基于稀疏分解和頻域相關峭度的軸承微弱故障特征提取

趙 樂，楊紹普，劉永強，顧曉輝，王久健

(1. 石家莊鐵道大學 交通運輸學院，石家莊 050043；2. 石家莊鐵道大學 省部共建交通工程結構力學行為與系統安全國家重點實驗室，石家莊 050043)

旋轉機械在大型工程裝備中發揮著舉足輕重的作用，例如：盾構機、高鐵、風機等。滾動軸承作為旋轉機械的核心零部件，對于旋轉機械的安全運行至關重要。但滾動軸承也是極易產生故障的零部件之一，因此開展滾動軸承的早期微弱故障診斷具有重大的工程意義。大型工程裝備所處的工作環境比較惡劣，滾動軸承在復雜、惡劣、非平穩的工況中運行，內圈、外圈和滾動體往往容易產生故障，故障信號很容易被復雜工況下的背景噪聲淹沒，因此，研究如何從背景噪聲中提取出故障信號，也是亟待解決的難題。

滾動軸承發生故障時，故障部位與其他部件之間會產生碰撞，從而引起周期性的振動沖擊，機械振動信號是很多學者研究的主要方式。Mallat等[1]提出了信號在自適應過完備字典上分解的方法，使信號稀疏分解邁入了一個新的領域。王林等[2-4]應用Laplace小波基構造字典對振動信號進行稀疏表示，進行軸承故障的特征提取，在尋求最優小波基底上做了大量研究。針對滾動軸承故障產生周期脈沖的特點，He等[5]基于凸優化問題，提出一種估計噪聲中周期群稀疏的方法，并給出一種快速迭代算法。Zhang等[6]為克服單純基于峭度或小波模型的三個缺點，提出一種基于峭度的加權稀疏模型。郭俊鋒等[7]針對巨量數據存儲處理困難，提出基于K-SVD算法的壓縮測量重構方法。由于經驗小波變換中所需的傅里葉段依賴于傅里葉譜幅值的局部極大值，導致在強干擾下傅里葉段不總是可靠和有效的，Wang等[8]提出稀疏引導的經驗小波變換，自動建立經驗小波變換的傅里葉部分，成功應用于軸承故障診斷。Ding等[9]根據軸承故障的周期性特點，提出一種自適應的循環結構字典學習的稀疏表示方法。

峭度對單個瞬態沖擊敏感，對多個循環瞬態沖擊序列不敏感，Mcdonald等[10]提出的相關峭度(Correlated kurtosis，CK)解決了上述缺陷。為了尋找到一個指標既能夠表征軸承故障的沖擊特性又能夠表征它的循環平穩特性，Antoni[11]提出一種基于負熵指標的平方包絡譜信息譜(Squared Envelope Spectrum Infogram，SES infogram)和平方包絡信息譜(Squared Envelope Infogram，SE infogram)，將SES inforgram和SE inforgram取平均，得到一種平均譜負熵。基于平均譜負熵指標的infogram方法存在魯棒性較差的缺點，顧曉輝等[12]將相關峭度和上述理論中的SE和SES結合起來，改善了魯棒性。

傳統的稀疏表示方法在信噪比較低即噪聲較強的情況下，存在微弱故障特征提取效果不明顯的缺點，本文借鑒以上文獻解決問題的邏輯，結合軸承故障沖擊的特點，從如何構造字典更能貼近軸承故障特征的角度入手，將平方包絡譜相關峭度引入到字典構造過程，提出一種在強噪聲背景下準確提取故障特征的方法。

1 稀疏表示基本理論

信號的稀疏表示已成為信號處理領域十分重要的方式之一，近些年，稀疏表示的發展源于Donoho等[13-15]提出的壓縮感知理論，此理論有個先前條件就是信號本身是稀疏的。

