中考數學創新性問題直擊

呂進智

[摘? ?要]采擷幾例中考數學試題，探討中考數學創新性問題的解題策略，以提高學生的創新能力和綜合素養.

[關鍵詞]中考數學;創新性問題;新定義

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）32-0032-02

創新，永遠是中考數學命題的主題.在中考數學中，創新性問題主要有閱讀理解及新定義型問題、方案設計型問題、動點問題和開放探索性問題等.由于創新性問題注重對考生創新能力和綜合素質的考查，因此具有一定難度.那么如何解答這類問題呢？本文舉例說明.

一、閱讀理解及新定義型問題

數學也需要閱讀，也需要考查，于是閱讀理解及新定義型問題應運而生.這類問題考查全面，重在考查學生的閱讀理解能力、抽象概括能力和數學語言表達能力.

[例1]閱讀理解題：

定義：假設一個數的平方等于[-1]，記作[i2=-1]，這個數i稱為虛數單位，把形如[a+bi（a，b]為實數）的這個數稱為復數，其中a、b分稱為這個復數的實部與虛部，其加、減、乘法運算與整式的運算類似.

點評：本題屬于閱讀理解及新定義型問題，命題者給定一個高中階段的知識點，讓考生經過自學去解決新問題.解閱讀理解及新定義型問題的關鍵應落實在“閱讀”“理解”上，解題時考生應仔細閱讀信息，并將題中的信息“數學化”;同時感悟其中的數學思想與方法，并形成科學的思維方式和思維策略，從而順利將問題解決.

二、方案設計型問題

方案設計型問題是中考數學創新性問題的一種典型問題，該問題通常設置一個實際問題的情境，并給出一些信息及提出解決問題的具體要求，以探求最為恰當的解決方案.有時問題中還給出多種不同的解決方案，要求考生思考孰優孰劣.這類問題主要考查考生的動手操作能力和實踐能力，具有一定的難度.

[例2]有一塊三角形鐵片[ABC，BC=12 cm]，高[AH=8 cm]，按如下一、二方案把其制作成一塊長方形鐵片[DEFG]，且滿足長方形的長是寬的2倍，為了避免浪費，制作成的長方形鐵片的面積應盡可能大些.試問上面兩種方案，哪種更好些？

點評：本題是利用幾何圖形的方案設計，通過相似三角形的性質和判定、矩形面積計算等知識對兩種方案進行比較.熟知相似三角形的對應邊成比例是解答此題的關鍵.方案設計型問題，必須具體問題具體分析.對于討論材料、合理猜想類問題，一般要求考生進行科學的判斷、推理、證明;對于畫圖設計、動手操作型問題，可以讓考生按要求對圖形進行合理分割，或設計美觀的圖案.

三、動點問題

動點問題常常被列為各地中考數學的壓軸題之一，這類問題就是在三角形、矩形、梯形等一些幾何圖形上設計一個或兩個動點，并對這些點在運動變化過程中伴隨的等量關系、變量關系、圖形的特殊狀態、圖形間的特殊關系等進行研究考查.動點問題常集幾何與代數知識于一體，常用到數形結合、分類討論等思想，有較強的綜合性.

[例3]如圖3，在邊長為2的正方形ABCD中剪去一個邊長為1的小正方形CEFG，動點P從點A出發，沿A→D→E→F→G→B的路線繞多邊形的邊勻速運動到點B時停止（不含點A和點B），則△ABP的面積S隨著時間t變化的函數圖像大致是（）.

解析：當點[P]在AD上時，[△ABP]的底AB不變，高增大，因此，[△ABP]的面積[S]隨著時間t的增大而增大;當點[P]在DE上時，[△ABP]的底AB不變，高不變，因此，△ABP的面積S不變;當點[P]在EF上時，[△ABP]的底AB不變，高減小，所以[△ABP]的面積[S]隨著時間t的減小而減小;當點[P]在FG上時，[△ABP]的底AB不變，高不變，所以[△ABP]的面積[S]不變;當點[P]在GB上時，[△ABP]的底AB不變，高減小，所以[△ABP]的面積[S]隨著時間t的減小而減小.故選B.

點評：此題為特殊四邊形和動點“聯姻”的函數問題，涉及矩形三角形的面積、一次函數的性質及方程思想等知識.同時也考查了分類討論思想. 解題時，第一步，動中尋靜[→]在運動變化中找出不變的量及相等的關系，得出相關的常量，并用含變量的代數式表示相關的量 ;第二步，找特殊點（分類討論） [→]將變化的點按指定的運動路徑運動一遍，明確運動過程中的特殊位置以及可能出現的情況 ;第三步，找等量關系[→]利用面積關系、相似三角形的性質、勾股定理、特殊圖形的幾何性質及相互關系等，確定等量關系; 第四步，列方程[→]將相關的常量和含有變量的代數式代入等量關系建立方程，根據所列方程解決相關問題 .

四、開放探索性問題

開放探索性問題，通常是指在已知條件、解題依據、解題方法、求解結論這四個要素中，有缺損，要求考生自行補全，而答案往往不唯一，也就是說答案是開放的.這類問題給考生提供了更為廣闊的思維空間，因而一直活躍在中考數學的命題中.

[例4]在四邊形[ABCD]中，[∠B+∠D=180°，]對角線[AC]平分[∠BAD].

（1）如圖5，若[∠DAB=120°，]且[∠B=90°，]試探究邊[AD、AB]與對角線[AC]的數量關系并說明理由.

（2）如圖6，若將（1）中的條件“[∠B=90°]”去掉，（1）中的結論是否成立？請說明理由.

（3）如圖7，若[∠DAB=90°]，探究邊[AD、AB]與對角線AC的數量關系并說明理由.

點撥：（1）結論：AC=AD+AB，只要證明AD=AC，AB=AC即可解決問題.（2）（1）中的結論成立.以C為頂點，AC為一邊作[∠ACE=60°，∠ACE]的另一邊交AB延長線于點E，僅需證明[△DAC≌△BEC]即可實現問題的解決.

（3）結論：[AD+AB=2AC].過點C作CE⊥AC交AB的延長線于點E，只要證明△ACE是等腰直角三角形，△DAC≌△BEC即可解決問題.

點評：此題是結論開放探索性問題，主要考查等邊三角形的性質、等腰直角三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加輔助線，構造全等三角形.解答開放探索性問題時，往往沒有一般的解題模式，解題方法也具有不確定性，考生可采用多種思維方法，如順推、逆推、假設等.需要對問題全方位、多層次、多角度地思考與審視，盡量找到解決問題的方法.

中考數學創新性問題不止以上四種.在平時的教學中，教師應多積累、多研究，引導學生有效掌握相關解題策略，從而順利拿下此類問題.

（特約編輯 安? ?平）