、解決問題的能力，在教學過程中采用多種教學方法，充分調動學生的學習積極性和求知欲，提高學生的學習興趣。

在教學中采用案例驅動與啟發式相結合的教學方法，首先講解案例的背景和需要解決的問題，然后啟發學生將問題進行抽象，利用離散數學理論知識把問題符號化，再進一步引導學生思考求解問題的過程[3]。例如，在講解歐拉圖時，以數學家管梅谷提出的中國郵政問題作為案例，讓學生在理解問題描述的基礎上，啟發學生把街道抽象為邊，把郵局和街道間的交叉路口抽象為頂點，每條邊賦予一個權值表示街道的長度，這樣得到的帶權連通圖就是要求解問題的數學模型;然后引導學生分析如何利用歐拉圖的知識求解問題，最終構造出解決問題的算法步驟[4]。通過講解應用實例轉化成能夠在計算機中求解的過程，不僅能夠培養學生的計算思維能力和應用能力，而且能讓學生體會到這門課程的實用性，從而提高學生的學習積極性。

在教學過程中，不僅只講授離散數學課程的基本內容，而且結合計算機專業的后續課程，深入講解每一部分內容與后續課程的關聯性。例如，在講解命題邏輯時，與數字電路與邏輯設計課程相結合，以搶答器的設計為例，講解真值表和主析取范式在邏輯電路設計中的應用。在講解一階邏輯時，以學生-選課數據庫為例，講解量詞在數據庫的關系演算中的應用。在講解集合論時，仍以學生-選課數據庫為例，講解集合的交、并、補、差和笛卡爾積等運算在關系數據庫查詢中的應用。在講解等價關系時，與軟件工程課程相結合，以一個簡單的用戶登錄程序的測試為例，講解等價類劃分在軟件測試用例設計中的應用。在講解圖論時，與計算機網絡課程相結合，以網絡線路的鋪設為例，講解圖在網絡設計中的應用;同時與數據結構與算法課程相結合，以工程造價為例，講解鄰接矩陣在圖的存儲結構中的應用，以及求最小生成樹的克魯斯卡爾算法。在講解代數系統時，與信息安全課程相結合，以數據加密為例，講解置換群在密鑰交換中的應用[5]。通過引入后續課程中的應用實例，讓學生體會到離散數學課程的重要性，從而激發學生的學習興趣。

2.3 改革作業評判方式

為了滿足離散數學在工程教育認證中的兩個教學目標，給學生布置的作業以解答題和證明題為主。為避免學生抄襲作業，每次完成作業后，設計幾道難度、類型與作業接近的題目測試學生作業的掌握情況。在課堂上使用清華大學開發的雨課堂作為教學工具，把題目限時發送給學生，學生把答案寫在紙上，然后拍照以圖片的形式提交答案，把最快做完的前5名學生的名字顯示在大屏上，提出表揚，以此激勵學生學習的積極性。為了在有限的時間內獨立完成課堂測試題目，學生平時做作業時不僅要能在看書的情況下獨立完成作業，而且還要達到熟練的程度。剛開始時，學生完成情況不理想，但經過幾次訓練后，效果逐漸好轉。學生反映不敢再抄作業，在做作業過程中，如果遇到不會的題目，會首先看課件、視頻學習知識點，再看相應的實例，直到把知識弄懂、弄透，能夠解決作業中存在的問題。學生把每次作業都看作是一次考試前的復習，為了課堂測試能取得好成績，都會認真對待每一次作業，不再敷衍了事。

這種做法充分調動了學生自主學習的積極性，不僅能很好地杜絕學生抄作業的現象，而且能夠督促學生及時復習學過的內容，牢固掌握所學的知識，避免了在前面知識沒有掌握或掌握不好的情況下學習新知識，造成學不會、跟不上，從而產生厭學的情緒。另外，由于離散數學每一部分中的知識是緊密相連的，比如在關系中，先講解關系的基本概念，然后講關系的性質，最后講具有某些性質的幾種特殊關系，這些內容是一環扣一環的，通過作業練習，學生能扎實的掌握每一環節的內容，教師在講授新課時不需要再不斷的復習舊課，能有更多的時間深入講解新課內容，提高了教學效率。

2.4 改革考核方式

為了達到離散數學在工程教育認證中的兩個教學目標，著重培養學生的應用、分析、和創新能力，在期末試卷中刪除了用于考察學生對基本概念記憶和理解的選擇題、填空題、判斷題之類的題目，以解答題和證明題為主。

以往的考核成績由兩部分組成：平時成績（包括作業和課堂表現）占30%，期末考試（閉卷筆試）占70%。現在加大了平時的考核力度，作業占50%，自學測試占10%，期末考試僅占40%。其中每次作業占5分，包含作業本上的完成情況和課堂上的作業測試情況，作業本上的成績占30%，課堂測試占70%，共十次作業;自學測試取前兩次最好的成績。

考核方式的改變，促使學生更注重平時的學習，更注重知識的應用與創新，不再為了應付考試，突擊死記硬背知識點。通過學習這門課程，使學生分析問題、解決問題的能力得到了很大提升。

3 結束語

為了達到離散數學在工程教育認證中的兩個教學目標，在教學過程中，把教學內容分解，采用混合式教學模式，把部分易于理解的內容留給學生課后線上自學，課堂上主要講解定理的推導證明、本課程與后續課程之間的聯系，以及如何利用離散數學知識解決實際問題的分析求解過程，并采用案例驅動與啟發式相結合的教學方法，激發學生的求知欲和學習興趣。同時，考核方式的改革加大了平時學習效果的考核力度，更注重培養學生的自學能力、邏輯思維能力、應用知識的能力和創新能力。通過教學改革，雖然取得了一些成效，但還需要持續改進，圍繞以學生為中心的核心理念，不斷探索新的教學模式，進一步提高教學質量。

參考文獻（References）：

[1] 楊思春.離散數學課程教學改革與實踐[J].計算機教育，2018.6：83-85

[2] 屈婉玲，耿素云，張立昂，等.離散數學（第3版）[M].北京：清華大學出版社，2014.

[3] 張艷，劉亞.離散數學課程教學新思考[J].計算機時代，2016.5：89-91

[4] 張賽男，張婷婷，劉艷云，等.基于模型構建與應用能力培養的離散數學教學研究[J].計算機教育，2017.12：73-75

[5] 張劍妹，李艷玲，吳海霞.結合計算機應用的離散數學教學研究[J].數學學習與研究，2014.1：2-4