在處理信號時，通常都希望找到一種信號的簡潔的表達方法，信號的稀疏表示，就是利用字典中少部分原子的線性組合，使稀疏表示系數的值大部分都等于零或者接近零。信號稀疏表示的字典可以是正交基即完備字典，也可以是冗余基即過完備字典，通俗來講，過完備字典比完備字典更寬。過完備的冗余字典相比傳統的完備字典進行信號的稀疏表示，更加靈活，更有利于利用字典的冗余特性提取到信號的更多特征。基于過完備字典的稀疏表示克服了完備字典的缺陷，自適應的從字典中選取盡可能少的基向量來表示或者還原原始信號。因此，過完備字典的構造要符合原信號的結構特征，它的構造方式分為兩類：一類由正交基構造，即固定字典；另一類通過學習的方式從樣本中生成字典，即學習字典。

1.1 稀疏分解

軸承故障診斷中，信號的稀疏分解，就是用字典中少量原子的線性組合來表示全部或者大部分的原始信號的故障特征。

稀疏分解后，信號的稀疏程度往往和字典密切相關，從字典中選擇的原子的線性組合和軸承故障信號特征越相似，軸承信號的表達也就越稀疏，反之則相反。從數學角度來講，可以用下面的方程進行表示：

(1)

式中:Y為輸入信號，D表示字典，di為字典D中的原子，α=[α1，α2，α3，...，αk]T為信號Y的稀疏表示，也稱為稀疏分解系數。如圖1所示。

通常情況是通過傳感器采集滾動軸承的振動信息，由于大型工程裝備在實際運轉過程中，不僅有軸承的故障沖擊振動，還會摻雜其他無關的振動信號和噪聲。這些信號都會被傳感器采集。所以上述方程應加上噪聲的影響，如下所示：

(2)

式中：X表示滾動軸承故障沖擊，ε表示其他的干擾噪聲和振動。

1.2 字典生成

過完備字典就是列數大于行數的矩陣，即原子的個數大于原子的維度。如何找到更加貼近軸承故障信號結構的字典，是很多學者研究的熱點。針對學習字典的訓練算法有很多，常用的幾種分別是：MOD、K-Means、K-SVD和online算法。MOD算法[16]收斂速度快，但是計算的復雜度高；online算法[17]速度快，比較適合處理視頻或語音信號；K-SVD算法[18]可看做K-Means算法的一種延伸或擴展，算法的復雜度低，效果好。

軸承故障診斷中，稀疏表示常用的一種傳統做法是利用K-SVD算法訓練字典，利用OMP算法求解稀疏分解系數，具體流程如下：

第一步：確定各參數的取值，字典中原子的個數K、原子的維數n、算法的迭代次數J、樣本集合中原子的個數p、稀疏表示信號最多使用的原子個數L，初始化字典，然后讓初始化字典中的每個原子具有單位2-范數；

第二步：求解初始字典下的稀疏表示系數α，利用的算法為OMP算法；

(3)

式中：‖·‖0表示求解零范數，‖·‖2表示求解2范數，L用來限定稀疏系數非零值個數。

第三步：固定稀疏表示系數α，利用奇異值分解逐個更新初始字典中的每個原子，使逼近誤差最小；

(4)

第四步：重復第二、三步，達到設定的迭代次數J結束。

稀疏表示具體的分解和重構過程通過迭代實現，如圖2所示。

圖2 基于過完備字典的稀疏分解圖

綜上，稀疏表示主要涉及到兩部分內容，構造字典和求解稀疏表示系數。如何構造出符合信號結構特征的字典，是稀疏表示的最關鍵問題，從過完備字典中選擇哪些少量原子的線性組合又是這關鍵問題的核心。

2 引入平方包絡譜相關峭度構造字典

2.1 相關峭度

峭度對沖擊信號十分敏感,所以其很適合作為軸承表面損傷類早期故障診斷的評判指標。當滾動軸承發生局部故障時,會引起沖擊振動,峭度值也會隨之增大。因此,峭度值越大,故障沖擊成分越明顯,故障信息越易提取，但峭度指標的缺點是對單個的瞬態沖擊振動有不錯的效果，對多個周期分布的瞬態沖擊表現較差。

相關峭度解決了譜峭度只對單個軸承故障瞬態沖擊敏感的缺陷，被廣泛應用在故障診斷領域。

(5)

