關于貝葉斯公式的課堂教學體會

摘 要 貝葉斯公式是解決“由果溯因”問題的一種重要方法，它在日常生活中的應用非常廣泛。因此，如何引導學生理解并掌握貝葉斯公式，學以致用，解決實際問題，一直是課堂教學的重點與難點。因此本文通過實際生活中的典型問題引出貝葉斯公式，然后解釋公式的內涵并且通過追溯公式的來歷來激發學生們的學習興趣，最后通過具體的實例來說明貝葉斯公式的應用。通過生動有趣的例子貫穿課堂，使同學們在輕松愉快的環境中獲取并熟練掌握數學知識，從而提高課堂的教學效果，有效的完成教學目標。

關鍵詞 貝葉斯公式 由果溯因 教學效果 教學目標

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A

在現實生活中，人們經常會遇到已知結果尋找原因的問題。比如，在行政決策中，某個人死了，導致這個人死亡的原因可能是自殺、他殺、意外、疾病等等。那么，在這些原因當中哪一個才是最可能的原因呢？又比如，某一條河水受到了污染，導致河水污染的原因可能是生活污水、工業廢水的排放，又或者說是農藥、化肥、降水中污染物的流入，又或者說是其他的原因。那么這些原因當中哪一個才是最可能的原因呢？

上述問題雖然背景各不相同，但是從數學的角度來看，都是一回事。即在結果發生的條件下，去尋找各個原因概率的大小。即已知結果尋找原因，這正是貝葉斯公式所要表達的基本思想。下面通過具體的例子，引出貝葉斯公式。

1引例：疾病診斷

小明發燒了，醫學常識告訴我們，導致一個人發燒的原因有很多。為簡單起見，假設導致小明發燒的可能原因只有3個：（1）可能是得了普通感冒;（2）可能是得了肺炎;（3）可能是得了風疹。現在醫生要診斷小明發燒是由哪種疾病所導致的？

這類問題在實際生活中尤為常見，它是典型的“已知結果尋找原因”的問題。那么，如何去解決呢？

分析：首先引入隨機事件。設A=“小明發燒”這一事件，B1，B2，B3分別表示導致發燒的三個可能原因。如果要確定導致A發生的最可能原因，只需要計算出A事件發生的條件下，各個原因發生的可能性大小。也就是計算三個條件概率P（B1|A），P（B2|A），P（B3|A）。通過比較這三個概率，取值最大的所對應的原因就是最可能的原因。

下面以發燒的條件下他得普通感冒的概率（P（B1|A））的求法為例：

上述推導過程中運用了條件概率公式、乘法公式和全概率公式。從而得到發燒這一結果發生的條件下，它是由普通感冒這一原因引起的概率。

將所得到的式子一般化，假設導致A這一結果發生的所有可能原因有n個，即為B1，B2，…，Bn，那么該如何計算A發生的條件下A發生的概率呢（P（Bi|A））？

通過這種設問的方式，將特殊情況一般化，很自然地引出了貝葉斯公式。

2貝葉斯公式

設試驗E的樣本空間為，B1，B2，…，Bn，為的一個劃分，A為E的事件，且，，則：

（1）

在（1）式中，A表示某一結果的發生，B1，B2，…，Bn，是一個完備事件組，它是導致A這一結果發生的所有可能的原因。

將貝葉斯公式中分母的和式展開來寫，不難發現，分子恰好是分母中的第i項。而分母應用的是全概率公式，即全部原因的概率之和。那么，現在要求A這一結果發生的條件下，它是由第i個原因導致的可能性大小，自然是這一原因占所有原因的比例。

3貝葉斯公式的來歷

貝葉斯公式的創始人是貝葉斯·托馬斯，是名英國的牧師，是位業余的數學家。

在他去世的第二年，也就是1763年，有關貝葉斯公式的著作《機會問題的解法》才得以發表，但是當時這一結果并沒有受到應有的重視，這是因為他在著作中顯示的是：P（B|A）=P（AB）/P（A）。這只是乘法公式的一個變形。因為當時他已經去世了，人們并沒有看出貝葉斯給出這個公式的初衷。

直到1774年，法國數學家拉普拉斯再一次總結了這一結果。從此，人們才意識到貝葉斯公式的重要性。

4貝葉斯公式的應用

貝葉斯公式的應用非常廣泛，在數據搜索、人工智能、產品檢驗、疾病診斷、安全監測教學分析等多方面都發揮著重要的作用。它不僅可以幫助人們尋找導致某一事件發生的最可能的原因;還可以通過后驗概率來重新確認人們之前不確定的事情，從而對事情進行新的認識。下面通過具體的例子來說明貝葉斯公式在實際中的應用。