式中:f表示頻率;x表示信號序列;N表示采樣點數;M表示偏移周期數目;T為軸承故障瞬態沖擊信號的周期。

2.2 頻域相關峭度

平方包絡譜相關峭度即頻域相關峭度，是針對ANTONI的infogram方法魯棒性不強的缺點，結合MCDONALD的相關峭度，提出的一種新方法。

其中，ANTONI提出的平均譜負熵，是平方包絡譜信息譜(Squared Envelope Spectrum Infogram，SES infogram)和平方包絡信息譜(Squared Envelope Infogram，SE Infogram)的和值，再取平均。

表征軸承故障沖擊性的平方包絡信息譜可表示為

(6)

式中：SE為平方包絡，即SE=H(t,f)2。

表征軸承故障循環平穩行的平方包絡譜信息譜可表示為

ΔIE=

(7)

式中：SES為平方包絡譜，即SES=DFT[SE(n;f,Δf)]。

綜合表征沖擊性和循環平穩性的平均譜負熵可表示為

ΔI1/2=ΔIe+ΔIE

(8)

魯棒性更強的平方包絡譜相關峭度即頻域相關峭度可表示為

FDCK(T)=

(9)

式中：T為被測信號的故障特征頻率。

2.3 構造字典

軸承故障診斷中，傳統的K-SVD+OMP方法是根據逼近信號與原信號的殘差進行原子篩選，對于軸承故障特征提取而言，這樣篩選的原子包含較多的非故障特征原子，如何準確篩選出符合軸承故障特征的原子是字典構造的關鍵，本文利用平方包絡譜相關峭度對軸承等旋轉部件的故障特征敏感的特性，將頻域相關峭度引入到字典的構造過程，根據所求逼近信號的FDCK值，從字典中選擇少量與故障特征結構相似度高的原子線性組合，實現稀疏分解，目標函數為：

(10)

式中:FDCK表示頻域相關峭度，j表示迭代次數。

具體迭代過程如圖3所示，通過求解稀疏分解時每次迭代過程所得逼近信號的平方包絡譜相關峭度值，并且找到最大頻域相關峭度值所在位置，根據當前位置確定所選原子。

圖3 流程圖

此方法篩選的原子與軸承故障特征結構更匹配，根據存儲的原子矩陣可求解出稀疏分解系數，重構原始信號，并計算其包絡和包絡譜，根據包絡譜判斷軸承是否發生故障。

3 仿真分析

為了驗證本文所提方法的有效性，采用滾動軸承的仿真信號進行測試，仿真信號包括：軸承的點蝕故障信號，單個高幅值沖擊信號，齒輪嚙合干擾和高斯白噪聲4部分，具體如下：

(11)

式中:x(t)表示沖擊故障信號，δ(t)表示單個高幅值沖擊，m(t)表示齒輪嚙合干擾，n(t)表示白噪聲。

設置采樣頻率Fs為5 120 Hz，衰減率λ為100，軸承故障特征頻率為10 Hz，轉頻Fr為9 Hz，齒數為15，仿真信號如下圖所示，圖4(a)代表軸承故障脈沖信號x(t)，圖4(b)代表單個高幅值沖擊信號δ(t)，圖4(c)代表齒輪嚙合干擾信號m(t)，圖4(d)代表y(t)。

(a) 軸承故障脈沖信號

(b) 單個高幅值沖擊信號

(c) 齒輪嚙合干擾

(d) 含噪聲信號

下面用不同噪聲標準下的兩種方法進行對比，噪聲標準設為0 db、-10 db和-15 db，一種是傳統的K-SVD+OMP方法，用方法一表示，另一種是本文所提的稀疏分解方法，用方法二表示。

圖5為不同噪聲標準下的仿真信號，圖6為方法一重構信號，圖7為方法二重構信號。隨著噪聲的增強，仿真信號中噪聲的幅值越來越大，對應的信噪比越

(a) 噪聲標準0 db

(b) 噪聲標準

(c) 噪聲標準

圖5 含噪原始信號

Fig.5 Original signal under different noise

(a) 噪聲標準0 db

(b) 噪聲標準

(c) 噪聲標準

(a) 噪聲標準0 db

(b) 噪聲標準

(c) 噪聲標準

(a) 噪聲標準0 db

(b) 噪聲標準

(c) 噪聲標準

(a) 噪聲標準0 db

(b) 噪聲標準

(c) 噪聲標準

來越低，在重構信號中可清晰的發現，每種方法隨著噪聲的增強，重構效果都是越來越差，受到的干擾明顯增強，但兩種方法之間相比，在同樣噪聲標準下，方法二的重構效果明顯好于方法一的重構效果，在診斷的第一階段略微占據優勢。