例1：設1，2，3三臺車床加工同一種零件，加工出來的零件混放在一起。已知三臺車床加工的零件分別占全部的45%，35%和20%，三臺車床的次品率依次為4%，2%和5%。現在從全部零件中任取一件，發現是次品，問該零件是由哪臺車床加工的可能性最大？

分析：發現一個零件是次品表示結果，而導致這一結果發生的原因有三個：即第一臺車床加工的零件，第二臺車床加工的零件，第三臺車床加工的零件。哪一臺車床加工的可能性最大呢？這是已知結果尋找原因，可以利用貝葉斯公式去求解。

解：設全部加工的零件構成樣本空間，A表示：“發現一件次品”，Bi表示：“所取零件是由第i臺車床加工的”（i=1，2，3）。由題意可知：

現在要求A發生的條件下Bi發生的概率：

由貝葉斯公式可得：

因為P（B1|A）已經大于0.5了，另外兩個原因的概率不可能超過0.5。因此該零件是由第一臺車床加工的可能性最大。

例2：貝葉斯公式在教學分析中的應用。

假設某天老師講完一個重要的知識點后，做了個課堂檢測。老師請小明做了一道有4個選項的單項選擇題。對做選擇題，我們做這樣一個假設：如果掌握知識點了，一定能做對;而沒有掌握知識點，也可能猜對。即不考慮掌握知識點，但粗心算錯或寫錯答案的可能。

做之前老師估計小明掌握知識點的可能性是20%。做完之后，老師一看，小明做對了。老師挺滿意的，但忍不免擔憂，小明是否是猜對的呀？于是老師請小明又做了一道相同知識點的選擇題。小明又做對了，這個時候老師認為他掌握的可能性還是比較大的。那么，應該如何解釋老師態度的逐步轉變呢？

解：將“做對題”這一事件記為A，“掌握知識點”記為B，“沒有掌握知識點”記為。則由題意可知：

。

（1）小明做第一道選擇題時，，

小明做對題的條件下，掌握知識點的概率是0.5。顯然比0.2高，但就概率意義而言，0.5的值也不算大。所以小明做對題老師是滿意的，但是忍不免擔心，他是否是猜對的呀？

（2）對于小明做第二道選擇題，思路是一樣的。只是這里小明掌握知識點的概率，就是B的概率要看成0.5了（即P（B）=0.5）。用同樣的方法可得：

小明做對第二題的條件下掌握知識點的概率是0.8。這個概率值相對比較大了，所以老師認為小明應該掌握知識點了。

在這里出現了兩個B事件的概率。一個是結果發生前的無條件概率，稱為先驗概率;另一個是結果發生之后的條件概率，稱為后驗概率。也就是說在增加了結果發生這個新信息后，對原因概率的重新認識。所以貝葉斯公式的作用也可以說成是由先驗概率得到后驗概率，再由后者去修正前者。比如，小明第一次做對題后，老師就是用后驗概率0.5對先驗概率0.2做了修正。第二次做對題，P（B）=0.5為先驗概率，P（B|A）=0.8為后驗概率。老師第二次態度的改觀，就是用后驗概率0.8對先驗概率0.5做了修正。

從0.2到0.5，再到0.8，數據很直觀地反映了老師態度的轉變過程。雖然在實際中，老師并非通過計算來完成這種修正，但道理是相同的。所以拉普拉斯曾經說過，概率論只不過是把常識用數學公式表達出來。

5結束語

本文首先通過現實生活中尤為常見的例子——疾病診斷，引出貝葉斯公式，將特情況一般化，很自然地得到貝葉斯公式;然后介紹了貝葉斯公式的內涵和來歷，以激發學生們的學習興趣;最后通過具體的實例來說明貝葉斯公式的作用。通過這種循序漸進的教學方式，幫助同學們深入理解和靈活運用貝葉斯公式，從而有效地提高教學質量、完成教學目標。

作者簡介：李益清，（1978—），女，漢族，新疆奇臺人，研究生學歷，講師，主要從事能源經濟的研究。

參考文獻

[1] 上海交通大學數學系.概率論與數量統計[M].北京：科學出版社，2018.

[2] 朱翼雋.概率論與數量統計[M].鎮江：江蘇大學出版社，2015.