圖8為方法一重構信號的包絡譜，圖9為方法二重構信號的包絡譜，經分析可知，兩種方法都可以很清晰的找到故障特征頻率的倍頻，但隨著噪聲的增強，找到故障特征頻率倍頻的階數也隨之減少，方法一在0 db噪聲時可以找到前9階倍頻，在-15 db噪聲時可以找到前4階倍頻，方法二在0 db噪聲下，也可以找到前9階倍頻，在-15 db噪聲時可以找到前7階倍頻，本文所提方法抗干擾性強。

為了進一步驗證本文所提方法在仿真信號中的優越性，將噪聲標準設為-17 db，兩種方法的對比結果如圖10、圖11所示。

(a) 含噪仿真信號

(b) 方法一重構信號

(c) 方法二重構信號

(a) 方法一重構信號包絡譜

(b) 方法二重構信號包絡譜

由圖10可知，方法一重構的信號包含的干擾明顯多于方法二重構的信號。由圖11的包絡譜分析可知，在-17 db噪聲下，方法一已經無法找到軸承的故障特征頻率，方法二可以找到軸承故障特征頻率的前4階倍頻，本文所提方法優勢明顯。

通過上述對比分析，由于方法一通過字典學習到的特征既存在軸承故障特征，又摻雜其他特征，導致我們所選擇的原子不一定是和軸承故障結構最匹配的原子，存在很大的不確定性，在強噪聲干擾下基本失效。方法二中，由于平方包絡譜相關峭度既能表征軸承故障的沖擊性，又能表征它的循環平穩性，在字典構造過程中，有助于篩選出和軸承故障特征相匹配的原子，消除不確定性，因此，本文所提方法在仿真信號中具有優越性。

4 試驗分析

為了進一步驗證本文所提方法在試驗信號中的優越性，使用如圖13所示的鐵路貨車輪對軸承跑和試驗臺的故障軸承進行數據的采集和分析。測試軸承的型號為197 726。

圖12 貨車輪對跑和試驗臺

測試時，輪對軸承的轉速為470 r/min，采樣頻率設定為25.6 kHz，采集1 s的振動數據，根據軸承的尺寸，按照下列公式計算軸承各個零件的故障特征頻率。

(12)

式中:D表示軸承的節徑，d表示滾動體直徑，z表示滾動體個數，α表示接觸角，fa表示轉頻。

經計算得到內圈、外圈和滾動體的故障特征頻率分別88.5 Hz、67.5 Hz和27.4 Hz。我們采集到的故障的軸承信號如圖13(a)所示，繼續用兩種方法進行對比，結果如圖13和圖14所示。

(a) 采集信號

(b) 方法一重構信號

(c) 方法二重構信號

圖14給出了重構信號的包絡譜，方法一能夠找到與計算出的外圈故障特征頻率67.5 Hz基本吻合的前1階倍頻。方法二能夠找到包絡譜中與計算出來的外圈故障特征頻率基本吻合的前5階倍頻，將軸承拆解后，證實了軸承為外圈滾道壓痕，如圖15所示，由此驗證了本文所提方法在試驗信號中的優越性。

5 結 論

對于故障診斷而言，傳統的K-SVD+OMP方法通過字典學習到的特征種類較多，針對性較差，不僅包含軸承故障特征，也會摻雜其他特征，在強干擾下尤其嚴重，影響故障診斷的效果。

(a) 方法一重構信號包絡譜

(b) 方法二重構信號包絡譜

圖15 外圈壓痕故障軸承

本文從稀疏分解中的字典構造方法入手，將頻域相關峭度引入到稀疏分解的算法中，通過計算每次迭代逼近信號的頻域相關峭度，找到最佳匹配的原子，使構造的字典能夠更好的表征軸承的循環沖擊故障，消除了傳統的K-SVD+OMP方法的不確定性。通過仿真信號和試驗信號分析，本文所提方法對微弱軸承故障特征提取具有有效性和優越性。